Четырехквадратное тождество Эйлера

Произведение сумм четырех квадратов, выраженное как сумма четырех квадратов

В математике тождество четырех квадратов Эйлера гласит, что произведение двух чисел, каждое из которых является суммой четырех квадратов , само является суммой четырех квадратов.

Алгебраическое тождество

Для любой пары четверок из коммутативного кольца следующие выражения равны:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[3mu]&\qquad =\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}\\[3mu]&\qquad \qquad +\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Эйлер писал об этом тождестве в письме от 4 мая 1748 года Гольдбаху [ ^{1] [2]} (но он использовал иное соглашение о знаках, чем выше). Его можно проверить с помощью элементарной алгебры .

Тождество использовалось Лагранжем для доказательства его теоремы о четырех квадратах . Более конкретно, оно подразумевает, что достаточно доказать теорему для простых чисел , после чего следует более общая теорема. Соглашение о знаках, использованное выше, соответствует знакам, полученным путем умножения двух кватернионов. Другие соглашения о знаках можно получить, изменив any на , и/или any на . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle -a_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle -b_{k}}$

Если и являются действительными числами , тождество выражает тот факт, что абсолютное значение произведения двух кватернионов равно произведению их абсолютных значений, таким же образом, как тождество двух квадратов Брахмагупты-Фибоначчи делает это для комплексных чисел . Это свойство является определяющей чертой композиционных алгебр . ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$

Теорема Гурвица утверждает, что тождество формы,

$${\displaystyle \left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+\dots +a_{n}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+\dots +b_{n}^{2}\right)=c_{1}^{2}+c_{2}^{2}+c_{3}^{2}+\dots +c_{n}^{2}}$$

где являются билинейными функциями и возможно только при n = 1, 2, 4 или 8. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$

Доказательство идентичности с использованием кватернионов

Комментарий: Доказательство тождества Эйлера с четырьмя квадратами осуществляется с помощью простой алгебраической оценки. Кватернионы выводятся из тождества с четырьмя квадратами, которое можно записать как произведение двух внутренних произведений 4-мерных векторов, что снова дает внутреннее произведение 4-мерных векторов: ( a · a )( b · b ) = ( a × b )·( a × b ) . Это определяет правило умножения кватернионов a × b , которое просто отражает тождество Эйлера, и некоторую математику кватернионов. Кватернионы являются, так сказать, «квадратным корнем» тождества с четырьмя квадратами. Но давайте продолжим доказательство:

Пусть и — пара кватернионов. Их кватернионные сопряжения — и . Тогда ${\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$ ${\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}$ ${\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}$

$${\displaystyle A:=\alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}$$

и

$${\displaystyle B:=\beta \beta ^{*}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}.}$$

Произведение этих двух равно , где — действительное число, поэтому оно может коммутировать с кватернионом , давая ${\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}}$ ${\displaystyle \beta \beta ^{*}}$ ${\displaystyle \alpha ^{*}}$

$${\displaystyle AB=\alpha \beta \beta ^{*}\alpha ^{*}.}$$

Скобки выше не нужны, поскольку кватернионы ассоциируют . Сопряженное произведение равно коммутируемому произведению сопряженных множителей произведения, поэтому

$${\displaystyle AB=\alpha \beta (\alpha \beta )^{*}=\gamma \gamma ^{*}}$$

где — произведение Гамильтона и : ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\left(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\rangle \right)\left(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\rangle \right)\\[3mu]&=a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle \\[3mu]&=a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle \\&\qquad -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})\\&\qquad +\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle \\[3mu]\gamma &=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}$$

Затем

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i\\&\qquad -(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.\end{aligned}}}$$

Если где - скалярная часть, а - векторная часть, то тогда ${\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle }$ ${\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \gamma ^{*}&=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}}{\vec {u}}=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}-{\vec {u}}\times {\vec {u}}\\&=r^{2}+{\vec {u}}\cdot {\vec {u}}=r^{2}+u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}.\end{aligned}}}$$

Так,

$${\displaystyle {\begin{aligned}AB=\gamma \gamma ^{*}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}\\&\qquad +(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.\end{aligned}}}$$

личность Пфистера

Пфистер нашел еще одно квадратное тождество для любой четной степени: ^[3]

Если являются просто рациональными функциями одного набора переменных, так что каждая имеет знаменатель , то это возможно для всех . ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle n=2^{m}}$

Таким образом, еще одно четырехквадратное тождество выглядит следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)\\[5mu]&\quad =\left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}\right)^{2}\\&\quad \qquad +\left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{\frac {a_{3}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{4}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}-{\frac {a_{3}u_{2}}{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}}}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

где и даются формулой ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}\\u_{2}&=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}\end{aligned}}}$$

Кстати, следующее тождество также верно:

$${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}\right)^{2}\left(b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)}$$

Смотрите также

• Тождество Брахмагупты–Фибоначчи (суммы двух квадратов)
• Восьмиквадратная идентичность Дегена
• Шестнадцатиквадратная идентичность Пфистера
• Латинский квадрат

Ссылки

1. Леонард Эйлер: жизнь, работа и наследие , RE Bradley и CE Sandifer (редакторы), Elsevier, 2007, стр. 193
2. Математические эволюции , А. Шенитцер и Дж. Стиллвелл (редакторы), Математическая ассоциация Америки, 2002, стр. 174
3. Теорема Кейта Конрада Пфистера о суммах квадратов из Университета Коннектикута

Внешние ссылки

• Коллекция алгебраических тождеств, архив 2012-03-06 на Wayback Machine
• [1] Письмо CXV от Эйлера к Гольдбаху