Если и только если

Логическая связка

↔⇔≡⟺
Логические символы, представляющие iff  

В логике и смежных областях, таких как математика и философия , « если и только если » (часто сокращается до « если и только ») перефразируется биусловным , логической связкой ^[1] между утверждениями. Биусловное утверждение истинно в двух случаях, когда либо оба утверждения истинны, либо оба ложны. Связка является биусловной (утверждением материальной эквивалентности ) ^[2] и может быть уподоблена стандартному материальному условному выражению («только если», равнозначно «если ... то») в сочетании с его обратным («если»); отсюда и название. Результатом является то, что истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т. е. либо оба утверждения истинны, либо оба ложны), хотя спорно, правильно ли связка, определенная таким образом, передается английским «если и только если» — с его уже существующим значением. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что P истинно всякий раз, когда Q истинно, и единственный случай, когда P истинно, — это если Q также истинно, тогда как в случае P if Q могут быть и другие сценарии, когда P истинно, а Q ложно.

В письменной форме фразы, обычно используемые в качестве альтернатив P «если и только если» Q, включают: Q необходимо и достаточно для P , для P необходимо и достаточно, чтобы Q , P эквивалентно (или материально эквивалентно) Q (сравните с материальной импликацией ), P точно, если Q , P точно (или точно) когда Q , P точно в случае Q и P только в случае Q. [ ^3] Некоторые авторы считают «если и только» неподходящим в формальном письме; ^[4] другие считают это «пограничным случаем» и допускают его использование. ^[5] В логических формулах вместо этих фраз используются логические символы, такие как и , ^{[6] ; см. § Обозначения ниже.} ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Определение

Таблица истинности P Q выглядит следующим образом: ^{[7] [8]} ${\displaystyle \leftrightarrow }$

Это эквивалентно тому, что производится вентилем XNOR , и противоположно тому, что производится вентилем XOR . ^[9]

Использование

Обозначение

Соответствующие логические символы — « », « », ^[6] и , ^[10] и иногда «iff». Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако некоторые тексты по математической логике (особенно по логике первого порядка , а не по пропозициональной логике ) проводят различие между ними, в котором первый, ↔, используется как символ в логических формулах, в то время как ⇔ используется в рассуждениях об этих логических формулах (например, в металогике ). В польской нотации Лукасевича это префиксный символ . ^[11] ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle E}$

Другим термином для логической связки , т. е. символа в логических формулах, является исключающее нор .

В TeX «если и только если» отображается в виде длинной двойной стрелки: с помощью команды \iff или \Longleftrightarrow. ^[12] ${\displaystyle \iff }$

Доказательства

В большинстве логических систем утверждение вида «P iff Q» доказывается либо «если P, то Q» и «если Q, то P», либо «если P, то Q» и «если не-P, то не-Q». Доказательство этих пар утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, поскольку нет очевидных условий, в которых можно было бы вывести двуусловное утверждение напрямую. Альтернативой является доказательство дизъюнкции « ( P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена напрямую из любого из ее дизъюнктов — то есть, поскольку «iff» является истинностно-функциональным , «P iff Q» следует, если было показано, что P и Q оба истинны или оба ложны.

Происхождение iff и произношение

Использование аббревиатуры «iff» впервые появилось в печати в книге Джона Л. Келли «Общая топология» 1955 года . ^[13] Ее изобретение часто приписывают Полу Халмошу , который писал: «Я придумал „iff“ для „если и только если“, но я никогда не мог поверить, что я действительно был ее первым изобретателем». ^[14]

Не совсем понятно, как должно было произноситься «iff». В современной практике единственное «слово» «iff» почти всегда читается как четыре слова «if and only if». Однако в предисловии к « General Topology » Келли предлагает читать его по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует «if and only if», а благозвучие требует чего-то меньшего, я использую «iff» Халмоша». Авторы одного учебника по дискретной математике предлагают: ^[15] «Если вам нужно произнести iff, действительно держитесь за «ff», чтобы люди слышали разницу от «if»», подразумевая, что «iff» можно произносить как [ɪfː] .

Использование в определениях

Традиционно определения являются утверждениями «если и только если»; некоторые тексты — такие как «Общая топология» Келли — следуют этому соглашению и используют «если и только если» или iff в определениях новых терминов. ^[16] Однако такое использование «если и только если» относительно необычно и игнорирует лингвистический факт, что «если» определения интерпретируется как означающее «если и только если». Большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи английской Википедии) следуют лингвистическому соглашению интерпретировать «если» как «если и только если» всякий раз, когда задействовано математическое определение (например, «топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие»). ^[17] Более того, в случае рекурсивного определения , только половина определения if интерпретируется как предложение на метаязыке, утверждающее, что предложения в определении предиката являются единственными предложениями, определяющими расширение предиката.

В терминах диаграмм Эйлера

• 
  A является собственным подмножеством B. Число принадлежит A только в том случае , если оно принадлежит B ; число принадлежит B, если оно принадлежит A.
• 
  C является подмножеством, но не собственным подмножеством B. Число принадлежит B тогда и только тогда, когда оно принадлежит C , а число принадлежит C тогда и только тогда, когда оно принадлежит B.

Диаграммы Эйлера показывают логические связи между событиями, свойствами и т. д. «P только если Q», «если P, то Q» и «P→Q» означают, что P является подмножеством , собственным или несобственным, Q. «P если Q», «если Q, то P» и Q→P означают, что Q является собственным или несобственным подмножеством P. «P тогда и только если Q» и «Q тогда и только если P» означают, что множества P и Q идентичны друг другу.

Более общее использование

Iff используется и за пределами области логики. Везде, где применяется логика, особенно в математических дискуссиях, он имеет то же значение, что и выше: это сокращение для if и только if , указывающее, что одно утверждение является как необходимым, так и достаточным для другого. Это пример математического жаргона (хотя, как отмечено выше, if чаще используется, чем iff в утверждениях определения).

Элементами X являются все и только элементы Y, что означает: «Для любого z в области дискурса , z принадлежит X тогда и только тогда, когда z принадлежит Y ».

Когда «если» означает «если и только если»

В своей книге «Искусственный интеллект: современный подход » Рассел и Норвиг отмечают (стр. 282), ^[18] по сути, что часто более естественно выражать if и только if как if вместе с «семантикой базы данных (или логического программирования)». Они приводят пример английского предложения «У Ричарда есть два брата, Джеффри и Джон».

В базе данных или логической программе это можно было бы представить просто двумя предложениями:

Брат (Ричард, Джеффри).

Брат (Ричард, Джон).

Семантика базы данных интерпретирует базу данных (или программу) как содержащую все и только знания, релевантные для решения проблем в данной области. Она интерпретирует только если выражает на метаязыке, что предложения в базе данных представляют собой единственные знания, которые следует учитывать при выводе выводов из базы данных.

В логике первого порядка (ЛПП) со стандартной семантикой то же самое английское предложение должно быть представлено с использованием if и only if , при этом only if интерпретируется на объектном языке в такой форме, как:

${\displaystyle \forall }$X(Брат(Ричард, X) тогда и только тогда, когда X = Джеффри или X = Джон).

Джеффри ≠ Джон.

По сравнению со стандартной семантикой для FOL, семантика базы данных имеет более эффективную реализацию. Вместо рассуждений с предложениями вида:

заключение если условия

он использует предложения формы:

заключение если условия

рассуждать в прямом направлении от условий к выводам или в обратном направлении от выводов к условиям .

Семантика базы данных аналогична правовому принципу expressio unius est exclusio alterius (явное упоминание одной вещи исключает все остальные). Более того, она лежит в основе применения логического программирования к представлению юридических текстов и правовых рассуждений. ^[19]

Смотрите также

• Определение
• Отношение эквивалентности
• Логический двуусловный
• Логическое равенство
• Логическая эквивалентность
• Если и только если в логических программах
• Полисиллогизм

Ссылки

1. "Логические связки". sites.millersville.edu . Получено 10 сентября 2023 г. .
2. Копи, IM; Коэн, C.; Флаге, DE (2006). Основы логики (второе изд.). Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Pearson Education. стр. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
3. Weisstein, Eric W. "Iff." Из MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html Архивировано 13 ноября 2018 г. на Wayback Machine
4. Например , Дэпп, Ульрих; Горкин, Памела (2011), Чтение, письмо и доказательство: более пристальный взгляд на математику, Учебные материалы по математике для студентов , Springer, стр. 52, ISBN 9781441994790Хотя это может существенно сэкономить время, мы не рекомендуем использовать этот метод в официальных письмах.
5. Ротвелл, Эдвард Дж.; Клауд, Майкл Дж. (2014), Инженерное письмо по дизайну: создание официальных документов с непреходящей ценностью, CRC Press, стр. 98, ISBN 9781482234312, Это распространено в математических записях
6. Peil, Timothy. "Conditionals and Biconditionals". web.mnstate.edu . Архивировано из оригинала 24 октября 2020 г. Получено 4 сентября 2020 г.
7. p <=> q ​​Архивировано 18 октября 2016 г. на Wayback Machine . WolframAlpha
8. If and only if, UHM Department of Mathematics, архивировано из оригинала 5 мая 2000 г. , извлечено 16 октября 2016 г. , Теоремы, которые имеют форму "P if and only Q", очень ценятся в математике. Они дают то, что называется "необходимыми и достаточными" условиями, и дают полностью эквивалентные и, надеюсь, интересные новые способы сказать то же самое.
9. "XOR/XNOR/Odd Parity/Even Parity Gate". www.cburch.com . Архивировано из оригинала 7 апреля 2022 г. . Получено 22 октября 2019 г. .
10. Weisstein, Eric W. "Equivalent". mathworld.wolfram.com . Архивировано из оригинала 3 октября 2020 г. . Получено 4 сентября 2020 г. .
11. "Ян Лукасевич > Безскобочная или польская нотация Лукасевича (Стэнфордская энциклопедия философии)". plato.stanford.edu . Архивировано из оригинала 9 августа 2019 года . Получено 22 октября 2019 года .
12. "LaTeX:Symbol". Искусство решения проблем . Архивировано из оригинала 22 октября 2019 г. Получено 22 октября 2019 г.
13. Общая топология, переиздание ISBN 978-0-387-90125-1 
14. Николас Дж. Хайэм (1998). Справочник по написанию математических наук (2-е изд.). SIAM. стр. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
15. Маурер, Стивен Б.; Ралстон, Энтони (2005). Дискретная алгоритмическая математика (3-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. стр. 60. ISBN 1568811667.
16. Например, из «Общей топологии» , стр. 25: «Множество счетно , если оно конечно или счетно бесконечно». [жирный шрифт в оригинале]
17. Кранц, Стивен Г. (1996), Учебник по математическому письму , Американское математическое общество, стр. 71, ISBN 978-0-8218-0635-7
18. Рассел, Стюарт Дж .; Норвиг, Питер (2020) [1995]. Искусственный интеллект: современный подход (4-е изд.). Prentice Hall . стр. 1136. ISBN 978-0-13-461099-3. OCLC  359890490.
19. Ковальски, Р., Давила, Дж., Сартор, Г. и Калехо, М., 2023. Логический английский для права и образования. http://www.doc.ic.ac.uk/~rak/papers/Logical%20English%20for%20Law%20and%20Education%20.pdf В Prolog: The Next 50 Years (стр. 287-299). Cham: Springer Nature Switzerland.

Внешние ссылки

• "Таблицы истинности для "если и только если". Архивировано из оригинала 5 мая 2000 г.
• Языковой журнал: «На всякий случай»
• Философия Южной Калифорнии для аспирантов философского факультета: «На всякий случай»