Томографическая реконструкция

Оцените свойства объекта по конечному числу проекций

Томографическая реконструкция: проекция, обратная проекция и обратная проекция с фильтром.

Томографическая реконструкция — это тип многомерной обратной задачи , задача которой состоит в том, чтобы получить оценку конкретной системы на основе конечного числа проекций . Математическая основа томографической визуализации была заложена Иоганном Радоном . Ярким примером применения является реконструкция компьютерной томографии (КТ), при которой изображения поперечного сечения пациентов получаются неинвазивным способом. Недавние разработки показали, что преобразование Радона и его обратное значение используются для задач, связанных с реалистичной вставкой объектов, необходимых для тестирования и оценки использования компьютерной томографии в службах безопасности аэропортов . ^[1]

Данная статья в целом относится к методам реконструкции для всех видов томографии , но некоторые термины и физические описания относятся непосредственно к реконструкции рентгеновской компьютерной томографии .

Представляем формулу

Рисунок 1: Геометрия параллельного луча, используемая в томографии и томографической реконструкции. Каждая проекция, полученная в результате томографии под определенным углом, состоит из набора интегралов по линиям, проходящим через объект.

Полученное томографическое изображение пластикового фантома черепа. Проецированные рентгеновские лучи четко видны на этом срезе, полученном с помощью компьютерной томографии, как артефакты изображения из-за ограниченного количества проекционных срезов по углам.

Проекция объекта, полученная в результате томографического процесса измерения под заданным углом , состоит из набора линейных интегралов (см. рис. 1). Набор многих таких проекций под разными углами, организованных в 2D, называется синограммой (см. рис. 3). В рентгеновской КТ линейный интеграл представляет собой общее затухание пучка рентгеновских лучей при его прохождении через объект по прямой линии. Как уже говорилось выше, полученное изображение представляет собой 2D (или 3D) модель коэффициента затухания . То есть мы хотим найти изображение . Самый простой и легкий способ визуализации метода сканирования — это система параллельного проецирования , использовавшаяся в первых сканерах. Для этого обсуждения мы рассматриваем данные, которые должны быть собраны как серия параллельных лучей в позиции , пересекающих проекцию под углом . Это повторяется для разных углов. Затухание происходит в тканях экспоненциально : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle I=I_{0}\exp \left({-\int \mu (x,y)\,ds}\right)}$

где коэффициент затухания как функция положения. Следовательно, обычно общее затухание луча в позиции в проекции под углом определяется линейным интегралом: ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\ln \left({\frac {I}{I_{0}}}\right)=-\int \mu (x,y)\,ds}$

Используя систему координат, показанную на рисунке 1, значение, на которое точка будет проецироваться под углом, определяется выражением: ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle x\cos \theta +y\sin \theta =r\ }$

Таким образом, приведенное выше уравнение можно переписать как

${\displaystyle p_{\theta }(r)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\delta (x\cos \theta +y\sin \theta -r)\,dx\,dy}$

где представляет собой и является дельта-функцией Дирака . Эта функция известна как преобразование Радона (или синограмма ) 2D-объекта. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \mu (x,y)}$ ${\displaystyle \delta ()}$

Преобразование Фурье проекции можно записать как

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\exp[-j\omega (x\cos \theta +y\sin \theta )]\,dx\,dy=F(\Omega _{1},\Omega _{2})}$ где ^[2] ${\displaystyle \Omega _{1}=\omega \cos \theta ,\Omega _{2}=\omega \sin \theta }$

${\displaystyle P_{\theta }(\omega )}$представляет срез двумерного преобразования Фурье угла . Используя обратное преобразование Фурье , можно легко вывести формулу обратного преобразования Радона. ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )d\theta }$

где - производная преобразования Гильберта ${\displaystyle g_{\theta }(x\cos \theta +y\sin \theta )}$ ${\displaystyle p_{\theta }(r)}$

Теоретически обратное преобразование Радона даст исходное изображение. Теорема о срезах проекций говорит нам, что если бы у нас было бесконечное количество одномерных проекций объекта, снятых под бесконечным числом углов, мы могли бы идеально восстановить исходный объект . Однако на практике будет доступно лишь ограниченное число прогнозов. ${\displaystyle f(x,y)}$

Предполагая , что эффективный диаметр и желаемое разрешение равны , эмпирическое правило для количества проекций, необходимых для реконструкции, равно ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle R_{s}}$ ${\displaystyle N>\pi d/R_{s}}$

Алгоритмы реконструкции

Разработаны практические алгоритмы реконструкции, реализующие процесс реконструкции трехмерного объекта по его проекциям. ^{[3] [2]} Эти алгоритмы разработаны в основном на основе математики рентгеновского преобразования , статистических знаний о процессе сбора данных и геометрии системы отображения данных.

Алгоритм восстановления Фурье-области

Реконструкцию можно произвести с помощью интерполяции. Предположим, что проекции генерируются под одинаково расположенными углами, каждая из которых производится с одинаковой частотой. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) в каждой проекции дает выборку в частотной области. Объединение всех проекций с частотной дискретизацией создает полярный растр в частотной области. Полярный растр разрежен, поэтому для заполнения неизвестных точек ДПФ используется интерполяция, а реконструкцию можно выполнить с помощью обратного дискретного преобразования Фурье . ^[4] Производительность реконструкции можно улучшить за счет разработки методов изменения разреженности полярного растра, повышая эффективность интерполяции. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x,y)}$

Например, концентрический квадратный растр в частотной области можно получить, изменяя угол между каждой проекцией следующим образом:

${\displaystyle \theta '={\frac {R_{0}}{\max\{|\cos \theta |,|\sin \theta |\}}}}$

где – наивысшая частота, подлежащая оценке. ${\displaystyle R_{0}}$

Концентрический квадратный растр повышает эффективность вычислений, позволяя всем позициям интерполяции находиться на прямоугольной решетке ДПФ. Кроме того, это уменьшает ошибку интерполяции. ^[4] Тем не менее, алгоритм преобразования Фурье имеет недостаток, связанный с созданием зашумленных выходных данных.

Алгоритм обратной проекции

В практике реконструкции томографических изображений часто используется стабилизированная и дискретизированная версия обратного преобразования Радона, известная как алгоритм обратной проекции с фильтрацией . ^[2]

В дискретной системе обратное преобразование Радона имеет вид

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{2\pi }}\sum _{i=0}^{N-1}\Delta \theta _{i}g_{\theta _{i}}(x\cos \theta _{i}+y\sin \theta _{i})}$

${\displaystyle g_{\theta }(t)=p_{\theta }(t)\cdot k(t)}$

где – угловое расстояние между проекциями, – ядро ​​Радона с частотной характеристикой . ${\displaystyle \Delta \theta }$ ${\displaystyle k(t)}$ ${\displaystyle |\omega |}$

Название «обратная проекция» происходит от того факта, что одномерная проекция должна быть отфильтрована с помощью одномерного ядра Радона (обратная проекция), чтобы получить двумерный сигнал. Используемый фильтр не содержит усиления по постоянному току, поэтому может быть желательным добавление смещения по постоянному току . Реконструкция с использованием обратной проекции обеспечивает лучшее разрешение, чем метод интерполяции, описанный выше. Однако он вызывает больший шум, поскольку фильтр склонен усиливать высокочастотный контент.

Алгоритм итерационной реконструкции

Итерационный алгоритм требует больших вычислительных ресурсов, но позволяет включать априорную информацию о системе . ^[2] ${\displaystyle f(x,y)}$

Пусть – число проекций, – оператор искажения для й проекции, взятой под углом . представляют собой набор параметров для оптимизации преобразования итераций. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \theta _{i}}$ ${\displaystyle \{\lambda _{i}\}}$

${\displaystyle f_{0}(x,y)=\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}p_{\theta _{i}}(r)}$

Веерная реконструкция Шеппа-Логана Фантома с другим расстоянием между датчиками. Меньшее расстояние между датчиками обеспечивает более точную реконструкцию. Рисунок был создан с помощью MATLAB.

${\displaystyle f_{k}(x,y)=f_{k-1}(x,y)+\sum _{i=1}^{N}\lambda _{i}[p_{\theta _{i}}(r)-D_{i}f_{k-1}(x,y)]}$

Альтернативным семейством алгоритмов рекурсивной томографической реконструкции являются методы алгебраической реконструкции и итеративная разреженная асимптотическая минимальная дисперсия .

Реконструкция веерного луча

Использование неколлимированного веерного луча является обычным явлением, поскольку коллимированный пучок излучения трудно получить. Веерные лучи будут генерировать ряд линейных интегралов, не параллельных друг другу, как проекции. Для системы веерного луча требуется диапазон углов в 360 градусов, что накладывает механические ограничения, но позволяет ускорить получение сигнала, что может быть выгодно в определенных условиях, например, в области медицины. Обратное проецирование следует аналогичной двухэтапной процедуре, которая приводит к реконструкции путем вычисления обратных проекций взвешенной суммы, полученных на основе отфильтрованных проекций.

Реконструкция глубокого обучения

Влияние шума Пуассона на реконструкцию глубокого обучения, когда шум Пуассона приводит к тому, что U-Net не может реконструировать существующий высококонтрастный объект, похожий на повреждение.

В настоящее время методы глубокого обучения широко применяются для реконструкции изображений и достигли впечатляющих результатов в различных задачах реконструкции изображений, включая низкодозное шумоподавление, реконструкцию с разреженным изображением, томографию с ограниченным углом и уменьшение металлических артефактов. Отличный обзор можно найти в специальном выпуске ^[5] журнала IEEE Transaction on Medical Imaging. Одна группа алгоритмов реконструкции глубокого обучения применяет нейронные сети постобработки для достижения реконструкции изображений, где входные изображения реконструируются обычными методами реконструкции. Одним из примеров применения является уменьшение артефактов с использованием U-Net в томографии с ограниченным углом. ^[6] Однако в изображении, восстановленном таким полностью управляемым данными методом, ^[7] могут возникнуть неправильные структуры , как показано на рисунке. Таким образом, интеграция известных операторов в архитектуру нейронных сетей представляется полезной, как описано в концепции точного обучения. ^[8] Например, прямую реконструкцию изображения по данным проекции можно изучить с помощью фильтрованной обратной проекции. ^[9] Другой пример — построение нейронных сетей путем развертывания алгоритмов итеративной реконструкции. ^[10] За исключением точного обучения, использование традиционных методов реконструкции с предварительной реконструкцией глубокого обучения ^[11] также является альтернативным подходом к улучшению качества изображения при реконструкции глубокого обучения.

Программное обеспечение для томографической реконструкции

Томографические системы имеют значительные различия в своих приложениях и геометрии (расположении источников и детекторов). Эта изменчивость создает необходимость в очень специфических, адаптированных реализациях алгоритмов обработки и реконструкции. Таким образом, большинство производителей КТ предоставляют свое собственное фирменное программное обеспечение. Это делается не только для защиты интеллектуальной собственности, но также может быть предписано государственным регулирующим органом. Тем не менее, за последние пару десятилетий было разработано несколько пакетов программного обеспечения для томографической реконструкции общего назначения, как коммерческих, так и с открытым исходным кодом.

Большинство коммерческих пакетов программного обеспечения, доступных для приобретения, ориентированы на обработку данных для настольных систем конусно-лучевой компьютерной томографии. Некоторые из этих программных пакетов включают Volume Graphics, InstaRecon, iTomography, Livermore Tomography Tools (LTT) и Cone Beam Software Tools (CST).

Некоторые заслуживающие внимания примеры программного обеспечения для реконструкции с открытым исходным кодом включают: RTK, ^[12] CONRAD, ^[13] TomoPy, ^[14] набор инструментов ASTRA, ^{[15] [16]} PYRO-NN, ^[17] ODL, ^[18] TIGRE, ^{[ 19]} и LEAP. ^[20]

Галерея

В галерее показан полный процесс томографии простого объекта и последующей томографической реконструкции на основе ART.

• 
  Рис. 2: Объект -фантом , два квадрата с кошачьими углами.
• 
  Рис. 3: Синограмма фантомного объекта (рис. 2), полученная по данным томографии. Было взято 50 проекционных срезов под углом 180 градусов, отобранных на равном расстоянии (только по совпадению ось X отмечает смещение на -50/50 единиц).
• Рис.4: Томографическая реконструкция синограммы на рис.3 на основе ART , представленная в виде анимации процесса итеративной реконструкции. Исходный объект можно аппроксимативно реконструировать, поскольку полученное изображение имеет некоторые визуальные артефакты .

Смотрите также

• Операция компьютерной томографии#Томографическая реконструкция
• Реконструкция конусной балки
• Промышленное компьютерное сканирование
• Системы промышленной томографии

Рекомендации

1. Мегерби, Н., Брекон, Т.П., Флиттон, Г.Т., Мутон, А. (октябрь 2013 г.). «Генерация металлических артефактов на основе преобразования радона в трехмерной проекции изображений угроз» (PDF) . Учеб. SPIE Оптика и фотоника для борьбы с терроризмом, преступностью и обороны . Том. 8901. ШПИОН. стр. 1–7. дои : 10.1117/12.2028506. S2CID  14001672 . Проверено 5 ноября 2013 г.{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
2. Даджен и Мерсеро (1984). Многомерная цифровая обработка сигналов . Прентис-Холл.
3. Герман, Г.Т., Основы компьютерной томографии: реконструкция изображения по проекции, 2-е издание, Springer, 2009 г.
4. Р. Мерсеро, А. Оппенгейм (1974). «Цифровая реконструкция многомерных сигналов по их проекциям». Труды IEEE . 62 (10): 1319–1338. дои : 10.1109/proc.1974.9625. hdl : 1721.1/13788 .
5. Ван, Ге и Йе, Чон Чу и Мюллер, Клаус и Фесслер, Джеффри А. (2018). «Реконструкция изображений — новый рубеж машинного обучения». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 37 (6): 1289–1296. дои : 10.1109/TMI.2018.2833635. PMID  29870359. S2CID  46931303.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
6. Гу, Джаук и Йе, Чон Чхоль (2017). Остаточное обучение в многомасштабной вейвлет-области для реконструкции компьютерной томографии с ограниченным углом . Полностью 3D. стр. 443–447.{{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
7. Хуан Ю., Вюрфл Т., Брейнингер К., Лю Л., Лаурич Г., Майер А. (2018). Некоторые исследования устойчивости глубокого обучения в томографии с ограниченным углом . МИККАИ. дои : 10.1007/978-3-030-00928-1_17.{{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
8. Майер, Андреас К. и Сибен, Кристофер и Стимпель, Бернхард и Вюрфль, Тобиас и Хоффманн, Матис и Шебеш, Франк и Фу, Вейлин и Милль, Леонид и Клинг, Лассе и Кристиансен, Силке (2019). «Обучение с известными операторами снижает максимальные границы ошибок». Природный машинный интеллект . 1 (8): 373–380. arXiv : 1907.01992 . дои : 10.1038/s42256-019-0077-5. ПМК 6690833 . ПМИД  31406960. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
9. Тобиас Вюрфл, Матис Хоффманн, Винсент Кристлайн, Катарина Брейнингер, Исин Хуан, Матиас Унберат и Андреас Майер (2018). «Компьютерная томография с глубоким обучением: изучение весов проекционной области из области изображения в задачах с ограниченным углом». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 37 (6): 1454–1463. дои : 10.1109/TMI.2018.2833499. PMID  29870373. S2CID  46935914.
10. Дж. Адлер и О. Октем (2018). «Изученная первично-двойственная реконструкция». Транзакции IEEE по медицинской визуализации . 37 (6): 1322–1332. arXiv : 1707.06474 . дои : 10.1109/TMI.2018.2799231. PMID  29870362. S2CID  26897002.
11. Хуан Ю., Преухс А., Лаурич Г., Манхарт М., Хуан Х., Майер А. (2019). Согласованное уменьшение количества артефактов в данных для томографии с ограниченным углом с использованием априорного глубокого обучения . Машинное обучение для реконструкции медицинских изображений. arXiv : 1908.06792 . дои : 10.1007/978-3-030-33843-5_10.{{cite conference}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
12. [1]
13. А. Майер, Х. Г. Хофманн, М. Бергер, П. Фишер, К. Швеммер, Х. Ву, К. Мюллер, Дж. Хорнеггер, Дж. Чой, К. Рисс, А. Кейл, А. Фархиг (2013) . «CONRAD - Программная платформа для конусно-лучевой визуализации в радиологии». Медицинская физика . 40 (11): 111914. Бибкод : 2013MedPh..40k1914M. дои : 10.1118/1.4824926. ПМЦ 3820625 . ПМИД  24320447. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
14. Гурсой Д., Де Карло Ф., Сяо X и Якобсен С. (2014). «TomoPy: платформа для анализа данных синхротронной томографии». Журнал синхротронного излучения . 22 (5): 1188–1193. Бибкод : 2014SPIE.9212E..0NG. дои : 10.1107/S1600577514013939. ПМК 4181643 . ПМИД  25178011. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
15. Ван Орл, В., Паленстейн, В.Дж., Де Бенхаувер, Дж., Альтанцис Т., Балс С. , Батенбург К.Дж. и Дж. Сийберс (октябрь 2015 г.). «ASTRA Toolbox: платформа для разработки передовых алгоритмов в электронной томографии». Ультрамикроскопия . 157 : 35–47. doi :10.1016/j.ultramic.2015.05.002. hdl : 10067/1278340151162165141 . ПМИД  26057688.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
16. В. Ван Орл, В. Дж. Паленстейн, Дж. Кант, Э. Янссенс, Ф. Блейхродт, А. Дабравольски, Дж. Де Бенхаувер, К. Дж. Батенбург и Дж. Сийберс (2016). «Быстрая и гибкая рентгеновская томография с использованием набора инструментов ASTRA». Оптика Экспресс . 24 (22): 35–47. Бибкод : 2016OExpr..2425129V. дои : 10.1364/OE.24.025129 . hdl : 10067/1392160151162165141 . ПМИД  27828452.{{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
17. Сибен, Кристофер; Мичен, Маркус; Стимпель, Бернхард; Зейтц, Стефан; Плонер, Стефан; Майер, Андреас (2019). «PYRO-NN: операторы реконструкции Python в нейронных сетях». Медицинская физика . 46 (11): 5110–5115. arXiv : 1904.13342 . Бибкод : 2019MedPh..46.5110S. дои : 10.1002/mp.13753. ПМК 6899669 . ПМИД  31389023. {{cite journal}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
18. [2]
19. Опубликовано Университетом Бата и ЦЕРН. Бигури, Андер; Досандж, Манджит; Хэнкок, Стивен; Сулеймани, Манучехр (8 сентября 2016 г.). «TIGRE: набор инструментов MATLAB-GPU для реконструкции изображений КЛКТ». Биомедицинская физика и инженерия Экспресс . 2 (5): 055010. doi : 10.1088/2057-1976/2/5/055010 . ISSN  2057-1976.
    
20. [3] Ким, Хёджин; Чампли, Кайл (2023). «Дифференцируемый передний проектор для рентгеновской компьютерной томографии». ИКМЛ .

дальнейшее чтение

• Авинаш Как и Малкольм Слейни (1988), Принципы компьютерной томографической визуализации, IEEE Press, ISBN 0-87942-198-3 . 
• Брюянт, П. П. «Алгоритмы аналитической и итеративной реконструкции в ОФЭКТ» Журнал ядерной медицины 43 (10): 1343-1358, 2002 г.

Внешние ссылки

• Слейни, AC Как и Малкольм. «Принципы компьютерной томографии». Slaney.org . Проверено 7 сентября 2018 г.
• Инструментарий Insight; программное обеспечение для томографической поддержки с открытым исходным кодом
• «TomoPy — Документация TomoPy 1.1.3». Tomopy.readthedocs.org . Проверено 7 сентября 2018 г.
• Набор инструментов ASTRA (Всемасштабная томографическая реконструкция Антверпена); очень гибкое, быстрое программное обеспечение с открытым исходным кодом для компьютерной томографической реконструкции
• НифтиРек; комплексное программное обеспечение для томографической реконструкции с открытым исходным кодом; Возможность написания сценариев Matlab и Python
• Инструмент томографической реконструкции и визуализации с открытым исходным кодом
• «ITS plc - Томография электрических процессов для промышленной визуализации». Itoms.com . Проверено 7 сентября 2018 г.