В математике , в частности в теории категорий , posetal категория или thin категория [ 1] — это категория , homsets которой содержат не более одного морфизма. [2] Таким образом, posetal категория представляет собой предупорядоченный класс (или предупорядоченное множество , если его объекты образуют множество ). Как следует из названия, дополнительное требование, чтобы категория была скелетной , часто предполагается для определения «posetal»; в случае категории, которая является posetal, быть скелетной эквивалентно требованию, чтобы единственными изоморфизмами были тождественные морфизмы, что эквивалентно требованию, чтобы предупорядоченный класс удовлетворял антисимметрии и, следовательно, если это множество, является poset .
Все диаграммы коммутируют в позетальной категории. Когда коммутативные диаграммы категории интерпретируются как типизированная эквациональная теория, объектами которой являются типы, кодискретная позетальная категория соответствует противоречивой теории, понимаемой как удовлетворяющая аксиоме x = y для всех типов.
Рассматривая 2-категорию как обогащенную категорию , ом-объектами которой являются категории, ом-объекты любого расширения позетальной категории до 2-категории , имеющей те же 1-клетки, являются моноидами .
Некоторые решеточно-теоретические структуры определяются как posetal категории определенного вида, обычно с более сильным предположением, что они скелетные. Например, при этом предположении, posetal может быть определен как small posetal категория, distributive решетка как small posetal distributive категория , Heyting алгебра как small posetal конечно cocomplete декартово замкнутая категория , и Boolean алгебра как small posetal конечно cocomplete *-autonomous категория . Наоборот, категории, distributive категории, endly cocomplete декартово замкнутые категории и endly cocomplete *-autonomous категории могут рассматриваться как соответствующие категоризации posetal, distributive решетки, Heyting алгебры и Boolean алгебры.