Топологическая структура евклидова пространства
В математике, и особенно в общей топологии , евклидова топология — это естественная топология, индуцированная в -мерном евклидовом пространстве евклидовой метрикой .
Определение
Евклидова норма на — это неотрицательная функция, определяемая формулой
Как и все нормы , она индуцирует каноническую метрику , определяемую выражением Метрика, индуцируемая евклидовой нормой , называется евклидовой метрикой или евклидовым расстоянием , а расстояние между точками и равно
В любом метрическом пространстве открытые шары образуют базу для топологии на этом пространстве. [1]
Евклидова топология на — это топология, порожденная этими шарами. Другими словами, открытые множества евклидовой топологии на задаются (произвольными) объединениями открытых шаров, определенных как для всех вещественных и всех , где — евклидова метрика.
Характеристики
При наличии этой топологии вещественная линия является пространством T 5 . Если даны два подмножества, скажем , и с , где обозначает замыкание , то существуют открытые множества и с и такие, что [2]
Смотрите также
Ссылки