Скотт непрерывность

Определение непрерывности функций между частично упорядоченными множествами

В математике , если заданы два частично упорядоченных множества P и Q , функция f : P → Q между ними является Скотт-непрерывной (названной в честь математика Даны Скотт ), если она сохраняет все направленные супремумы . То есть, для каждого направленного подмножества D из P с супремумом в P , его образ имеет супремум в Q , и этот супремум является образом супремума D , т.е. , где — направленное соединение. ^[1] Когда — частично упорядоченное множество истинностных значений, т.е. пространство Серпинского , то Скотт-непрерывные функции являются характеристическими функциями открытых множеств, и, таким образом, пространство Серпинского является классифицирующим пространством для открытых множеств. ^[2] ${\displaystyle \sqcup f[D]=f(\sqcup D)}$ ${\displaystyle \sqcup }$ ${\displaystyle Q}$

Подмножество O частично упорядоченного множества P называется открытым по Скотту, если оно является верхним множеством и если оно недостижимо направленными соединениями , т. е. если все направленные множества D с супремумом в O имеют непустое пересечение с O. Открытые по Скотту подмножества частично упорядоченного множества P образуют топологию на P , топологию Скотта . Функция между частично упорядоченными множествами непрерывна по Скотту тогда и только тогда, когда она непрерывна относительно топологии Скотта. ^[1]

Топология Скотта была впервые определена Даной Скотт для полных решеток , а затем определена для произвольных частично упорядоченных множеств. ^[3]

Функции, непрерывные по Скотту, используются при изучении моделей лямбда-исчислений ^[3] и денотативной семантики компьютерных программ.

Характеристики

Функция, непрерывная по Скотту, всегда монотонна , что означает, что если для , то . ${\displaystyle A\leq _{P}B}$ ${\displaystyle A,B\subset P}$ ${\displaystyle f(A)\leq _{Q}f(B)}$

Подмножество направленного полного частичного порядка замкнуто относительно топологии Скотта, индуцированной частичным порядком, тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и замкнуто относительно супремумов направленных подмножеств. ^[4]

Направленный полный частичный порядок (dcpo) с топологией Скотта всегда является пространством Колмогорова (т. е. удовлетворяет аксиоме разделения T 0 ). ^[4] Однако, dcpo с топологией Скотта является пространством Хаусдорфа тогда и только тогда, когда порядок тривиален. ^[4] Множества Скотта-открытые образуют полную решетку , когда упорядочены по включению . ^[5]

Для любого пространства Колмогорова топология индуцирует отношение порядка на этом пространстве, порядок специализации : x ≤ y тогда и только тогда, когда каждая открытая окрестность x также является открытой окрестностью y . Отношение порядка dcpo D может быть восстановлено из множеств Scott-open как порядок специализации, индуцированный топологией Scott. Однако dcpo, снабженный топологией Scott, не обязательно должен быть sober : порядок специализации , индуцированный топологией sober пространства, превращает это пространство в dcpo, но топология Scott, полученная из этого порядка, тоньше исходной топологии. ^[4]

Примеры

Открытые множества в данном топологическом пространстве, упорядоченные включением , образуют решетку, на которой может быть определена топология Скотта. Подмножество X топологического пространства T компактно относительно топологии на T (в том смысле, что каждое открытое покрытие X содержит конечное подпокрытие X ) тогда и только тогда , когда множество открытых окрестностей X открыто относительно топологии Скотта . [ 5 ^]

Для CPO , декартово замкнутой категории dcpo, два особенно примечательных примера функций, непрерывных по Скотту, — это curry и apply . ^[6]

Нуэль Белнап использовал непрерывность Скотта для расширения логических связок до четырехзначной логики . ^[7]

Смотрите также

• топология Александрова
• Верхняя топология

Сноски

1. Vickers, Steven (1989). Топология через логику . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-36062-3.
2. Топология Скотта в n Lab
3. Scott, Dana (1972). "Непрерывные решетки". В Lawvere, Bill (ред.). Топосы, алгебраическая геометрия и логика . Конспект лекций по математике. Том 274. Springer-Verlag.
4. Абрамски, С.; Юнг, А. (1994). "Теория доменов" (PDF) . В Абрамски, С.; Габбей, Д.М.; Майбаум, Т.С.Е. (ред.). Справочник по логике в информатике . Том III. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853762-5.
5. Bauer, Andrej & Taylor, Paul (2009). "The Dedekind Reals in Abstract Stone Duality". Математические структуры в информатике . 19 (4): 757–838. CiteSeerX 10.1.1.424.6069 . doi :10.1017/S0960129509007695. S2CID  6774320. Получено 8 октября 2010 г. 
6. Барендрегт, HP (1984). Лямбда-исчисление . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-87508-2. (См. теоремы 1.2.13, 1.2.14)
7. Н. Белнап (1975) «Как компьютеры должны мыслить», страницы 30–56 в «Современных аспектах философии» , редактор Гилберт Райл , Oriel Press ISBN 0-85362-161-6 

Ссылки

• «Топология Скотта». PlanetMath .