Топологии Уитни

Топологии, определенные на множестве гладких отображений между многообразиями

В математике, и особенно в дифференциальной топологии , функциональном анализе и теории особенностей , топологии Уитни представляют собой счетное бесконечное семейство топологий, определенных на множестве гладких отображений между двумя гладкими многообразиями . Они названы в честь американского математика Хасслера Уитни .

Строительство

Пусть M и N — два действительных гладких многообразия. Кроме того, пусть C ∞ ( M , N ) обозначает пространство гладких отображений между M и N . Обозначение C ^∞ означает, что отображения бесконечно дифференцируемы, т.е. существуют и непрерывны частные производные всех порядков . ^[1]

Уитни С.к-топология

Для некоторого целого числа k ≥ 0 пусть J ^k ( M , N ) обозначает k -струйное пространство отображений между M и N . Пространство струй может быть снабжено гладкой структурой (т.е. структурой как C ^∞ многообразие), которая превращает его в топологическое пространство. Эта топология используется для определения топологии на C ^∞ ( M , N ).

Для фиксированного целого числа k ≥ 0 рассмотрим открытое подмножество U ⊂ J ^k ( M , N ) и обозначим через S ^k ( U ) следующее:

${\displaystyle S^{k}(U)=\{f\in C^{\infty }(M,N):(J^{k}f)(M)\subseteq U\}.}$

Множества S ^k ( U ) образуют основу топологии Уитни C ^k на C ^∞ ( M , N ). ^[2]

Уитни С.∞-топология

Для каждого выбора k ≥ 0 топология Whitney C ^k дает топологию для C ^∞ ( M , N ); другими словами, топология Whitney C ^k говорит нам, какие подмножества C ^∞ ( M , N ) являются открытыми множествами. Обозначим через W ^k множество открытых подмножеств C ^∞ ( M , N ) относительно топологии Whitney C ^k . Тогда топология Whitney C ^∞ определяется как топология, базис которой задается W , где: ^[2]

${\displaystyle W=\bigcup _{k=0}^{\infty }W^{k}.}$

Размерность

Обратите внимание, что C ^∞ ( M , N ) имеет бесконечную размерность, тогда как J ^k ( M , N ) имеет конечную размерность. Фактически, J ^k ( M , N ) является действительным конечномерным многообразием. Чтобы увидеть это, пусть ℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] обозначает пространство многочленов с действительными коэффициентами от m переменных порядка не более k и с нулем в качестве постоянного члена. Это действительное векторное пространство с размерностью

${\displaystyle \dim \left\{\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}]\right\}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {(m+i-1)!}{(m-1)!\cdot i!}}=\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

Записывая a = dim{ℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] } , тогда по стандартной теории векторных пространств ℝ ^k [ x ₁ ,..., x _m ] ≅ ℝ ^a , и поэтому является вещественным конечномерным многообразием. Далее, определим:

${\displaystyle B_{m,n}^{k}=\bigoplus _{i=1}^{n}\mathbb {R} ^{k}[x_{1},\ldots ,x_{m}],\implies \dim \left\{B_{m,n}^{k}\right\}=n\dim \left\{A_{m}^{k}\right\}=n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}-1\right).}$

Используя b для обозначения размерности B ^k _{m , n} , мы видим, что B ^k _{m , n} ≅ ℝ ^b , и поэтому является действительным конечномерным многообразием.

Фактически, если M и N имеют размерность m и n соответственно, то: ^[3]

${\displaystyle \dim \!\left\{J^{k}(M,N)\right\}=m+n+\dim \!\left\{B_{n,m}^{k}\right\}=m+n\left({\frac {(m+k)!}{m!\cdot k!}}\right).}$

Топология

Учитывая топологию Уитни C ^∞ , пространство C ^∞ ( M , N ) является пространством Бэра , т.е. каждое остаточное множество является плотным . ^[4]

Ссылки

1. Голубицкий, М .; Гийемен, В. (1974), Стабильные отображения и их особенности , Springer, стр. 1, ISBN 0-387-90072-1
2. Голубицкий и Гиймен (1974), с. 42.
3. Голубицкий и Гиймен (1974), с. 40.
4. Голубицкий и Гиймен (1974), с. 44.