Степень непрерывного отображения

Концепция в топологии

Отображение сферы на себя второй степени .

В топологии степень непрерывного отображения между двумя компактными ориентированными многообразиями одной и той же размерности — это число, которое представляет количество раз, которое многообразие области обертывает вокруг многообразия значений при отображении. Степень всегда является целым числом , но может быть положительной или отрицательной в зависимости от ориентации.

Степень отображения была впервые определена Брауэром ^[1] , который показал, что степень является гомотопически инвариантной ( инвариантной среди гомотопий), и использовал ее для доказательства теоремы Брауэра о неподвижной точке . В современной математике степень отображения играет важную роль в топологии и геометрии . В физике степень непрерывного отображения (например, отображения пространства в некоторый набор параметров порядка) является одним из примеров топологического квантового числа .

Определения степени

От Sn до Sn​​

Самый простой и важный случай — это степень непрерывного отображения -сферы в себя (в случае это называется числом обмотки ): ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle n=1}$

Пусть – непрерывное отображение. Тогда индуцирует гомоморфизм , где –-я группа гомологий . Принимая во внимание тот факт, что , мы видим, что это должно быть в виде некоторого фиксированного . Тогда это называется степенью . ${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{*}\colon H_{n}\left(S^{n}\right)\to H_{n}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n}\left(\cdot \right)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}\left(S^{n}\right)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{*}\colon x\mapsto \alpha x}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f}$

Между коллекторами

Алгебраическая топология

Пусть X и Y — замкнутые связные ориентированные m -мерные многообразия . Двойственность Пуанкаре подразумевает, что верхняя группа гомологий многообразия изоморфна Z . Выбор ориентации означает выбор генератора верхней группы гомологии.

Непрерывное отображение f  : X → Y индуцирует гомоморфизм f _∗ из H _m ( X ) в H _m ( Y ). Пусть [ X ], соотв. [ Y ] — выбранный генератор H _m ( X ), соответственно. H _m ( Y ) (или фундаментальный класс X , Y ) . Тогда степень f определяется как f _* ([ X ] ) . Другими словами,

${\displaystyle f_{*}([X])=\deg(f)[Y]\,.}$

Если y в Y и f ⁻¹ ( y ) — конечное множество, степень f можно вычислить, рассматривая m -ю локальную группу гомологии X в каждой точке f ⁻¹ ( y ) . А именно, если , то ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x_{1},\dots ,x_{m}\}}$

${\displaystyle \deg(f)=\sum _{i=1}^{m}\deg(f|_{x_{i}})\,.}$

Дифференциальная топология

На языке дифференциальной топологии степень гладкого отображения можно определить следующим образом: если f — гладкое отображение, областью определения которого является компактное многообразие, а p — регулярное значение f , рассмотрим конечное множество

${\displaystyle f^{-1}(p)=\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}\,.}$

Поскольку p является регулярным значением, в окрестности каждого x _i отображение f является локальным диффеоморфизмом . Диффеоморфизмы могут быть как сохраняющими, так и обращающими ориентацию. Пусть r будет числом точек x _i , в которых f сохраняет ориентацию, а s будет числом, в которых f меняет ориентацию. Когда кодобласть f связна, число r  −  s не зависит от выбора p (хотя n не зависит!), и степень f определяется как r  −  s . Это определение совпадает с приведенным выше алгебро-топологическим определением.

То же определение работает для компактных многообразий с краем , но тогда f должно направить границу X на границу Y .

Можно также определить степень по модулю 2 (deg ₂ ( f )) так же, как и раньше, но взяв фундаментальный класс в гомологиях Z ₂ . В этом случае deg ₂ ( f ) является элементом Z ₂ ( поле с двумя элементами ), многообразия не обязательно должны быть ориентируемыми, и если n — количество прообразов p , как и раньше, то deg ₂ ( f ) равно n по модулю 2. .

Интегрирование дифференциальных форм дает пару между (C ^∞ -) сингулярными гомологиями и когомологиями де Рама : , где – класс гомологий, представленный циклом , и замкнутая форма, представляющая класс когомологий де Рама. Для гладкого отображения f  : X → Y между ориентируемыми m -многообразиями имеем ${\textstyle \langle c,\omega \rangle =\int _{c}\omega }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \left\langle f_{*}[c],[\omega ]\right\rangle =\left\langle [c],f^{*}[\omega ]\right\rangle ,}$

где f _∗ и f ^∗ — индуцированные отображения цепей и форм соответственно. Поскольку f _∗ [ X ] = deg f · [ Y ], имеем

${\displaystyle \deg f\int _{Y}\omega =\int _{X}f^{*}\omega \,}$

для любой m -формы ω на Y .

Карты закрытого региона

Если – ограниченная область , гладкая, регулярное значение и , то степень определяется по формуле ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p\notin f(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)}$

${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p):=\sum _{y\in f^{-1}(p)}\operatorname {sgn} \det(Df(y))}$

где – матрица Якобиана в . ${\displaystyle Df(y)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$

Это определение степени может быть естественным образом расширено для нерегулярных значений, таких как где - точка, близкая к . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg \left(f,\Omega ,p'\right)}$ ${\displaystyle p'}$ ${\displaystyle p}$

Степень удовлетворяет следующим свойствам: ^[2]

• Если , то существует такое, что . ${\displaystyle \deg \left(f,{\bar {\Omega }},p\right)\neq 0}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle f(x)=p}$
• ${\displaystyle \deg(\operatorname {id} ,\Omega ,y)=1}$для всех . ${\displaystyle y\in \Omega }$
• Свойство разложения:
  $${\displaystyle \deg(f,\Omega ,y)=\deg(f,\Omega _{1},y)+\deg(f,\Omega _{2},y),}$$
  if являются непересекающимися частями и . ${\displaystyle \Omega _{1},\Omega _{2}}$ ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}\cup \Omega _{2}}$ ${\displaystyle y\not \in f{\left({\overline {\Omega }}\setminus \left(\Omega _{1}\cup \Omega _{2}\right)\right)}}$
• Гомотопическая инвариантность : Если и гомотопически эквивалентны через гомотопию такую, что и , то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\displaystyle F(0)=f,\,F(1)=g}$ ${\displaystyle p\notin F(t)(\partial \Omega )}$ ${\displaystyle \deg(f,\Omega ,p)=\deg(g,\Omega ,p)}$
• Функция локально постоянна на ${\displaystyle p\mapsto \deg(f,\Omega ,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-f(\partial \Omega )}$

Эти свойства однозначно характеризуют степень, и степень может быть определена ими аксиоматически.

Аналогичным образом мы могли бы определить степень отображения между компактными ориентированными многообразиями с краем .

Характеристики

Степень отображения является гомотопическим инвариантом; более того, для непрерывных отображений сферы в себя оно является полным гомотопическим инвариантом, т. е. два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда . ${\displaystyle f,g:S^{n}\to S^{n}\,}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g)}$

Другими словами, степень является изоморфизмом между и . ${\displaystyle \left[S^{n},S^{n}\right]=\pi _{n}S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} }$

Более того, теорема Хопфа утверждает, что для любого -мерного замкнутого ориентированного многообразия M два отображения гомотопны тогда и только тогда, когда ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f,g:M\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=\deg(g).}$

Самоотображение n - сферы расширяемо до отображения n +1 -шара в n -сферу тогда и только тогда, когда . (Здесь функция F расширяет f в том смысле, что f является ограничением F на .) ${\displaystyle f:S^{n}\to S^{n}}$ ${\displaystyle F:B_{n+1}\to S^{n}}$ ${\displaystyle \deg(f)=0}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Вычисление степени

Существует алгоритм вычисления топологической степени deg( f , B , 0) непрерывной функции f от n -мерного ящика B (произведения n интервалов) до , где f задается в виде арифметических выражений. ^[3] Реализация алгоритма доступна в TopDeg — программном инструменте для вычисления степени (LGPL-3). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Смотрите также

• Покрывающее число — термин с аналогичным названием. Заметим, что оно не обобщает число витков, а описывает покрытия множества шарами.
• Плотность (многогранник) , многогранный аналог
• Теория топологической степени

Примечания

1. Брауэр, LEJ (1911). «Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten». Математические Аннален . 71 (1): 97–115. дои : 10.1007/bf01456931. S2CID  177796823.
2. Танцовщица, EN (2000). Вариационное исчисление и уравнения в частных производных . Спрингер-Верлаг. стр. 185–225. ISBN 3-540-64803-8.
3. Франек, Питер; Ратчан, Стефан (2015). «Эффективное вычисление топологической степени на основе интервальной арифметики». Математика вычислений . 84 (293): 1265–1290. arXiv : 1207.6331 . дои : 10.1090/S0025-5718-2014-02877-9. ISSN  0025-5718. S2CID  17291092.

Рекомендации

• Фландерс, Х. (1989). Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам . Дувр.
• Хирш, М. (1976). Дифференциальная топология . Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90148-5.
• Милнор, JW (1997). Топология с дифференцируемой точки зрения . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-04833-8.
• Оутерело, Э.; Руис, Дж. М. (2009). Теория степени отображения . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4915-6.

Внешние ссылки

• «Степень Брауэра», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Давайте познакомимся со степенью отображения Раде Т. Живальевича.