Универсальное пространство

В математике универсальное пространство — это определенное метрическое пространство , которое содержит все метрические пространства, размерность которых ограничена некоторой фиксированной константой. Аналогичное определение существует в топологической динамике .

Определение

При заданном классе топологических пространств является универсальным для , если каждый член вкладывается в . Менгер сформулировал и доказал случай следующей теоремы. Теорема в полной общности была доказана Нёбелингом. ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} }$ ${\displaystyle \textstyle d=1}$

Теорема: ^[1] -мерный куб универсален для класса компактных метрических пространств, размерность покрытия Лебега которых меньше . ${\displaystyle \textstyle (2d+1)}$ ${\displaystyle \textstyle [0,1]^{2d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

Нёбелинг пошёл дальше и доказал:

Теорема: Подпространство, состоящее из множества точек, большинство координат которых рациональны, является универсальным для класса сепарабельных метрических пространств, размерность покрытия Лебега которых меньше . ${\displaystyle \textstyle [0,1]^{2d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle d}$

Последняя теорема была обобщена Липскомбом на класс метрических пространств веса , : существует одномерное метрическое пространство такое, что подпространство, состоящее из множества точек, большинство координат которых «рациональны» (определены соответствующим образом), является универсальным для класса метрических пространств, размерность покрытия Лебега которых меньше , а вес меньше . ^[2] ${\displaystyle \textstyle \alpha }$ ${\displaystyle \textstyle \alpha >\aleph _{0}}$ ${\displaystyle \textstyle J_{\alpha }}$ ${\displaystyle \textstyle J_{\alpha }^{2d+1}}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle d}$ ${\displaystyle \textstyle \alpha }$

Универсальные пространства в топологической динамике

Рассмотрим категорию топологических динамических систем, состоящую из компактного метрического пространства и гомеоморфизма . Топологическая динамическая система называется минимальной , если она не имеет собственных непустых замкнутых -инвариантных подмножеств. Она называется бесконечной, если . Топологическая динамическая система называется фактором , если существует непрерывное сюръективное отображение , которое является эквивариантным , т.е. для всех . ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle X}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle T}$ ${\displaystyle \textstyle |X|=\infty }$ ${\displaystyle \textstyle (Y,S)}$ ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle \varphi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \textstyle \varphi (Tx)=S\varphi (x)}$ ${\displaystyle \textstyle x\in X}$

Аналогично определению выше, заданному классу топологических динамических систем, является универсальным для , если каждый член вкладывается в посредством эквивариантного непрерывного отображения. Линденштраус доказал следующую теорему: ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} \in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mathbb {U} }$

Теорема ^[3] : Пусть . Компактная метрическая топологическая динамическая система , где и — сдвиговый гомеоморфизм ${\displaystyle \textstyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \textstyle (X,T)}$ ${\displaystyle \textstyle X=([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \textstyle T:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle \textstyle (\ldots ,x_{-2},x_{-1},\mathbf {x_{0}} ,x_{1},x_{2},\ldots )\rightarrow (\ldots ,x_{-1},x_{0},\mathbf {x_{1}} ,x_{2},x_{3},\ldots )}$

является универсальным для класса компактных метрических топологических динамических систем, средняя размерность которых строго меньше и которые обладают бесконечным минимальным множителем. ${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{36}}}$

В той же статье Линденштраус спросил, какова наибольшая константа, такая, что компактная метрическая топологическая динамическая система, средняя размерность которой строго меньше и которая обладает бесконечным минимальным множителем, вкладывается в . Из приведенных выше результатов следует . На этот вопрос ответили Линденштраус и Цукамото ^[4], которые показали, что , и Гутман и Цукамото ^[5], которые показали, что . Таким образом, ответом является . ${\displaystyle \textstyle c}$ ${\displaystyle \textstyle cd}$ ${\displaystyle \textstyle ([0,1]^{d})^{\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle \textstyle c\geq {\frac {1}{36}}}$ ${\displaystyle \textstyle c\leq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle c\geq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle c={\frac {1}{2}}}$

Смотрите также

• Универсальная собственность
• универсальное пространство Урысона
• Средний размер

Ссылки

1. Hurewicz, Witold; Wallman, Henry (2015) [1941]. "V Covering and Imbedding Theorems §3 Imbedding of a compact n-dimensional space in I2n+1: Theorem V.2". Теория размерности . Princeton Mathematical Series. Том 4. Princeton University Press. С. 56–. ISBN 978-1400875665.
2. Липскомб, Стивен Леон (2009). «Поиск универсальных пространств в теории размерности» (PDF) . Notices Amer. Math. Soc . 56 (11): 1418–24.
3. Линденштраусс, Элон (1999). "Средняя размерность, малые энтропийные факторы и теорема вложения. Теорема 5.1". Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math . 89 (1): 227–262. doi :10.1007/BF02698858. S2CID  2413058.
4. Линденштраусс, Элон; Цукамото, Масаки (март 2014 г.). «Среднее измерение и проблема вложения: пример». Israel Journal of Mathematics . 199 (2): 573–584. doi : 10.1007/s11856-013-0040-9 . ISSN  0021-2172. S2CID  2099527.
5. Гутман, Йонатан; Цукамото, Масаки (01 июля 2020 г.). «Вложение минимальных динамических систем в кубы Гильберта». Математические изобретения . 221 (1): 113–166. arXiv : 1511.01802 . Бибкод : 2020InMat.221..113G. doi : 10.1007/s00222-019-00942-w. ISSN  1432-1297. S2CID  119139371.