Евклидова топология

Топологическая структура евклидова пространства

В математике, и особенно в общей топологии , евклидова топология — это естественная топология, индуцированная в -мерном евклидовом пространстве евклидовой метрикой . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Определение

Евклидова норма на — это неотрицательная функция, определяемая формулой ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \left\|\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)\right\|~:=~{\sqrt {p_{1}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}.}$$

Как и все нормы , она индуцирует каноническую метрику , определяемую выражением Метрика, индуцируемая евклидовой нормой , называется евклидовой метрикой или евклидовым расстоянием , а расстояние между точками и равно ${\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}$ ${\displaystyle d:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p=\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)}$ ${\displaystyle q=\left(q_{1},\ldots ,q_{n}\right)}$ $${\displaystyle d(p,q)~=~\|p-q\|~=~{\sqrt {\left(p_{1}-q_{1}\right)^{2}+\left(p_{2}-q_{2}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{i}-q_{i}\right)^{2}+\cdots +\left(p_{n}-q_{n}\right)^{2}}}.}$$

В любом метрическом пространстве открытые шары образуют базу для топологии на этом пространстве. ^[1] Евклидова топология на — это топология, порожденная этими шарами. Другими словами, открытые множества евклидовой топологии на задаются (произвольными) объединениями открытых шаров, определенных как для всех вещественных и всех , где — евклидова метрика. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle B_{r}(p)}$ ${\displaystyle B_{r}(p):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:d(p,x)<r\right\},}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle d}$

Характеристики

При наличии этой топологии вещественная линия является пространством T 5 . Если даны два подмножества, скажем , и с , где обозначает замыкание , то существуют открытые множества и с и такие, что ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {A}}\cap B=A\cap {\overline {B}}=\varnothing ,}$ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle S_{A}}$ ${\displaystyle S_{B}}$ ${\displaystyle A\subseteq S_{A}}$ ${\displaystyle B\subseteq S_{B}}$ ${\displaystyle S_{A}\cap S_{B}=\varnothing .}$

Смотрите также

• Гильбертово пространство  – Тип топологического векторного пространства
• Список банаховых пространств
• Список топологий  – Список конкретных топологий и топологических пространств

Ссылки

1. Метрическое пространство#Открытые и закрытые множества.2C топология и сходимость
2. Стин, LA; Зеебах, JA (1995), Контрпримеры в топологии , Dover, ISBN 0-486-68735-X