Топос

В математике топос ( США : / ˈtɒpɒs / , Великобритания : / ˈt oʊp oʊs , ˈt oʊpɒs / ; множественное число топосы / ˈtɒpɔɪ / или / ˈt oʊpɔɪ / , или топосы ) — это категория , которая ведёт себя подобно категории пучков множеств на топологическом пространстве (или , в более общем смысле: на сайте ) . Топосы ведут себя во многом подобно категории множеств и обладают понятием локализации ; они являются прямым обобщением ^{топологии}точек и множеств . [ 1 ] Топосы Гротендика находят применение в алгебраической геометрии ; более общие элементарные топосы используются в логике .

Математическая область, изучающая топосы, называется теорией топосов .

Топос Гротендика (топос в геометрии)

С момента введения пучков в математику в 1940-х годах основной темой стало изучение пространства путем изучения пучков на пространстве. Эту идею изложил Александр Гротендик , введя понятие «топоса». Основная польза этого понятия заключается в обилии ситуаций в математике, где топологические эвристики очень эффективны, но честное топологическое пространство отсутствует; иногда можно найти топос, формализующий эвристику. Важным примером этой программной идеи является étale topos схемы . Еще одной иллюстрацией способности топосов Гротендика воплощать «сущность» различных математических ситуаций является их использование в качестве «мостов» для соединения теорий, которые, хотя и написаны, возможно, на очень разных языках, имеют общее математическое содержание. ^[2]^[3] Эти «мосты», по словам математика Оливии Карамелло , которая является основателем и президентом исследовательской организации Института Гротендика, также могут «способствовать передаче информации между различными доменами». ^[4] По этой причине технологическая компания Huawei поручила математику Лорану Лаффоргу глубже изучить этот аспект, чтобы иметь возможность использовать новаторские исследования Гротендика для развития в области исследований все более эффективного ИИ. ^[4]

Эквивалентные определения

Топос Гротендика — это категория , которая удовлетворяет любому из следующих трех свойств. (Теорема Жана Жиро утверждает, что все приведенные ниже свойства эквивалентны.) $C$

Существует малая категория и включение , допускающее левый сопряженный оператор , сохраняющий конечный предел . $D$ $C\hookrightarrow \operatorname {PreshD}$
$C$ — это категория пучков на участке Гротендик .
$C$ удовлетворяет аксиомам Жиро, приведенным ниже.

Здесь Presh( D ) обозначает категорию контравариантных функторов из D в категорию множеств; такой контравариантный функтор часто называют предпучком .

Аксиомы Жиро

Аксиомы Жиро для категории C таковы:

C имеет небольшой набор генераторов и допускает все малые копределы . Более того, волокнистые произведения распределяются по копроизведениям. То есть, если заданы набор I , I -индексированное копроизведение, отображающееся в A , и морфизм A' → A , пулбэк является I -индексированным копроизведением пулбэков: $\left(\coprod _{i\in I}B_{i}\right)\times _{A}A'\cong \coprod _{i\in I}(B_{i}\times _{A}A').$
Суммы в C не пересекаются. Другими словами, послойное произведение X и Y по их сумме является исходным объектом в C.
Все отношения эквивалентности в C эффективны .

Последняя аксиома требует наибольшего объяснения. Если X является объектом C , «отношение эквивалентности» R на X является отображением R → X × X в C таким, что для любого объекта Y в C индуцируемое отображение Hom( Y , R ) → Hom( Y , X ) × Hom( Y , X ) дает обычное отношение эквивалентности на множестве Hom( Y , X ). Поскольку C имеет копределы, мы можем сформировать коуравнитель двух отображений R → X ; назовем его X / R . Отношение эквивалентности «эффективно», если каноническое отображение

R\to X\times _{X/R}X\,\!

является изоморфизмом.

Примеры

Теорема Жиро уже дает "пучки на сайтах" как полный список примеров. Обратите внимание, однако, что неэквивалентные сайты часто приводят к эквивалентным топосам. Как указано во введении, пучки на обычных топологических пространствах мотивируют многие из основных определений и результатов теории топосов.

Категория наборов и G-наборов

Категория множеств является важным частным случаем: она играет роль точки в теории топосов. Действительно, множество можно рассматривать как пучок на точке, поскольку функторы на категории синглетона с одним объектом и только тождественным морфизмом являются просто конкретными множествами в категории множеств.

Аналогично, существует топос для любой группы , который эквивалентен категории -множеств. Мы строим это как категорию предпучков на категории с одним объектом, но теперь набор морфизмов задается группой . Поскольку любой функтор должен давать -действие на цель, это дает категорию -множеств. Аналогично, для группоида категория предпучков на дает коллекцию множеств, индексированных множеством объектов в , а автоморфизмы объекта в имеют действие на цель функтора. $BG$ $G$ $G$ $G$ $G$ $G$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {G}}$

Топосы из кольцевых пространств

Более экзотические примеры и смысл существования теории топосов происходят из алгебраической геометрии. Основной пример топоса происходит из топоса Зарисского схемы . Для каждой схемы существует сайт (объектов, заданных открытыми подмножествами и морфизмами, заданными включениями), категория предпучков которого образует топос Зарисского . Но как только рассматриваются выделенные классы морфизмов, существует множество обобщений этого, что приводит к нетривиальной математике. Более того, топосы дают основу для изучения схем исключительно как функторов на категории алгебр. $X$ ${\text{Open}}(X)$ $(X)_{Zar}$

Схеме и даже стеку можно сопоставить этальный топос, fppf- топос или топос Нисневича . Другой важный пример топоса — из кристаллического сайта . В случае этального топоса они образуют основные объекты изучения в анабелевой геометрии , которая изучает объекты в алгебраической геометрии, которые полностью определяются структурой их этальной фундаментальной группы .

Патологии

Теория топоса в некотором смысле является обобщением классической топологии точечных множеств. Поэтому следует ожидать увидеть старые и новые примеры патологического поведения. Например, есть пример нетривиального топоса, не имеющего точек, принадлежащий Пьеру Делиню (см. ниже определение точек топоса).

Геометрические морфизмы

Если и являются топосами, геометрический морфизм — это пара сопряженных функторов ( u ^∗ , u _∗ ) (где u ^∗ : Y → X является левым сопряженным к u _∗ : X → Y ), таким, что u ^∗ сохраняет конечные пределы. Обратите внимание, что u ^∗ автоматически сохраняет копределы в силу наличия правого сопряженного. $X$ $Y$ $u:X\to Y$

По теореме Фрейда о сопряженном функторе , задать геометрический морфизм X → Y — значит задать функтор u ^∗ : Y → X , который сохраняет конечные пределы и все малые копределы. Таким образом, геометрические морфизмы между топосами можно рассматривать как аналоги карт локалей .

Если и являются топологическими пространствами, а — непрерывное отображение между ними, то операции обратного и прямого протягивания над пучками приводят к геометрическому морфизму между связанными топосами для сайтов . $X$ $Y$ $u$ ${\text{Open}}(X),{\text{Open}}(Y)$

Точки топоса

Точка топоса определяется как геометрический морфизм из топоса множеств в . $X$ $X$

Если X — обычное пространство, а x — точка X , то функтор, который переводит пучок F в его стебель F _x, имеет правый сопряженный (функтор «небоскребного пучка»), поэтому обычная точка X также определяет топос-теоретическую точку. Они могут быть построены как обратный прогон-прогон вдоль непрерывного отображения x : 1 → X .

Для этального топоса пространства точка является немного более утонченным объектом. При наличии точки базовой схемы точка топоса затем задается сепарабельным расширением поля таким образом, что связанное отображение факторизуется через исходную точку . Тогда отображение факторизации является этальным морфизмом схем. $(X)_{et}$ $X$ $x:{\text{Spec}}(\kappa (x))\to X$ $X$ $x'$ $(X)_{et}$ $k$ $\kappa (x)$ $x':{\text{Spec}}(k)\to X$ $x$ ${\text{Spec}}(k)\to {\text{Spec}}(\kappa (x))$

Точнее, это глобальные точки. Они не являются адекватными сами по себе для отображения пространственно-подобного аспекта топоса, поскольку нетривиальный топос может не иметь такового. Обобщенные точки являются геометрическими морфизмами из топоса Y ( этап определения ) в X. Их достаточно, чтобы отобразить пространственно-подобный аспект. Например, если X является классифицирующим топосом S [ T ] для геометрической теории T , то универсальное свойство говорит, что его точки являются моделями T (на любом этапе определения Y ).

Основные геометрические морфизмы

Геометрический морфизм ( u ^∗ , u _∗ ) является существенным , если u ^∗ имеет еще один левый сопряженный u _! , или, что эквивалентно (по теореме о сопряженном функторе), если u ^∗ сохраняет не только конечные, но и все малые пределы.

Кольцевые топосы

Окольцованный топос — это пара ( X , R ), где X — топос, а R — коммутативный кольцевой объект в X. Большинство конструкций окольцованных пространств проходят для окольцованных топосов. Категория объектов R -модулей в X — это абелева категория с достаточным количеством инъективов. Более полезная абелева категория — это подкатегория квазикогерентных R -модулей: это R -модули, которые допускают представление.

Другим важным классом кольцевых топосов, помимо кольцевых пространств, являются этальные топосы стеков Делиня–Мамфорда .

Гомотопическая теория топосов

Майкл Артин и Барри Мазур связали с сайтом, лежащим в основе топоса, просимплициальное множество (с точностью до гомотопии ). ^[5] (Лучше рассматривать его в Ho(pro-SS); см. Эдвардс). Используя эту обратную систему симплициальных множеств, иногда можно связать с гомотопическим инвариантом в классической топологии обратную систему инвариантов в теории топосов. Изучение просимплициального множества, связанного с этальным топосом схемы, называется этальной гомотопической теорией . ^[6] В хороших случаях (если схема нётерова и геометрически одноветвистая ), это просимплициальное множество является проконечным .

Элементарные топосы (топосы в логике)

Введение

С начала 20-го века преобладающей аксиоматической основой математики была теория множеств , в которой все математические объекты в конечном счете представлены множествами (включая функции , которые отображаются между множествами). Более поздние работы в теории категорий позволяют обобщить эту основу с помощью топосов; каждый топос полностью определяет свою собственную математическую структуру. Категория множеств образует знакомый топос, и работа в этом топосе эквивалентна использованию традиционной теоретико-множественной математики. Но вместо этого можно было бы выбрать работу со многими альтернативными топосами. Стандартная формулировка аксиомы выбора имеет смысл в любом топосе, и существуют топосы, в которых она недействительна. Конструктивистам будет интересно работать в топосе без закона исключенного третьего . Если симметрия относительно конкретной группы G имеет значение, можно использовать топос, состоящий из всех G -множеств .

Также возможно закодировать алгебраическую теорию , например, теорию групп, как топос, в форме классифицирующего топоса . Отдельные модели теории, т.е. группы в нашем примере, затем соответствуют функторам из кодирующего топоса в категорию множеств, которые уважают структуру топоса.

Формальное определение

При использовании для фундаментальной работы топос будет определен аксиоматически; теория множеств затем рассматривается как частный случай теории топоса. Основываясь на теории категорий, существует несколько эквивалентных определений топоса. Следующее имеет преимущество краткости:

Топос — это категория, обладающая следующими двумя свойствами:

Существуют все ограничения, принятые для категорий с конечным индексом.
У каждого объекта есть объект мощности. Это играет роль powerset в теории множеств.

Формально, объект мощности объекта — это пара с , которая классифицирует отношения, в следующем смысле. Сначала отметим, что для каждого объекта морфизм («семейство подмножеств») индуцирует подобъект . Формально это определяется путем вытягивания назад вдоль . Универсальное свойство объекта мощности заключается в том, что каждое отношение возникает таким образом, давая биективное соответствие между отношениями и морфизмами . $X$ $(PX,\ni _{X})$ ${\ni _{X}}\subseteq PX\times X$ $I$ $r\colon I\to PX$ $\{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X$ $\ni _{X}$ $r\times X:I\times X\to PX\times X$ $R\subseteq I\times X$ $r\colon I\to PX$

Из конечных пределов и объектов мощности можно вывести, что

Существуют все копределы, взятые по категориям с конечным индексом.
Категория имеет классификатор подобъектов .
Категория является декартово замкнутой .

В некоторых приложениях роль классификатора подобъектов является ключевой, тогда как объекты власти — нет. Таким образом, некоторые определения меняют роли того, что определяется, и того, что выводится.

Логические функторы

Логический функтор — это функтор между топосами, который сохраняет конечные пределы и объекты мощности. Логические функторы сохраняют структуры, которые имеют топосы. В частности, они сохраняют конечные копределы, классификаторы подобъектов и экспоненциальные объекты . ^[7]

Объяснение

Топос, как определено выше, можно понимать как декартову замкнутую категорию, для которой понятие подобъекта объекта имеет элементарное или первопорядковое определение. Это понятие, как естественная категориальная абстракция понятий подмножества множества, подгруппы группы и, в более общем смысле, подалгебры любой алгебраической структуры , предшествует понятию топоса. Он определим в любой категории, а не только в топосах, на языке второго порядка , т. е. в терминах классов морфизмов вместо индивидуальных морфизмов, следующим образом. Если даны два моника m , n из Y и Z соответственно в X , мы говорим, что m ≤ n , когда существует морфизм p : Y → Z , для которого np = m , индуцирующий предпорядок на мониках в X . Когда m ≤ n и n ≤ m , мы говорим, что m и n эквивалентны. Подобъекты X являются результирующими классами эквивалентности моников к нему.

В топосе «подобъект» становится, по крайней мере неявно, понятием первого порядка, как следует ниже.

Как отмечено выше, топос — это категория C, имеющая все конечные пределы и, следовательно, в частности, пустой предел или конечный объект 1. Тогда естественно рассматривать морфизмы вида x : 1 → X как элементы x ∈ X. Таким образом, морфизмы f : X → Y соответствуют функциям, отображающим каждый элемент x ∈ X в элемент fx ∈ Y , с применением, реализованным посредством композиции.

Тогда можно было бы подумать об определении подобъекта X как класса эквивалентности моник m : X′ → X, имеющих один и тот же образ { mx | x ∈ X′ }. Загвоздка в том, что два или более морфизмов могут соответствовать одной и той же функции, то есть мы не можем предполагать, что C является конкретным в том смысле, что функтор C (1,-): C → Set является точным. Например, категория графов Grph и их связанных гомоморфизмов является топосом , конечный объект 1 которого является графом с одной вершиной и одним ребром (самопетля), но не является конкретным, потому что элементы 1 → G графа G соответствуют только самопетлям, а не другим ребрам или вершинам без самопетлей. В то время как определение второго порядка делает G и подграф всех самопетлей G (с их вершинами) различными подобъектами G (если только каждое ребро не является самопетлей, а каждая вершина не имеет ее), это определение на основе изображения не делает этого. Это можно сделать для примера графа и связанных примеров с помощью леммы Йонеды , как описано в разделе «Дополнительные примеры» ниже, но тогда это перестает быть решением первого порядка. Topoi предоставляют более абстрактное, общее и решение первого порядка.

Рисунок 1. m как обратный ход общего подобъекта t вдоль f .

Как отмечено выше, топос C имеет классификатор подобъектов Ω, а именно объект C с элементом t ∈ Ω, общий подобъект C , обладающий тем свойством, что каждый монический m : X′ → X возникает как обратный отсчет общего подобъекта вдоль уникального морфизма f : X → Ω, как показано на рисунке 1. Теперь обратный отсчет моника является моническим, и все элементы, включая t, являются моническими, поскольку существует только один морфизм в 1 из любого данного объекта, откуда обратный отсчет t вдоль f : X → Ω является моническим. Таким образом, моники в X находятся во взаимной однозначности с обратными отсчетами t вдоль морфизмов из X в Ω. Последние морфизмы разбивают моники на классы эквивалентности, каждый из которых определяется морфизмом f : X → Ω, характеристическим морфизмом этого класса, который мы принимаем за подобъект X, характеризуемый или именуемый посредством f .

Все это применимо к любому топосу, будь он конкретным или нет. В конкретном случае, а именно C (1,-) верном, например, категории множеств, ситуация сводится к знакомому поведению функций. Здесь моники m : X′ → X являются в точности инъекциями (однозначными функциями) из X′ в X , а те, у которых задан образ { mx | x ∈ X′ }, составляют подобъект X , соответствующий морфизму f : X → Ω , для которого f ⁻¹ ( t ) является этим образом. Моники подобъекта будут в общем случае иметь много доменов, все из которых, однако, будут находиться во взаимной однозначности друг с другом.

Подводя итог, это первопорядковое понятие подобъектного классификатора неявно определяет для топоса то же самое отношение эквивалентности на мониках к X , которое ранее было явно определено вторичным понятием подобъекта для любой категории. Понятие отношения эквивалентности на классе морфизмов само по себе является по сути вторичным, что определение топоса аккуратно обходит, явно определяя только понятие подобъектного классификатора Ω, оставляя понятие подобъекта X как неявное следствие, характеризуемое (и, следовательно, именуемое) его связанным морфизмом f : X → Ω.

Дополнительные примеры и не примеры

Каждый топос Гротендика является элементарным топосом, но обратное неверно (поскольку каждый топос Гротендика является кополным, что не требуется от элементарного топоса).

Категории конечных множеств, конечных G -множеств ( действий группы G на конечном множестве) и конечных графов являются элементарными топосами, которые не являются топосами Гротендика.

Если C — малая категория, то функторная категория Set ^C (состоящая из всех ковариантных функторов из C в множества с естественными преобразованиями в качестве морфизмов) является топосом. Например, категория Grph графов такого вида, который допускает множественные направленные ребра между двумя вершинами, является топосом. Такой граф состоит из двух множеств, множества ребер и множества вершин, и двух функций s,t между этими множествами, назначающих каждому ребру e его источник s ( e ) и цель t ( e ). Таким образом, Grph эквивалентна функторной категории Set ^C , где C — категория с двумя объектами E и V и двумя морфизмами s,t : E → V , дающими соответственно источник и цель каждого ребра.

Лемма Йонеды утверждает , что C ^op вкладывается в Set ^C как полная подкатегория. В примере с графом вложение представляет C ^op как подкатегорию Set ^C, двумя объектами которой являются V' как одновершинный граф без ребер и E' как двухвершинный граф с одним ребром (оба как функторы), и чьи два нетождественных морфизма являются двумя гомоморфизмами графа из V' в E' (оба как естественные преобразования). Естественные преобразования из V' в произвольный граф (функтор) G составляют вершины G , тогда как из E' в G составляют его ребра. Хотя Set ^C , который мы можем отождествить с Grph , не конкретизируется ни V' , ни E' по отдельности, функтор U : Grph → Set ^{2 ,} отправляющий объект G в пару множеств ( Grph ( V' , G ), Grph ( E' , G )) и морфизм h : G → H в пару функций ( Grph ( V' , h ), Grph ( E' , h )) является точным. То есть морфизм графов можно понимать как пару функций, одна из которых отображает вершины, а другая — ребра, с применением, по-прежнему реализуемым как композиция, но теперь с несколькими сортами обобщенных элементов. Это показывает, что традиционная концепция конкретной категории как категории, объекты которой имеют базовый набор, может быть обобщена для обслуживания более широкого диапазона топосов, позволяя объекту иметь несколько базовых наборов, то есть быть многосортным.

Категория точечных множеств с функциями сохранения точек не является топосом, поскольку не имеет объектов мощности: если бы был объект мощности точечного множества , а обозначал бы точечный синглтон, то существовала бы только одна функция сохранения точек , но отношения в столь же многочисленны, как и точечные подмножества . Категория абелевых групп также не является топосом по схожей причине: каждый гомоморфизм групп должен отображать 0 в 0. $PX$ $X$ $1$ $r\colon 1\to PX$ $1\times X$ $X$

Смотрите также

Примечания

^ Иллюзия 2004
^ Caramello, Olivia (2016). Топосы Гротендика как объединяющие «мосты» в математике (PDF) (HDR). Парижский университет Дидро (Париж 7).
^ Caramello, Olivia (2017). Теории, сайты, топосы: установление связи и изучение математических теорий через топос-теоретические «мосты». Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.
^ ab Hoad, Phil (31 августа 2024 г.). «„Он был в мистическом бреду“: был ли этот отшельник-математик забытым гением, чьи идеи могли преобразовать ИИ, — или одиноким безумцем?». The Guardian . Получено 17 сентября 2024 г.
^ Артин, Майкл ; Мазур, Барри (1969). Этальная гомотопия . Lecture Notes in Mathematics. Vol. 100. Springer-Verlag . doi :10.1007/BFb0080957. ISBN 978-3-540-36142-8.
^ Фридлендер, Эрик М. (1982), Этальная гомотопия симплициальных схем , Annals of Mathematics Studies, т. 104, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08317-9
^ Макларти 1992, стр. 159

Ссылки

Некоторые нежные бумаги

Edwards, DA; Hastings, HM (лето 1980 г.). «Теория Чеха: ее прошлое, настоящее и будущее» (PDF) . Rocky Mountain Journal of Mathematics . 10 (3): 429–468. doi : 10.1216/RMJ-1980-10-3-429 . JSTOR 44236540.
Баез, Джон . «Теория топоса в двух словах».Нежное вступление.
Стивен Викерс : «Топосы для нулевых вещей» и «Топосы для нулевых вещей». Элементарные и еще более элементарные введения в топосы как обобщенные пространства.
Иллюзи, Люк (2004). «Что такое... Топос?» (PDF) . Notices of the AMS . 51 (9): 160–1.

Следующие тексты представляют собой легкие введения в топосы и основы теории категорий. Они должны быть подходящими для тех, кто немного знаком с математической логикой и теорией множеств, даже нематематиков.

Ловер, Ф. Уильям ; Шануэль, Стивен Х. (1997). Концептуальная математика: первое введение в категории. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47817-5.«Введение в категории для специалистов по информатике, логикам, физикам, лингвистам и т. д.» (цитируется по тексту на обложке).
Ловер, Ф. Уильям; Роузбрю, Роберт (2003). Наборы для математики . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-01060-3.Знакомит с основами математики с категориальной точки зрения.

Основополагающая работа Гротендика по топосам:

Гротендик, А .; Вердье, JL (1972). Теория топосов и этальных когомологий схем . Конспекты лекций по математике. Том. 269. Спрингер. дои : 10.1007/BFb0081551. ISBN 978-3-540-37549-4. Том 2 270 doi :10.1007/BFb0061319 ISBN 978-3-540-37987-4

Следующие монографии включают введение в некоторые или все теории топоса, но не рассчитаны в первую очередь на начинающих студентов. Перечислены в (воспринимаемом) порядке возрастания сложности.

Макларти, Колин (1992). Элементарные категории, элементарные топосы. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-158949-2.Хорошее введение в основы теории категорий, теории топоса и логики топоса. Предполагает очень мало предпосылок.
Голдблатт, Роберт (2013) [1984]. Топои: Категориальный анализ логики. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-31796-0. Хорошее начало. Доступно онлайн на домашней странице Роберта Голдблатта.
Белл, Джон Л. (2001). «Развитие категорической логики». В Gabbay, DM; Guenthner, Franz (ред.). Handbook of Philosophical Logic . Vol. 12 (2-е изд.). Springer. стр. 279–. ISBN 978-1-4020-3091-8.Версия доступна онлайн на домашней странице Джона Белла.
MacLane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Пучки в геометрии и логике: первое введение в теорию топосов. Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0.Более полный и более трудный для чтения.
Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2013) [1985]. Топосы, триплеты и теории. Springer. ISBN 978-1-4899-0023-4.(Онлайн-версия). Более лаконично, чем «Пучки в геометрии и логике» , но сложно для начинающих.

Справочные издания для экспертов, менее подходят для первого знакомства

Edwards, DA; Hastings, HM (1976). Гомотопические теории Чеха и Стинрода с приложениями к геометрической топологии . Lecture Notes in Maths. Vol. 542. Springer-Verlag. doi :10.1007/BFb0081083. ISBN 978-3-540-38103-7.
Борсе, Фрэнсис (1994). Справочник по категориальной алгебре: Том 3, Теория пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. Том 52. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44180-3.Третья часть "замечательного magnum opus Борсо", как назвал его Джонстон. Все еще подходит в качестве введения, хотя новичкам может быть сложно распознать наиболее важные результаты среди огромного количества предоставленного материала.
Джонстон, Питер Т. (2014) [1977]. Теория топоса. Courier. ISBN 978-0-486-49336-7.Долгое время стандартный сборник по теории топоса. Однако даже Джонстон описывает эту работу как «слишком сложную для чтения и не для слабонервных».
Джонстон, Питер Т. (2002). Эскизы слона: сборник теории топоса. Том 2. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851598-2.По состоянию на начало 2010 года были доступны два из запланированных трех томов этого обширного сборника.
Caramello, Olivia (2017). Теории, сайты, топосы: установление связи и изучение математических теорий посредством топос-теоретических «мостов». Oxford University Press. doi : 10.1093/oso/9780198758914.001.0001. ISBN 9780198758914.

Книги, посвященные специальным приложениям теории топоса

Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter; Rota, GC, ред. (2004). Категориальные основания: специальные темы в порядке, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений. Том 97. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83414-8.Включает множество интересных специальных приложений.