Точка равновесия (математика)

Постоянное решение дифференциального уравнения

Диаграмма устойчивости , классифицирующая карты Пуанкаре линейной автономной системы как устойчивые или неустойчивые в зависимости от их особенностей. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. ^[1] Некоторые стоки, источники или узлы являются точками равновесия. ${\displaystyle x'=Ax,}$

В математике , особенно в дифференциальных уравнениях , точка равновесия — это постоянное решение дифференциального уравнения.

Формальное определение

Точка является точкой равновесия для дифференциального уравнения ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )}$

если для всех . ${\displaystyle \mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle t}$

Аналогично, точка является точкой равновесия (или фиксированной точкой ) для разностного уравнения ${\displaystyle {\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}$

если для . ${\displaystyle \mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}}$ ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$

Равновесия можно классифицировать, глядя на знаки собственных значений линеаризации уравнений равновесия. То есть, оценивая матрицу Якобиана в каждой из точек равновесия системы, а затем находя полученные собственные значения, можно классифицировать равновесия. Тогда поведение системы в окрестности каждой точки равновесия может быть определено качественно (или даже количественно, в некоторых случаях), путем нахождения собственных векторов, связанных с каждым собственным значением.

Точка равновесия называется гиперболической, если ни одно из собственных значений не имеет нулевой вещественной части. Если все собственные значения имеют отрицательные действительные части, точка устойчива . Если хотя бы одна имеет положительную действительную часть, точка неустойчива . Если хотя бы одно собственное значение имеет отрицательную действительную часть и хотя бы одно имеет положительную действительную часть, равновесие является седловой точкой и неустойчиво. Если все собственные значения вещественны и имеют одинаковый знак, то точка называется узлом .

Смотрите также

• Автономное уравнение
• Критическая точка
• Устойчивое состояние

Рекомендации

1. Математика Эгвальда - Линейная алгебра: системы линейных дифференциальных уравнений: анализ линейной устойчивости, по состоянию на 10 октября 2019 г.

дальнейшее чтение

• Бойс, Уильям Э.; ДиПрима, Ричард К. (2012). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (10-е изд.). Уайли. ISBN 978-0-470-45831-0.
• Перко, Лоуренс (2001). Дифференциальные уравнения и динамические системы (3-е изд.). Спрингер. стр. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.