Значимые цифры

Любая цифра числа в пределах его разрешения измерения, в отличие от ложных цифр

Значимые цифры , также называемые значащими цифрами или сиг-фигами , — это определенные цифры в числе, записанном в позиционной нотации , которые несут как надежность, так и необходимость в передаче определенной величины. При представлении результата измерения (например, длины, давления, объема или массы), если количество цифр превышает то, что может разрешить измерительный прибор, только количество цифр в пределах возможности разрешения является надежным и, следовательно, считается значимым.

Например, если измерение длины дает 114,8 мм, используя линейку с наименьшим интервалом между отметками в 1 мм, первые три цифры (1, 1 и 4, представляющие 114 мм) являются определенными и составляют значимые цифры. Кроме того, цифры, которые являются неопределенными, но значимыми, также включены в значимые цифры. В этом примере последняя цифра (8, вносящая 0,8 мм) также считается значимой, несмотря на ее неопределенность. ^[1] Таким образом, это измерение содержит четыре значимые цифры.

Другой пример включает измерение объема 2,98 л с неопределенностью ± 0,05 л. Фактический объем находится между 2,93 л и 3,03 л. Даже если некоторые цифры не полностью известны, они все равно значимы, если они имеют смысл, поскольку они указывают фактический объем в пределах приемлемого диапазона неопределенности. В этом случае фактический объем может быть 2,94 л или, возможно, 3,02 л, поэтому все три цифры считаются значимыми. ^[1] Таким образом, в этом примере есть три значимые цифры.

Следующие типы цифр не считаются значимыми: ^[2]

• Начальные нули . Например, 013 кг имеет две значащие цифры — 1 и 3 — в то время как начальный ноль незначащий, поскольку он не влияет на указание массы; 013 кг эквивалентно 13 кг, что делает ноль ненужным. Аналогично, в случае 0,056 м есть два начальных нуля незначащих, поскольку 0,056 м равно 56 мм, таким образом, начальные нули не влияют на указание длины.
• Нули в конце , когда они служат в качестве заполнителей. При измерении 1500 м, когда разрешение измерения составляет 100 м, нули в конце не имеют значения, поскольку они просто обозначают десятки и единицы. В этом случае 1500 м указывает на то, что длина составляет приблизительно 1500 м, а не точное значение 1500 м.
• Ложные цифры, возникающие в результате вычислений, дающих более высокую точность, чем исходные данные, или измерения, представленные с большей точностью, чем разрешение прибора.

Ноль после десятичной дроби (например, 1.0) является значимым, и следует соблюдать осторожность при добавлении такой десятичной дроби. Таким образом, в случае 1.0 есть две значащие цифры, тогда как 1 (без десятичной дроби) имеет одну значащую цифру.

Среди значащих цифр числа наиболее значимая цифра — это цифра с наибольшим значением показателя степени (самая левая значащая цифра/цифра), а наименее значимая цифра — это цифра с наименьшим значением показателя степени (самая правая значащая цифра/цифра). Например, в числе «123» «1» — это наиболее значимая цифра, представляющая сотни (10 ² ), а «3» — наименее значимая цифра, представляющая единицы (10 ⁰ ).

Чтобы избежать передачи вводящего в заблуждение уровня точности, числа часто округляются . Например, это создало бы ложную точность, если бы измерение было представлено как 12,34525 кг, когда измерительный прибор обеспечивает точность только до ближайшего грамма (0,001 кг). В этом случае значимые цифры — это первые пять цифр (1, 2, 3, 4 и 5) от крайней левой цифры, и число должно быть округлено до этих значимых цифр, в результате чего 12,345 кг будет точным значением. Погрешность округления (в этом примере 0,00025 кг = 0,25 г) приблизительно соответствует числовому разрешению или точности. Числа также могут быть округлены для простоты, не обязательно для указания точности измерения, например, ради целесообразности в новостных передачах.

Арифметика значимости охватывает набор приблизительных правил для сохранения значимости посредством вычислений. Более продвинутые научные правила известны как распространение неопределенности .

Далее предполагается основание 10 (основание 10, десятичные числа). ( См. единицу в конце для распространения этих концепций на другие основания. )

Выявление значимых фигур

Правила определения значимых цифр в числе

Цифры, выделенные голубым цветом, являются значимыми, а цифры, выделенные черным цветом, — нет.

Определение значимых цифр в числе требует знания того, какие цифры имеют значение, что требует знания разрешения, с которым измеряется, получается или обрабатывается число. Например, если измеримая наименьшая масса составляет 0,001 г, то в измерении, заданном как 0,00234 г, «4» бесполезна и должна быть отброшена, в то время как «3» полезна и часто должна быть сохранена. ^[3]

• Значимыми являются ненулевые цифры в пределах заданного разрешения измерения или отчетности .
  • Число 91 имеет две значащие цифры (9 и 1), если они являются цифрами, разрешенными для измерения.
  • 123,45 имеет пять значащих цифр (1, 2, 3, 4 и 5), если они находятся в пределах разрешения измерения. Если разрешение, скажем, 0,1, то 5 показывает, что истинное значение до 4 сигм с равной вероятностью будет 123,4 или 123,5.
• Нули между двумя значимыми ненулевыми цифрами являются значимыми ( значимые захваченные нули) .
  • Число 101.12003 состоит из восьми значащих цифр, если разрешение составляет 0,00001.
  • Число 125,340006 имеет семь значащих цифр, если разрешение равно 0,0001: 1, 2, 5, 3, 4, 0 и 0.
• Нули слева от первой ненулевой цифры ( начальные нули ) не имеют значения .
  • Если измерение длины дает 0,052 км, то 0,052 км = 52 м, поэтому значимыми являются только 5 и 2; ведущие нули появляются или исчезают в зависимости от того, какая единица измерения используется, поэтому они не нужны для указания шкалы измерения.
  • Число 0,00034 имеет 2 значащие цифры (3 и 4), если разрешение равно 0,00001.
• Нули справа от последней ненулевой цифры ( конечные нули ) в числе с десятичной точкой являются значимыми, если они находятся в пределах разрешения измерения или отчетности.
  • Число 1,200 имеет четыре значащие цифры (1, 2, 0 и 0), если это допускается разрешением измерения.
  • Число 0,0980 имеет три значащие цифры (9, 8 и последний ноль), если они находятся в пределах разрешения измерения.
  • Число 120.000 состоит из шести значащих цифр (1, 2 и четырех последующих нулей), если, как и прежде, они находятся в пределах разрешающей способности измерения.
• Конечные нули в целом числе могут иметь или не иметь значения в зависимости от разрешения измерения или отчетности.
  • Число 45 600 имеет 3, 4 или 5 значащих цифр в зависимости от того, как используются последние нули. Например, если длина дороги указана как 45 600 м без информации о разрешении отчетности или измерения, то неясно, измерена ли длина дороги точно как 45 600 м или это грубая оценка. Если это грубая оценка, то значимыми являются только первые три ненулевые цифры, поскольку конечные нули не являются ни надежными, ни необходимыми; 45 600 м можно выразить как 45,6 км или как 4,56 × 10 ⁴  м в научной нотации , и ни одно из выражений не требует конечных нулей.
• Точное число имеет бесконечное количество значащих цифр.
  • Если количество яблок в мешке равно 4 (точное число), то это число равно 4,0000... (с бесконечными конечными нулями справа от десятичной точки). В результате 4 не влияет на количество значащих цифр или разрядов в результате вычислений с ним.
• Математическая или физическая константа имеет значащие цифры по сравнению с ее известными цифрами.
  • π — это определенное действительное число с несколькими эквивалентными определениями. Все цифры в его точном десятичном разложении 3,14159265358979323... значимы. Хотя многие свойства этих цифр известны — например, они не повторяются, поскольку π иррационально — не все цифры известны. По состоянию на март 2024 года было вычислено более 102 триллионов цифр ^[4] . Приближение из 102 триллионов цифр имеет 102 триллиона значимых цифр. В практических приложениях используется гораздо меньше цифр. Повседневное приближение 3,14 имеет три значащие цифры и 7 правильных двоичных цифр. Приближение 22/7 имеет те же три правильные десятичные цифры, но имеет 10 правильных двоичных цифр. Большинство калькуляторов и компьютерных программ могут обрабатывать 16-значное расширение 3,141592653589793, что достаточно для расчетов межпланетной навигации. ^[5]
  • Постоянная Планка является и определяется как точное значение, поэтому ее правильнее определить как . ^[6] ${\displaystyle h=6.62607015\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} }$ ${\displaystyle h=6.62607015(0)\times 10^{-34}\mathrm {J} \cdot \mathrm {s} }$

Способы обозначения значащих цифр в целых числах с конечными нулями

Значение конечных нулей в числе, не содержащем десятичной точки, может быть неоднозначным. Например, не всегда может быть ясно, является ли число 1300 точным до ближайшей единицы (просто случайно оказывается точным кратным ста) или оно показано только до ближайших сотен из-за округления или неопределенности. Существует множество соглашений для решения этой проблемы. Однако они не используются повсеместно и будут эффективны только в том случае, если читатель знаком с соглашением:

• Линия сверху , иногда также называемая чертой сверху, или, менее точно, винкулумом , может быть помещена над последней значащей цифрой; любые конечные нули после нее незначащие. Например, 13 0 0 имеет три значащие цифры (и, следовательно, указывает, что число является точным до ближайшего десятка).

• Реже, используя тесно связанную условность, может быть подчеркнута последняя значащая цифра числа ; например, «1 3 00» имеет две значащие цифры.

• После числа может стоять десятичная точка; например, «1300.» специально указывает на то, что конечные нули должны быть значимыми. ^[7]

Поскольку приведенные выше соглашения не являются общепринятыми, для указания значимости числа с конечными нулями доступны следующие более широко признанные варианты:

• Устраните неоднозначные или незначимые нули, изменив префикс единицы в числе на единицу измерения . Например, точность измерения, указанная как 1300 г, неоднозначна, а если указана как 1,30 кг, то нет. Аналогично 0,0123 л можно переписать как 12,3 мл.

• Устраните неоднозначные или незначащие нули, используя научную нотацию: например, 1300 с тремя значащими цифрами становится1,30 × 10 ³ . Аналогично 0,0123 можно переписать как1,23 × 10 ⁻² . Часть представления, которая содержит значимые цифры (1,30 или 1,23), называется мантиссом или мантиссой. Цифры в основании и показателе степени (10 ³ или10 ⁻² ) считаются точными числами, поэтому для этих цифр значащие цифры не имеют значения.

• Явно укажите количество значащих цифр (иногда используется сокращение sf): например, «20 000 до 2 sf» или «20 000 (2 sf)».

• Укажите ожидаемую изменчивость (точность) явно со знаком плюс-минус , например, 20 000 ± 1%. Это также позволяет указать диапазон точности между степенями десяти.

Округление до значащих цифр

Округление до значащих цифр — более универсальный метод, чем округление до n цифр, поскольку он обрабатывает числа разных масштабов единообразно. Например, население города может быть известно только с точностью до тысячи и может быть указано как 52 000, в то время как население страны может быть известно только с точностью до миллиона и может быть указано как 52 000 000. Первое может иметь ошибку в сотни, а второе — в сотни тысяч, но оба имеют две значащие цифры (5 и 2). Это отражает тот факт, что значимость ошибки одинакова в обоих случаях относительно размера измеряемой величины.

Чтобы округлить число до n значащих цифр: ^{[8] [9]}

1. Если цифра n + 1 больше 5 или равна 5, за которой следуют другие ненулевые цифры, добавьте 1 к цифре n . Например, если мы хотим округлить 1,2459 до 3 значащих цифр, то этот шаг даст 1,25.
2. Если n + 1 цифра — это 5, за которой не следуют другие цифры или следуют только нули, то округление требует правила разрешения конфликтов . Например, чтобы округлить 1,25 до 2 значащих цифр:
   • Округление половины от нуля округляет до 1,3. Это метод округления по умолчанию, подразумеваемый во многих дисциплинах ^{[ требуется ссылка ]} , если требуемый метод округления не указан.
   • Round half to even , что округляет до ближайшего четного числа. При этом методе 1,25 округляется вниз до 1,2. Если этот метод применяется к 1,35, то он округляется вверх до 1,4. Это метод, который предпочитают многие научные дисциплины, потому что, например, он позволяет избежать перекоса среднего значения длинного списка значений вверх.
3. Для округления целого числа замените цифры после n-й цифры нулями. Например, если 1254 округляется до 2 значащих цифр, то 5 и 4 заменяются на 0, так что получится 1300. Для округления числа с десятичной точкой удалите цифры после n-й цифры. Например, если 14,895 округляется до 3 значащих цифр, то цифры после 8 удаляются, так что получится 14,9.

В финансовых расчетах число часто округляется до заданного количества знаков. Например, до двух знаков после десятичного разделителя для многих мировых валют. Это делается потому, что большая точность несущественна, и обычно невозможно погасить долг меньше наименьшей денежной единицы.

В британских налоговых декларациях доход округляется до ближайшего фунта, а уплаченный налог рассчитывается до ближайшего цента.

В качестве иллюстрации десятичное число 12,345 может быть выражено различным количеством значащих цифр или десятичных знаков. Если недостаточная точность недоступна, то число округляется каким-либо образом, чтобы соответствовать доступной точности. В следующей таблице показаны результаты для различной общей точности при двух способах округления (N/A означает Неприменимо).

Еще один пример для 0,012345 . (Помните, что начальные нули не имеют значения.)

Представление ненулевого числа x с точностью до p значащих цифр имеет числовое значение, которое определяется по формуле: ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle 10^{n}\cdot \operatorname {round} \left({\frac {x}{10^{n}}}\right)}$

где

${\displaystyle n=\lfloor \log _{10}(|x|)\rfloor +1-p}$

который может потребоваться записать со специальной маркировкой, как описано выше, чтобы указать количество значащих конечных нулей.

Неопределенность письма и подразумеваемая неопределенность

Значимые цифры в письменной форме неопределенности

Рекомендуется включать в результат измерения неопределенность измерения, например , , где x _best и σ _x — наилучшая оценка и неопределенность измерения соответственно. ^[10] x _best может быть средним значением измеренных значений, а σ _x может быть стандартным отклонением или кратным отклонению измерения. Правила записи следующие: ^[11] ${\displaystyle x_{best}\pm \sigma _{x}}$ ${\displaystyle x_{best}\pm \sigma _{x}}$

• σ _x обычно следует указывать с точностью до одной или двух значащих цифр, поскольку большая точность вряд ли будет надежной или содержательной:
  • 1,79 ± 0,06 (верно), 1,79 ± 0,96 (верно), 1,79 ± 1,96 (неверно).
• Позиции цифр последних значащих цифр в x _best и σ _x одинаковы, в противном случае согласованность теряется. Например, «1,79 ± 0,067» неверно, так как не имеет смысла иметь более точную неопределенность, чем наилучшая оценка.
  • 1,79 ± 0,06 (верно), 1,79 ± 0,96 (верно), 1,79 ± 0,067 (неверно).

Подразумеваемая неопределенность

Неопределенность может подразумеваться последней значащей цифрой, если она явно не выражена. ^[1] Подразумеваемая неопределенность составляет ± половину минимальной шкалы в позиции последней значащей цифры. Например, если масса объекта сообщается как 3,78 кг без упоминания неопределенности, то может подразумеваться неопределенность измерения ± 0,005 кг. Если масса объекта оценивается как 3,78 ± 0,07 кг, так что фактическая масса, вероятно, находится где-то в диапазоне от 3,71 до 3,85 кг, и желательно сообщить ее одним числом, то 3,8 кг является наилучшим числом для сообщения, поскольку его подразумеваемая неопределенность ± 0,05 кг дает диапазон массы от 3,75 до 3,85 кг, что близко к диапазону измерения. Если неопределенность немного больше, т. е. 3,78 ± 0,09 кг, то 3,8 кг по-прежнему остается наилучшим единственным числом для указания, поскольку если бы было указано «4 кг», то много информации было бы потеряно.

Если необходимо записать подразумеваемую неопределенность числа, то ее можно записать так, указав ее как подразумеваемую неопределенность (чтобы читатели не распознали ее как неопределенность измерения), где x и σ _x — это число с дополнительной нулевой цифрой (чтобы следовать правилам записи неопределенности, приведенным выше) и подразумеваемая неопределенность этого числа соответственно. Например, 6 кг с подразумеваемой неопределенностью ± 0,5 кг можно записать как 6,0 ± 0,5 кг. ${\displaystyle x\pm \sigma _{x}}$

Арифметика

Поскольку существуют правила определения значащих цифр в непосредственно измеряемых величинах, существуют также руководящие принципы (не правила) для определения значащих цифр в величинах, рассчитанных на основе этих измеренных величин.

Значимые цифры в измеряемых величинах наиболее важны при определении значимых цифр в вычисляемых величинах с их помощью. Математическая или физическая константа (например, π в формуле для площади круга с радиусом r как π r ² ) не оказывает влияния на определение значимых цифр в результате расчета с ней, если ее известные цифры равны или больше значимых цифр в измеряемых величинах, используемых в расчете. Точное число, такое как ½ в формуле для кинетической энергии массы m со скоростью v как ½ mv ^{2 ,} не оказывает влияния на значимые цифры в вычисляемой кинетической энергии, поскольку число ее значимых цифр бесконечно (0,500000...).

Описанные ниже руководящие принципы призваны избегать более точного результата расчета, чем измеренные величины, но они не гарантируют, что полученная подразумеваемая неопределенность будет достаточно близка к измеренным неопределенностям. Эту проблему можно увидеть при преобразовании единиц. Если руководящие принципы дают подразумеваемую неопределенность слишком далеко от измеренных, то может потребоваться определить значимые цифры, которые дают сопоставимую неопределенность.

Умножение и деление

Для величин, созданных из измеренных величин путем умножения и деления , вычисленный результат должен иметь столько значащих цифр, сколько имеет наименьшее количество значащих цифр среди измеренных величин, используемых в расчете. ^[12] Например,

• 1,234 × 2 = 2 .468 ≈ 2
• 1,234 × 2,0 = 2,4 68 ≈ 2,5
• 0,01234 × 2 = 0,0 2 468 ≈ 0,02

с одной , двумя и одной значащей цифрой соответственно. (Здесь предполагается, что 2 не является точным числом.) Для первого примера первый множитель умножения имеет четыре значащие цифры, а второй — одну значащую цифру. Множитель с наименьшим количеством или наименее значащих цифр — это второй множитель с одной, поэтому окончательный вычисленный результат также должен иметь одну значащую цифру.

Исключение

Для преобразования единиц подразумеваемая неопределенность результата может быть неудовлетворительно выше, чем в предыдущей единице, если следовать этому руководству по округлению; например, 8 дюймов имеют подразумеваемую неопределенность ± 0,5 дюйма = ± 1,27 см. Если его преобразовать в сантиметровую шкалу и следовать руководству по округлению для умножения и деления, то 2 0,32 см ≈ 20 см с подразумеваемой неопределенностью ± 5 см. Если эта подразумеваемая неопределенность считается слишком завышенной, то более правильными значимыми цифрами в результате преобразования единиц могут быть 2 0 .32 см ≈ 20. см с подразумеваемой неопределенностью ± 0,5 см.

Другим исключением из применения приведенного выше правила округления является умножение числа на целое число, например, 1,234 × 9. Если следовать приведенному выше правилу, то результат округляется как 1,234 × 9,000.... = 11,1 0 6 ≈ 11,11. Однако это умножение по сути добавляет 1,234 к самому себе 9 раз, например, 1,234 + 1,234 + … + 1,234, поэтому приведенное ниже правило округления для сложения и вычитания является более правильным подходом к округлению. ^[13] В результате окончательный ответ равен 1,234 + 1,234 + … + 1,234 = 11,10 6 = 11,106 (увеличение на одну значимую цифру).

Сложение и вычитание значащих цифр

Для величин, созданных из измеренных величин путем сложения и вычитания , последняя значащая цифра (например, сотни, десятки, единицы, десятые, сотые и т. д.) в вычисленном результате должна быть такой же, как самая левая или самая большая цифра среди последних значащих цифр измеренных величин в расчете. Например,

• 1,234 + 2 = 3 .234 ≈ 3
• 1,234 + 2,0 = 3,2 34 ≈ 3,2
• 0,01234 + 2 = 2 .01234 ≈ 2
• 12000 + 77 = 1 2 077 ≈ 12 000

с последними значащими цифрами в разряде единиц , десятых , единиц и тысяч соответственно. (Здесь предполагается, что 2 не является точным числом.) Для первого примера, первый член имеет свою последнюю значащую цифру в разряде тысячных, а второй член имеет свою последнюю значащую цифру в разряде единиц . Самая левая или самая большая позиция цифры среди последних значащих цифр этих членов является разрядом единиц, поэтому вычисленный результат также должен иметь свою последнюю значащую цифру в разряде единиц.

Правило вычисления значащих цифр для умножения и деления не совпадает с правилом сложения и вычитания. Для умножения и деления имеет значение только общее количество значащих цифр в каждом из множителей в расчете; позиция цифры последней значащей цифры в каждом множителе не имеет значения. Для сложения и вычитания имеет значение только положение цифры последней значащей цифры в каждом из членов в расчете; общее количество значащих цифр в каждом члене не имеет значения. ^{[ необходима цитата ]} Однако большая точность часто будет получена, если некоторые незначащие цифры сохраняются в промежуточных результатах, которые используются в последующих расчетах. ^{[ необходима цитата ]}

Логарифм и антилогарифм

Логарифм по основанию -10 нормализованного числа ( т. е. a × 10 ^b , где 1 ≤ a < 10, а b — целое число) округляется таким образом, чтобы его десятичная часть (называемая мантиссой ) имела столько же значащих цифр, сколько значащих цифр в нормализованном числе.

• log ₁₀ (3,000 × 10 ⁴ ) = log ₁₀ (10 ⁴ ) + log ₁₀ (3,000) = 4,000000... (точное число, поэтому значащих цифр бесконечное множество) + 0,477 1 212547... = 4,477 1 212547 ≈ 4,4771.

При вычислении антилогарифма нормализованного числа результат округляется до количества значащих цифр, равного количеству значащих цифр в десятичной части числа, подлежащего антилогарифмированию.

• 10 ^4,4771 = 299 9 8,5318119... = 30000 = 3,000 × 10 ⁴ .

Трансцендентные функции

Если трансцендентная функция (например, показательная функция , логарифм и тригонометрические функции ) дифференцируема в элементе своей области определения «x», то ее число значащих цифр (обозначаемых как «значащие цифры числа ») приблизительно связано с числом значащих цифр в x (обозначаемых как «значащие цифры числа x ») по формуле ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle {\rm {(significant~figures~of~f(x))}}\approx {\rm {(significant~figures~of~x)}}-\log _{10}\left(\left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert \right)}$,

где - номер состояния . ${\displaystyle \left\vert {{\frac {df(x)}{dx}}{\frac {x}{f(x)}}}\right\vert }$

Округление только по окончательному результату расчета

При выполнении многоэтапных вычислений не округляйте результаты вычислений промежуточных этапов; сохраняйте столько цифр, сколько это практически возможно (по крайней мере, на одну цифру больше, чем позволяет правило округления на каждом этапе) до конца всех вычислений, чтобы избежать кумулятивных ошибок округления при отслеживании или записи значимых цифр в каждом промежуточном результате. Затем округлите окончательный результат, например, до наименьшего количества значимых цифр (для умножения или деления) или самой левой последней позиции значащей цифры (для сложения или вычитания) среди входных данных в окончательном вычислении. ^[14]

• (2,3494 + 1,345) × 1,2 = 3,69 4 4 × 1,2 = 4,4 3328 ≈ 4,4.
• (2,3494 × 1,345) + 1,2 = 3,15 9 943 + 1,2 = 4,3 59943 ≈ 4,4.

Оценка дополнительной цифры

При использовании линейки изначально используйте наименьшую отметку в качестве первой предполагаемой цифры. Например, если наименьшая отметка линейки составляет 0,1 см, а считывается 4,5 см, то это 4,5 (±0,1 см) или 4,4 см до 4,6 см относительно наименьшего интервала отметки. Однако на практике измерение обычно можно оценить на глаз ближе, чем интервал между наименьшей отметкой линейки, например, в приведенном выше случае оно может быть оценено как между 4,51 см и 4,53 см. ^[15]

Также возможно, что общая длина линейки может быть неточной до степени наименьшей отметки, и отметки могут быть неидеально расположены в пределах каждой единицы. Однако, если предположить, что линейка обычного хорошего качества, должно быть возможно оценить десятые доли между ближайшими двумя отметками, чтобы получить дополнительный десятичный знак точности. ^[16] Невыполнение этого требования добавляет ошибку в чтении линейки к любой ошибке в калибровке линейки.

Оценка в статистике

При оценке доли особей, имеющих определенную характеристику в популяции, на основе случайной выборки из этой популяции количество значимых цифр не должно превышать максимальную точность, допускаемую данным размером выборки.

Связь с точностью и достоверностью измерений

Традиционно в различных технических областях «точность» относится к близости данного измерения к его истинному значению; «прецизионность» относится к стабильности этого измерения при многократном повторении. Таким образом, можно быть «совершенно неправым». Надеясь отразить то, как термин «точность» фактически используется в научном сообществе, существует недавний стандарт ISO 5725, который сохраняет то же определение точности, но определяет термин «истинность» как близость данного измерения к его истинному значению и использует термин «точность» как комбинацию истинности и точности. (См. статью о точности и точности для полного обсуждения.) В любом случае количество значащих цифр примерно соответствует точности , а не точности или более новой концепции истинности.

В вычислительной технике

Компьютерные представления чисел с плавающей точкой используют форму округления до значащих цифр (обычно не отслеживая их количество), в общем случае с двоичными числами . Количество правильных значащих цифр тесно связано с понятием относительной погрешности (которое имеет то преимущество, что является более точной мерой точности и не зависит от основания , также известного как основание, используемой системы счисления).

Электронные калькуляторы , поддерживающие специальный режим отображения значащих цифр, встречаются сравнительно редко.

Среди калькуляторов, поддерживающих соответствующие функции, можно назвать Commodore M55 Mathematician (1976) ^[17] и S61 Statistician (1976) ^[18], которые поддерживают два режима отображения, где DISP+ nвыдает n значащих цифр в общей сложности, а ++ выдает n десятичных знаков.DISP.n

Семейства графических калькуляторов Texas Instruments TI-83 Plus (1999) и TI-84 Plus (2004) поддерживают режим Sig-Fig Calculator , в котором калькулятор оценивает количество значащих цифр введенных чисел и отображает его в квадратных скобках позади соответствующего числа. Результаты вычислений будут скорректированы так, чтобы отображать только значащие цифры. ^[19]

Для калькуляторов WP 34S (2011) и WP 31S (2014), разработанных сообществом на базе HP 20b / 30b , режимы отображения значащих цифр + и + (с дополнением нулями) доступны как опция времени компиляции . ^{[20] [21] Калькуляторы} WP 43C (2019) ^[22]  / C43 (2022) / C47 (2023) , разработанные сообществом на базе SwissMicros DM42, также поддерживают режим отображения значащих цифр.SIGnSIG0n

Смотрите также

• Закон Бенфорда (закон первой цифры)
• Инженерная нотация
• Панель ошибок
• Ложная точность
• Защитная цифра
• IEEE 754 (стандарт IEEE с плавающей точкой)
• Интервальная арифметика
• Алгоритм суммирования Кахана
• Точность (информатика)
• Ошибка округления

Ссылки

1. Lower, Stephen (2021-03-31). "Значимые цифры и округление". Химия - LibreTexts .
2. Химия в обществе ; Кендалл-Хант:Дубьюк, Айова, 1988
3. Дать точное определение количеству правильных значащих цифр не так-то просто: см. Хайэм, Николас (2002). Точность и устойчивость числовых алгоритмов (PDF) (2-е изд.). SIAM. стр. 3–5.
4. "файл проверки y-cruncher"
5. «Сколько знаков после запятой в числе Пи нам действительно нужно? — Edu News». NASA/JPL Edu . Получено 25.10.2021 .
6. "Резолюции 26-й ГКМВ" (PDF) . BIPM . 2018-11-16. Архивировано из оригинала (PDF) 2018-11-19 . Получено 2018-11-20 .
7. Майерс, Р. Томас; Олдхэм, Кит Б.; Точчи, Сальваторе (2000). Химия . Остин, Техас: Holt Rinehart Winston. стр. 59. ISBN 0-03-052002-9.
8. Энгельбрехт, Нэнси и др. (1990). «Округление десятичных чисел до заданной точности» (PDF) . Вашингтон, округ Колумбия: Министерство образования США.
9. Численная математика и вычисления, Чейни и Кинкейд.
10. Луна, Эдуардо. «Неопределенности и значимые цифры» (PDF) . Колледж ДеАнза .
11. "Значимые фигуры". Университет Пердью - Кафедра физики и астрономии .
12. «Правила значимых цифр». Университет штата Пенсильвания.
13. "Неопределенность в измерении - Значимые цифры". Химия - LibreTexts . 2017-06-16.
14. de Oliveira Sannibale, Virgínio (2001). "Измерения и значимые цифры (черновик)" (PDF) . Лаборатория физики первокурсников . Калифорнийский технологический институт, физико-математическое и астрономическое отделение. Архивировано из оригинала (PDF) 2013-06-18.
15. "Измерения". slc.umd.umich.edu . Мичиганский университет. Архивировано из оригинала 2017-07-09 . Получено 2017-07-03 . Как правило, следует пытаться читать любую шкалу с точностью до одной десятой ее наименьшего деления путем визуальной интерполяции [пример опущен].
16. Экспериментальные электрические испытания. Ньюарк, Нью-Джерси: Weston Electrical Instruments Co. 1914. стр. 9. Получено 14.01.2019 . Экспериментальные электрические испытания..
17. Руководство пользователя commodore m55 Mathematician (PDF) . Пало-Альто, Калифорния, США / Лутон, Великобритания: Commodore Business Machines Inc. / Mitchells Printers (Luton) Limited. 201318-01. Архивировано (PDF) из оригинала 2023-09-30 . Получено 2023-09-30 .(1+151+1 страниц)
18. Commodore s61 Statistician Owners Handbook. Пало-Альто, Калифорния, США: Commodore Business Machines Inc. Архивировано из оригинала 2023-09-30 . Получено 2023-09-30 .(2+114 страниц)
19. "Решение 30190: Использование калькулятора значимых чисел из приложения Science Tools на графических калькуляторах семейства TI-83 Plus и TI-84 Plus". База знаний . Texas Instruments . 2023. Архивировано из оригинала 2023-09-16 . Получено 2023-09-30 .
20. Bit (2014-11-15). "Патчи и пользовательские двоичные файлы Bit's WP 34S и 31S (версия: r3802 20150805-1)". MoHPC - Музей калькуляторов HP . Архивировано из оригинала 2023-09-24 . Получено 2023-09-24 .
21. Bit (2015-02-07). "[34S & 31S] Уникальный режим отображения: значимые цифры". MoHPC - Музей калькуляторов HP . Архивировано из оригинала 2023-09-24 . Получено 2023-09-24 .
22. Mostert, Jaco "Jaymos" (11.02.2020). "Изменения от WP43S к WP43C" (PDF) . v047. Архивировано (PDF) из оригинала 01.10.2023 . Получено 01.10.2023 .(30 страниц)

Дальнейшее чтение

• Delury, DB (1958). «Вычисления с приближенными числами». Учитель математики . 51 (7): 521–30. doi :10.5951/MT.51.7.0521. JSTOR  27955748.
• Бонд, Э. А. (1931). «Значимые цифры в вычислениях с приближенными числами». Учитель математики . 24 (4): 208–12. doi :10.5951/MT.24.4.0208. JSTOR  27951340.
• ASTM E29-06b, Стандартная практика использования значащих цифр в данных испытаний для определения соответствия спецификациям

Внешние ссылки

• Видео «Значимые фигуры» от Khan Academy
• Часто задаваемые вопросы о десятичной арифметике — Является ли десятичная арифметика арифметикой «значимости»?
• Расширенные методы обработки неопределенности и некоторые объяснения недостатков арифметики значимости и значимых цифр.
• Калькулятор значащих цифр — отображает число с желаемым количеством значащих цифр.
• Измерения и неопределенности в сравнении со значащими цифрами или значащими числами – Правильные методы выражения неопределенности, включая подробное обсуждение проблем, связанных с любым понятием значащих цифр.