В математике интегрируемость является свойством некоторых динамических систем . Хотя существует несколько различных формальных определений, неформально говоря, интегрируемая система — это динамическая система с достаточным количеством сохраняющихся величин , или первых интегралов , так что ее движение ограничивается подмногообразием гораздо меньшей размерности, чем размерность ее фазового пространства .
Три особенности часто называют характерными для интегрируемых систем: [1]
Интегрируемые системы можно рассматривать как сильно отличающиеся по качественному характеру от более общих динамических систем, которые, как правило, являются хаотическими системами . Последние, как правило, не имеют сохраняющихся величин и являются асимптотически неразрешимыми, поскольку произвольно малое возмущение начальных условий может привести к произвольно большим отклонениям в их траекториях в течение достаточно большого времени.
Многие системы, изучаемые в физике, полностью интегрируемы, в частности, в гамильтоновом смысле, ключевым примером являются многомерные гармонические осцилляторы. Другим стандартным примером является планетарное движение вокруг одного фиксированного центра (например, солнца) или двух. Другие элементарные примеры включают движение твердого тела вокруг его центра масс (волчок Эйлера ) и движение аксиально-симметричного твердого тела вокруг точки на его оси симметрии ( волчок Лагранжа ).
В конце 1960-х годов было осознано, что в физике существуют полностью интегрируемые системы, имеющие бесконечное число степеней свободы, такие как некоторые модели волн на мелкой воде ( уравнение Кортевега–де Фриза ), эффект Керра в оптических волокнах, описываемый нелинейным уравнением Шредингера , и некоторые интегрируемые многочастичные системы, такие как решетка Тоды . Современная теория интегрируемых систем была возрождена с численным открытием солитонов Мартином Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году, что привело к методу обратного преобразования рассеяния в 1967 году.
В частном случае гамильтоновых систем, если имеется достаточно независимых коммутирующих первых интегралов Пуассона для того, чтобы параметры потока могли служить системой координат на инвариантных множествах уровня ( листьях лагранжева слоения ), и если потоки полны, а множество уровней энергии компактно, это подразумевает теорему Лиувилля–Арнольда ; т. е. существование переменных действие-угол . Общие динамические системы не имеют таких сохраняющихся величин; в случае автономных гамильтоновых систем энергия, как правило, является единственной, и на множествах уровней энергии потоки, как правило, хаотичны.
Ключевым компонентом в характеристике интегрируемых систем является теорема Фробениуса , которая утверждает, что система интегрируема по Фробениусу (т. е. порождается интегрируемым распределением), если локально она имеет слоение максимальными интегральными многообразиями. Но интегрируемость, в смысле динамических систем , является глобальным свойством, а не локальным, поскольку она требует, чтобы слоение было регулярным, с вложенными в листья подмногообразиями.
Интегрируемость не обязательно подразумевает, что общие решения могут быть явно выражены в терминах некоторого известного набора специальных функций ; это внутреннее свойство геометрии и топологии системы, а также природы динамики.
В контексте дифференцируемых динамических систем понятие интегрируемости относится к существованию инвариантных, регулярных слоений ; т. е. таких, чьи листы являются вложенными подмногообразиями наименьшей возможной размерности, которые инвариантны относительно потока . Таким образом, существует переменное понятие степени интегрируемости, зависящее от размерности листов инвариантного слоения. Это понятие имеет уточнение в случае гамильтоновых систем , известное как полная интегрируемость в смысле Лиувилля (см. ниже), что является тем, что чаще всего упоминается в этом контексте.
Расширение понятия интегрируемости также применимо к дискретным системам, таким как решетки. Это определение может быть адаптировано для описания эволюционных уравнений, которые являются либо системами дифференциальных уравнений , либо системами конечно-разностных уравнений .
Различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми динамическими системами имеет качественное значение регулярного движения против хаотического движения и, следовательно, является внутренним свойством, а не просто вопросом того, может ли система быть явно интегрирована в точной форме.
В специальном случае гамильтоновых систем мы имеем понятие интегрируемости в смысле Лиувилля . (См. теорему Лиувилля–Арнольда .) Интегрируемость по Лиувиллю означает, что существует регулярное расслоение фазового пространства инвариантными многообразиями, такое, что гамильтоновы векторные поля, связанные с инвариантами расслоения, охватывают касательное распределение. Другой способ сформулировать это состоит в том, что существует максимальный набор функционально независимых коммутирующих инвариантов Пуассона (т. е. независимых функций на фазовом пространстве, чьи скобки Пуассона с гамильтонианом системы и друг с другом обращаются в нуль).
В конечных размерностях, если фазовое пространство является симплектическим (т. е. центр алгебры Пуассона состоит только из констант), оно должно иметь четную размерность , а максимальное число независимых коммутирующих инвариантов Пуассона (включая сам гамильтониан) равно . Листы слоения полностью изотропны относительно симплектической формы, и такое максимально изотропное слоение называется лагранжевым . Все автономные гамильтоновы системы (т. е. те, для которых скобки Гамильтона и Пуассона явно не зависят от времени) имеют по крайней мере один инвариант; а именно, сам гамильтониан, значение которого вдоль потока является энергией. Если множества уровней энергии компактны, листы лагранжева слоения являются торами , а естественные линейные координаты на них называются переменными «угол». Циклы канонической -формы называются переменными действия, а полученные канонические координаты называются переменными действия-угол (см. ниже).
Существует также различие между полной интегрируемостью , в смысле Лиувилля , и частичной интегрируемостью, а также понятие суперинтегрируемости и максимальной суперинтегрируемости. По сути, эти различия соответствуют размерностям листов слоения. Когда число независимых коммутирующих по Пуассону инвариантов меньше максимального (но, в случае автономных систем, больше одного), мы говорим, что система частично интегрируема. Когда существуют дополнительные функционально независимые инварианты, помимо максимального числа, которое может быть коммутирующим по Пуассону, и, следовательно, размерность листов инвариантного слоения меньше n, мы говорим, что система суперинтегрируема . Если существует регулярное слоение с одномерными листами (кривыми), оно называется максимально суперинтегрируемым.
Когда конечномерная гамильтонова система полностью интегрируема в смысле Лиувилля, а множества уровней энергии компактны, потоки полны, а листы инвариантного слоения являются торами . Тогда существуют, как упоминалось выше, специальные наборы канонических координат на фазовом пространстве, известные как переменные действие-угол , такие, что инвариантные торы являются совместными множествами уровня переменных действия . Таким образом, они обеспечивают полный набор инвариантов гамильтонова потока (констант движения), а угловые переменные являются естественными периодическими координатами на торах. Движение на инвариантных торах, выраженное в терминах этих канонических координат, линейно по угловым переменным.
В канонической теории преобразований существует метод Гамильтона–Якоби , в котором решения уравнений Гамильтона ищутся путем предварительного нахождения полного решения соответствующего уравнения Гамильтона–Якоби . В классической терминологии это описывается как определение преобразования к каноническому набору координат, состоящему из полностью игнорируемых переменных; т. е. таких, в которых нет зависимости гамильтониана от полного набора канонических «позиционных» координат, и, следовательно, соответствующие канонически сопряженные импульсы являются всеми сохраняющимися величинами. В случае компактных множеств уровней энергии это первый шаг к определению переменных действие-угол . В общей теории уравнений в частных производных типа Гамильтона–Якоби полное решение (т. е. зависящее от n независимых констант интегрирования, где n — размерность конфигурационного пространства) существует в очень общих случаях, но только в локальном смысле. Поэтому существование полного решения уравнения Гамильтона–Якоби никоим образом не является характеристикой полной интегрируемости в смысле Лиувилля. Большинство случаев, которые могут быть "явно интегрированы", включают полное разделение переменных , в котором константы разделения обеспечивают полный набор требуемых констант интегрирования. Только когда эти константы могут быть переинтерпретированы в рамках полного фазового пространства как значения полного набора коммутирующих функций Пуассона, ограниченных листьями лагранжева слоения, система может считаться полностью интегрируемой в смысле Лиувилля.
Возрождение интереса к классическим интегрируемым системам произошло с открытием в конце 1960-х годов, что солитоны , которые являются сильно устойчивыми локализованными решениями уравнений с частными производными, такими как уравнение Кортевега–де Фриза (которое описывает одномерную недиссипативную динамику жидкости в мелководных бассейнах), можно понять, рассматривая эти уравнения как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы. Их изучение приводит к очень плодотворному подходу для «интегрирования» таких систем, обратному преобразованию рассеяния и более общим обратным спектральным методам (часто сводимым к задачам Римана–Гильберта ), которые обобщают локальные линейные методы, такие как анализ Фурье, на нелокальную линеаризацию посредством решения связанных интегральных уравнений.
Основная идея этого метода заключается во введении линейного оператора, который определяется положением в фазовом пространстве и который эволюционирует под действием динамики рассматриваемой системы таким образом, что его «спектр» (в подходящим образом обобщенном смысле) инвариантен под действием эволюции, ср. пара Лакса . Это обеспечивает, в определенных случаях, достаточно инвариантов или «интегралов движения», чтобы сделать систему полностью интегрируемой. В случае систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, таких как уравнение КдФ, этого недостаточно, чтобы сделать точным свойство интегрируемости Лиувилля. Однако для соответствующим образом определенных граничных условий спектральное преобразование может, по сути, интерпретироваться как преобразование к полностью игнорируемым координатам , в которых сохраняющиеся величины образуют половину дважды бесконечного набора канонических координат, и поток линеаризуется в них. В некоторых случаях это можно даже рассматривать как преобразование в переменные действие-угол, хотя обычно только конечное число переменных «положения» на самом деле являются угловыми координатами, а остальные некомпактны.
Другая точка зрения, возникшая в современной теории интегрируемых систем, возникла в вычислительном подходе, впервые предложенном Рёго Хиротой [ 2] , который включал замену исходной нелинейной динамической системы на билинейную систему уравнений с постоянными коэффициентами для вспомогательной величины, которая позже стала известна как τ-функция . Теперь их называют уравнениями Хироты . Хотя изначально они появились просто как вычислительный прием, без какой-либо четкой связи с методом обратного рассеяния или гамильтоновой структурой, тем не менее, это дало очень прямой метод, из которого можно было вывести важные классы решений, такие как солитоны .
Впоследствии это было интерпретировано Микио Сато [3] и его учениками [4] [5] сначала для случая интегрируемых иерархий уравнений в частных производных, таких как иерархия Кадомцева–Петвиашвили , но затем для гораздо более общих классов интегрируемых иерархий как своего рода подход универсального фазового пространства , в котором, как правило, коммутирующая динамика рассматривалась просто как определяемая фиксированным (конечным или бесконечным) действием абелевой группы на (конечном или бесконечном) многообразии Грассмана . τ-функция рассматривалась как определитель оператора проекции из элементов групповой орбиты в некоторое начало координат внутри грассманиана, а уравнения Хироты как выражение соотношений Плюккера , характеризующих вложение Плюккера грассманиана в проективизацию соответствующим образом определенного (бесконечного) внешнего пространства , рассматриваемого как фермионное пространство Фока .
Существует также понятие квантовых интегрируемых систем.
В квантовой постановке функции на фазовом пространстве должны быть заменены самосопряженными операторами на гильбертовом пространстве , а понятие коммутирующих функций Пуассона заменено коммутирующими операторами. Понятие законов сохранения должно быть специализировано для локальных законов сохранения. [6] Каждый гамильтониан имеет бесконечный набор сохраняющихся величин, заданных проекторами на его собственные энергетические состояния . Однако это не подразумевает никакой особой динамической структуры.
Чтобы объяснить квантовую интегрируемость, полезно рассмотреть случай свободных частиц. Здесь вся динамика является одночастичной. Квантовая система считается интегрируемой, если динамика является двухчастичной. Уравнение Янга–Бакстера является следствием этой сводимости и приводит к следовым тождествам, которые обеспечивают бесконечный набор сохраняющихся величин. Все эти идеи включены в квантовый метод обратной задачи рассеяния , где алгебраический анзац Бете может быть использован для получения явных решений. Примерами квантовых интегрируемых моделей являются модель Либа–Линигера , модель Хаббарда и несколько вариаций модели Гейзенберга . [7] Некоторые другие типы квантовой интегрируемости известны в явно зависящих от времени квантовых задачах, таких как управляемая модель Тависа-Каммингса. [8]
В физике полностью интегрируемые системы, особенно в бесконечномерной обстановке, часто называют точно решаемыми моделями. Это скрывает различие между интегрируемостью в гамильтоновом смысле и более общим динамическим системным смыслом.
Существуют также точно решаемые модели в статистической механике, которые более тесно связаны с квантовыми интегрируемыми системами, чем классические. Два тесно связанных метода: подход анзаца Бете в его современном понимании, основанный на уравнениях Янга–Бакстера , и квантовый метод обратной задачи рассеяния , предоставляют квантовые аналоги обратных спектральных методов. Они одинаково важны при изучении решаемых моделей в статистической механике.
Иногда используется неточное понятие «точной разрешимости», означающее: «Решения могут быть явно выражены в терминах некоторых ранее известных функций», как будто это внутреннее свойство самой системы, а не чисто вычислительная особенность, заключающаяся в том, что нам случайно доступны некоторые «известные» функции, в терминах которых могут быть выражены решения. Это понятие не имеет внутреннего смысла, поскольку то, что подразумевается под «известными» функциями, очень часто определяется именно тем фактом, что они удовлетворяют определенным заданным уравнениям, и список таких «известных функций» постоянно растет. Хотя такая характеристика «интегрируемости» не имеет внутренней обоснованности, она часто подразумевает тот вид регулярности, который следует ожидать в интегрируемых системах. [ необходима цитата ]
