Точная категория

В математике , в частности в теории категорий , точная категория — это категория, снабженная короткими точными последовательностями . Эта концепция принадлежит Дэниелу Квиллену и предназначена для инкапсуляции свойств коротких точных последовательностей в абелевых категориях без требования, чтобы морфизмы фактически обладали ядрами и коядрами , что необходимо для обычного определения такой последовательности.

Определение

Точная категория E — это аддитивная категория, обладающая классом E «коротких точных последовательностей»: троек объектов, соединенных стрелками.

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

удовлетворяющий следующим аксиомам, вдохновленным свойствами коротких точных последовательностей в абелевой категории :

• E замкнуто относительно изоморфизмов и содержит канонические («расщепляемые точные») последовательности:

${\displaystyle M'\to M'\oplus M''\to M'';}$

• Предположим, что встречается как вторая стрелка последовательности в E (это допустимый эпиморфизм ) и является любой стрелкой в ​​E . Тогда их пулбэк существует, и его проекция на также является допустимым эпиморфизмом. Двойственно , если встречается как первая стрелка последовательности в E (это допустимый мономорфизм ) и является любой стрелкой, то их выталкивание существует, и его копроекция из также является допустимым мономорфизмом. (Мы говорим, что допустимые эпиморфизмы «устойчивы относительно пулбэка», соответственно, допустимые мономорфизмы являются «устойчивыми относительно выталкивания».); ${\displaystyle M\to M''}$ ${\displaystyle N\to M''}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M'\to M}$ ${\displaystyle M'\to N}$ ${\displaystyle N}$
• Допустимые мономорфизмы являются ядрами соответствующих им допустимых эпиморфизмов, и дуально. Композиция двух допустимых мономорфизмов допустима (также допустимые эпиморфизмы);
• Предположим, что есть отображение в E , которое допускает ядро ​​в E , и предположим, что есть любое отображение, такое что композиция является допустимым эпиморфизмом. Тогда так же. Двойственно, если допускает коядро и таково, что является допустимым мономорфизмом, тогда так же ${\displaystyle M\to M''}$ ${\displaystyle N\to M}$ ${\displaystyle N\to M\to M''}$ ${\displaystyle M\to M''.}$ ${\displaystyle M'\to M}$ ${\displaystyle M\to N}$ ${\displaystyle M'\to M\to N}$ ${\displaystyle M'\to M.}$

Допустимые мономорфизмы обычно обозначаются , а допустимые эпиморфизмы обозначаются . Эти аксиомы не являются минимальными; фактически, как показал Бернхард Келлер (1990), последняя аксиома является избыточной. ${\displaystyle \rightarrowtail }$ ${\displaystyle \twoheadrightarrow .}$

Можно говорить о точном функторе между точными категориями точно так же, как в случае точных функторов абелевых категорий: точный функтор из точной категории D в другую точную категорию E является аддитивным функтором, таким что если ${\displaystyle F}$

${\displaystyle M'\rightarrowtail M\twoheadrightarrow M''}$

точен в D , тогда

${\displaystyle F(M')\rightarrowtail F(M)\twoheadrightarrow F(M'')}$

является точной в E. Если D является подкатегорией E , то она является точной подкатегорией, если функтор включения является полностью точным и точным.

Мотивация

Точные категории получаются из абелевых категорий следующим образом. Предположим, что A абелева, и пусть E — любая строго полная аддитивная подкатегория, которая замкнута относительно принятия расширений в том смысле, что задана точная последовательность

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

в A , то если есть в E , то есть и . Мы можем взять класс E просто как последовательности в E , которые точны в A ; то есть, ${\displaystyle M',M''}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M'\to M\to M''\ }$

находится в E тогда и только тогда

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0\ }$

является точной в A . Тогда E является точной категорией в указанном выше смысле. Проверяем аксиомы:

• E замкнуто относительно изоморфизмов и содержит расщепляемые точные последовательности: они истинны по определению, поскольку в абелевой категории любая последовательность , изоморфная точной, также является точной, и поскольку расщепляемые последовательности всегда точны в A.
• Допустимые эпиморфизмы (соответственно, допустимые мономорфизмы) устойчивы относительно обратных протягиваний (соответственно, выталкиваний): если задана точная последовательность объектов в E ,

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {f}}M\to M''\to 0,\ }$

и отображение с в E , можно проверить, что следующая последовательность также точна; поскольку E устойчиво относительно расширений, это означает, что находится в E : ${\displaystyle N\to M''}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times _{M''}N}$

${\displaystyle 0\to M'{\xrightarrow {(f,0)}}M\times _{M''}N\to N\to 0.\ }$

• Каждый допустимый мономорфизм является ядром соответствующего ему допустимого эпиморфизма, и наоборот: это верно как морфизм в A , а E является полной подкатегорией.
• Если допускает ядро ​​в E и если является допустимым эпиморфизмом, то также является допустимым эпиморфизмом : См. Quillen (1972). ${\displaystyle M\to M''}$ ${\displaystyle N\to M}$ ${\displaystyle N\to M\to M''}$ ${\displaystyle M\to M''}$

Наоборот, если E — любая точная категория, мы можем взять A как категорию левых точных функторов из E в категорию абелевых групп , которая сама по себе абелева и в которой E является естественной подкатегорией (через вложение Йонеды , поскольку Hom левая точна), устойчивой относительно расширений, и в которой последовательность принадлежит E тогда и только тогда, когда она точна в A.

Примеры

• Любая абелева категория точна очевидным образом, согласно конструкции #Мотивации.
• Менее тривиальным примером является категория Ab _tf абелевых групп без кручения , которая является строго полной подкатегорией (абелевой) категории Ab всех абелевых групп. Она замкнута относительно расширений: если

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

— короткая точная последовательность абелевых групп, в которой не имеют кручения, то оказывается не имеющим кручения по следующему аргументу: если — элемент кручения, то его образ в равен нулю, поскольку не имеет кручения. Таким образом, лежит в ядре отображения в , которое равно , но которое также не имеет кручения, поэтому . По построению #Мотивации, Ab _tf — точная категория; вот некоторые примеры точных последовательностей в ней: ${\displaystyle A,C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b=0}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} {\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}1\\2\end{smallmatrix}}\right)}}\mathbb {Z} ^{2}{\xrightarrow {(-2,1)}}\mathbb {Z} \to 0,}$

${\displaystyle 0\to d\Omega ^{0}(S^{1})\to \Omega _{c}^{1}(S^{1})\to H_{\text{dR}}^{1}(S^{1})\to 0,}$

где последний пример вдохновлен когомологиями де Рама ( и являются замкнутыми и точными дифференциальными формами на группе окружности ); в частности, известно, что группа когомологий изоморфна действительным числам. Эта категория не является абелевой. ${\displaystyle \Omega _{c}^{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle d\Omega ^{0}(S^{1})}$

• Следующий пример в некотором смысле дополняет предыдущий. Пусть Ab _t — категория абелевых групп с кручением (а также нулевая группа). Это аддитивная и строго полная подкатегория Ab снова. Еще проще увидеть, что она стабильна относительно расширений: если

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0\ }$

является точной последовательностью, в которой есть кручение, то естественно имеет все элементы кручения . Таким образом, это точная категория. ${\displaystyle A,C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

Ссылки

• Келлер, Бернхард (1990). «Цепные комплексы и стабильные категории». Manuscripta Mathematica . 67 : 379–417. CiteSeerX  10.1.1.146.3555 . doi :10.1007/BF02568439. S2CID  6945014. Приложение A. Точные категории

• Quillen, Daniel (1972). Высшая алгебраическая K-теория I. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 341. Springer. pp. 85–147. doi :10.1007/BFb0067053. ISBN 978-3-540-06434-3.