Точность (статистика)

Обратная статистическая дисперсия

В статистике матрица точности или матрица концентрации является матрицей, обратной матрице ковариации или матрице дисперсии . ^{[1] [2] [3]} Для одномерных распределений матрица точности вырождается в скалярную точность , определяемую как обратную величину дисперсии . ^[4] ${\displaystyle P=\Sigma ^{-1}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{\sigma ^{2}}}}$

Другие сводные статистические данные статистической дисперсии , также называемые точностью (или неточностью ^{[5] [6]} ) , включают обратную величину стандартного отклонения ; ^[3] само стандартное отклонение и относительное стандартное отклонение ; ^[7] , а также стандартную ошибку ^[8] и доверительный интервал (или его полуширину, предел погрешности ). ^[9] ${\displaystyle p={\frac {1}{\sigma }}}$

Применение

Одно из конкретных применений матрицы точности находится в контексте байесовского анализа многомерного нормального распределения : например, Бернардо и Смит предпочитают параметризовать многомерное нормальное распределение в терминах матрицы точности, а не ковариационной матрицы, из-за определенных упрощений. что тогда возникает. ^[10] Например, если и априорное значение , и вероятность имеют гауссову форму, и матрица точности обоих из них существует (поскольку их ковариационная матрица имеет полный ранг и, следовательно, обратима), то матрица точности апостериорного значения будет просто сумма матриц точности априора и вероятности.

Как обратная эрмитова матрица , матрица точности действительных случайных величин, если она существует, является положительно определенной и симметричной.

Другая причина, по которой матрица точности может быть полезна, заключается в том, что если два измерения и многомерная нормаль условно независимы , то элементы и матрицы точности являются . Это означает, что прецизионные матрицы имеют тенденцию быть разреженными, когда многие измерения условно независимы, что может привести к повышению эффективности вычислений при работе с ними. Это также означает, что матрицы точности тесно связаны с идеей частичной корреляции . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle ji}$ ${\displaystyle 0}$

Матрица точности играет центральную роль в обобщенном методе наименьших квадратов по сравнению с обычным методом наименьших квадратов , где – единичная матрица , и взвешенным методом наименьших квадратов , где – диагональ ( весовая матрица ). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Этимология

Термин точность в этом смысле («mensura praecisionis Observeum») впервые появился в работах Гаусса (1809) « Theoria motus corporum coelestium insectionibus conicis Solem Ambientium » (стр. 212). Определение Гаусса отличается от современного в . Он пишет для функции плотности нормального распределения с точностью (обратной стандартному отклонению): ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \varphi \Delta ={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-hh\Delta \Delta }.}$

где (см.: Возведение в степень#История обозначений ). Позже Уиттакер и Робинсон (1924) в « Исчислении наблюдений » назвали эту величину модулем (точности) , но этот термин вышел из употребления. ^[11] ${\displaystyle hh=h^{2}}$

Рекомендации

1. ДеГрут, Моррис Х. (1969). Оптимальные статистические решения . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 56.
2. Дэвидсон, Рассел; Маккиннон, Джеймс Г. (1993). Оценка и вывод в эконометрике. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. п. 144. ИСБН 0-19-506011-3.
3. Додж, Ю. (2003). Оксфордский словарь статистических терминов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-920613-9.
4. Болстад, WM; Карран, Дж. М. (2016). Введение в байесовскую статистику. Уайли. п. 221. ИСБН 978-1-118-59315-8. Проверено 13 августа 2022 г.
5. Натрелла, МГ (2013). Экспериментальная статистика. Дуврские книги по математике (на итальянском языке). Дуврские публикации. п. 21-ПА14. ISBN 978-0-486-15455-8. Проверено 14 августа 2022 г.
6. Балакришнан, Н. (2009). Методы и приложения статистики в науках о жизни и здоровье. Методы и приложения статистики. Уайли. п. 537. ИСБН 978-0-470-40509-3. Проверено 14 августа 2022 г.
7. Эллисон, SLR; Фаррант, Ти Джей; Барвик, В. (2009). Практическая статистика для ученого-аналитика: настольное руководство. Достоверные аналитические измерения. Королевское химическое общество. п. 145. ИСБН 978-0-85404-131-2. Проверено 14 августа 2022 г.
8. Уилберн, AJ (1984). Практическая статистическая выборка для аудиторов. Статистика: Серия учебников и монографий. Тейлор и Фрэнсис. п. 62. ИСБН 978-0-8247-7124-9. Проверено 14 августа 2022 г.
9. Камминг, Г. (2013). Понимание новой статистики: размеры эффекта, доверительные интервалы и метаанализ. Серия многомерных приложений. Тейлор и Фрэнсис. п. 366. ИСБН 978-1-136-65918-8. Проверено 14 августа 2022 г.
10. Бернардо, Дж. М. и Смит, AFM (2000) Байесовская теория , Wiley ISBN 0-471-49464-X 
11. «Самое раннее известное использование некоторых слов в математике».