Транспонировать

В линейной алгебре транспонирование матрицы — это оператор , который переворачивает матрицу по ее диагонали; то есть он меняет местами индексы строк и столбцов матрицы $A$ , создавая другую матрицу, часто обозначаемую как $A$ $T$ (среди других обозначений). ^[1]

Транспонирование матрицы было введено в 1858 году британским математиком Артуром Кэли . ^[2] В случае логической матрицы, представляющей бинарное отношение R, транспонирование соответствует обратному отношению R ^T .

Транспонирование матрицы

Определение

Транспонированная матрица $A$ , обозначаемая как $A T$ , ^[3] $⊤ A$ , $A ⊤$ , , ^[4]^[5] $A'$ , ^[6] $A$ $tr$ , $t$ $A$ или $A$ $t$ , может быть построена любым из следующих методов: $A^{\intercal }$

Отразим $A$ по его главной диагонали (которая идет из верхнего левого угла в нижний правый), чтобы получить $A T$
Запишите строки $A$ как столбцы $A T$
Запишите столбцы матрицы $A$ как строки матрицы $A T.$

Формально, элемент $i$ -й строки, $j$ -го столбца матрицы $A T$ является элементом $j$ -й строки, $i$ -го столбца матрицы $A$ :

\left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.

Если $A$ — матрица $размера m \times n$ , то $A T$ — матрица $размера n \times m$ .

В случае квадратных матриц $A T$ может также обозначать степень $T$ матрицы $A$ . Чтобы избежать возможной путаницы, многие авторы используют левые заглавные буквы, то есть обозначают транспонирование как $T A$ . Преимущество этой записи в том, что не нужны скобки, когда задействованы показатели степени: так как $(T A) n = T (A n)$ , запись $T A n$ не является двусмысленной.

В данной статье эта путаница устранена за счет того, что символ $T$ никогда не используется в качестве имени переменной .

Определения матриц, включающие транспозицию

Квадратная матрица, транспонированная сама себе, называется симметричной матрицей ; то есть матрица $A$ симметрична, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .

Квадратная матрица, транспонирование которой равно ее отрицательному значению, называется кососимметричной матрицей ; то есть матрица $A$ является кососимметричной, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A} .

Квадратная комплексная матрица, транспонированная матрица которой равна матрице, в которой каждый элемент заменен на ее комплексно сопряженную матрицу (обозначается здесь чертой сверху), называется эрмитовой матрицей (что эквивалентно матрице, равной ее сопряженной транспонированной матрице ); то есть $A$ является эрмитовой, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}.

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно отрицанию ее комплексно сопряженной матрицы, называется косоэрмитовой матрицей ; то есть $A$ является косоэрмитовой, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}.

Квадратная матрица, транспонированная которой равна обратной , называется ортогональной матрицей ; то есть матрица $A$ ортогональна, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}.

Квадратная комплексная матрица, транспонированная матрица которой равна ее сопряженной обратной матрице, называется унитарной матрицей ; то есть матрица $A$ является унитарной, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.

Примеры

${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Характеристики

Пусть $A$ и $B$ — матрицы, а $c$ — скаляр .

$\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .$
Операция транспонирования является инволюцией (самообратной ) .
$\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование учитывает сложение .
$\left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование скаляра — это тот же скаляр. Вместе с предыдущим свойством это означает, что транспонирование — это линейное отображение из пространства матриц $m \times n$ в пространство матриц $n \times m$ .
$\left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
Порядок множителей меняется на противоположный. По индукции этот результат распространяется на общий случай множественных матриц, так что
$(А 1 А 2 ... А k -1 А k) Т = А k Т А k -1 Т \dots А 2 Т А 1 Т$ .
$\det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).$
Определитель квадратной матрицы совпадает с определителем ее транспонированной матрицы .
Скалярное произведение двух векторов-столбцов $a$ и $b$ можно вычислить как единственную запись матричного произведения $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} .$
Если $A$ имеет только действительные элементы, то $A T A$ является положительно-полуопределенной матрицей .
$\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование обратимой матрицы также обратимо, а ее обратная матрица является транспонированием обратной матрицы исходной.
Обозначение $A -T$ иногда используется для представления любого из этих эквивалентных выражений.
Если $A$ — квадратная матрица, то ее собственные значения равны собственным значениям ее транспонированной матрицы, поскольку они имеют один и тот же характеристический многочлен .
Над любым полем квадратная матрица подобна . $к$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$
Это означает, что и имеют одни и те же инвариантные множители , что подразумевает, что они имеют одинаковый минимальный многочлен, характеристический многочлен и собственные значения, среди других свойств. $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$
Доказательство этого свойства использует следующие два наблюдения.
- Пусть и будут матрицами над некоторым базовым полем и пусть будет расширением поля . Если и подобны как матрицы над , то они подобны над . В частности, это применимо, когда является алгебраическим замыканием . $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ $n\times n$ $к$ $L$ $к$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ $L$ $к$ $L$ $к$
- Если — матрица над алгебраически замкнутым полем в жордановой нормальной форме относительно некоторого базиса, то аналогично . Это далее сводится к доказательству того же факта, когда — один жорданов блок, что является простым упражнением. $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ $\mathbf {A}$

Продукция

Если $A$ — матрица $размером m \times n$ , а $A T$ — ее транспонированная матрица, то результат умножения матриц с этими двумя матрицами дает две квадратные матрицы: $AA T$ — это $m \times m$ , а $A T A$ — это $n \times n$ . Более того, эти произведения являются симметричными матрицами . Действительно, произведение матриц $AA T$ имеет записи, которые являются внутренним произведением строки $A$ со столбцом $A T.$ Но столбцы $A T$ являются строками $A$ , поэтому запись соответствует внутреннему произведению двух строк $A.$ Если $p i j$ — запись произведения, она получается из строк $i$ и $j$ в $A.$ Запись $p j i$ также получается из этих строк, таким образом, $p i j = p j i$ , и матрица произведения ( $p i j$ ) симметрична. Аналогично, произведение $A T A$ является симметричной матрицей.

Быстрое доказательство симметрии $AA T$ следует из того факта, что он является своим собственным транспонированием:

\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.

^[7]

Реализация транспонирования матриц на компьютерах

На компьютере часто можно избежать явного транспонирования матрицы в памяти , просто обратившись к тем же данным в другом порядке. Например, библиотеки программного обеспечения для линейной алгебры , такие как BLAS , обычно предоставляют опции для указания того, что определенные матрицы должны интерпретироваться в транспонированном порядке, чтобы избежать необходимости перемещения данных.

Однако остается ряд обстоятельств, при которых необходимо или желательно физически переупорядочить матрицу в памяти в транспонированный порядок. Например, если матрица хранится в порядке по строкам , строки матрицы в памяти являются смежными, а столбцы — несмежными. Если необходимо выполнить повторные операции над столбцами, например, в алгоритме быстрого преобразования Фурье , транспонирование матрицы в памяти (чтобы сделать столбцы смежными) может улучшить производительность за счет увеличения локальности памяти .

В идеале можно было бы надеяться транспонировать матрицу с минимальным дополнительным хранилищем. Это приводит к проблеме транспонирования матрицы n × m на месте с O(1) дополнительным хранилищем или, самое большее, хранилищем, намного меньшим, чем mn . Для n ≠ m это включает в себя сложную перестановку элементов данных, которую нетривиально реализовать на месте. Поэтому эффективное транспонирование матриц на месте было предметом многочисленных исследовательских публикаций в области компьютерных наук , начиная с конца 1950-х годов, и было разработано несколько алгоритмов.

Транспонирование линейных отображений и билинейных форм

Поскольку основное применение матриц — представление линейных отображений между конечномерными векторными пространствами , транспонирование — это операция над матрицами, которую можно рассматривать как представление некоторой операции над линейными отображениями.

Это приводит к гораздо более общему определению транспонирования, которое работает на каждой линейной карте, даже когда линейные карты не могут быть представлены матрицами (например, в случае бесконечномерных векторных пространств). В случае конечномерности матрица, представляющая транспонирование линейной карты, является транспонированием матрицы, представляющей линейную карту, независимо от выбора базиса .

Транспонирование линейной карты

Пусть $X #$ обозначает алгебраическое сопряженное пространство $R$ - модуля X $.$ Пусть $X$ и $Y$ являются $R$ -модулями. Если $u : X \to Y$ - линейное отображение , то его алгебраическое сопряженное или сопряженное ^[8] отображение u $# : Y # \to X # определяется$ как $f \mapsto f \circ u$ . Полученный функционал $u # (f)$ называется обратным образом $f$ по u $.$ Следующее соотношение характеризует алгебраическое сопряженное к $u$ ^[9]

⟨ u # ​​(f), x ⟩ = ⟨ f, u (x)⟩

для всех

f \in Y #

x \in X

где $⟨•, •⟩$ — естественное спаривание (т.е. определяемое как $⟨ h, z ⟩ := h (z)$ ). Это определение также применяется без изменений к левым модулям и векторным пространствам. ^[10]

Определение транспонирования можно считать независимым от какой-либо билинейной формы на модулях, в отличие от сопряженного (ниже).

Непрерывное сопряженное пространство топологического векторного пространства (TVS) $X$ обозначается $X'$ . Если $X$ и $Y$ являются TVS, то линейное отображение $u : X \to Y$ слабо непрерывно тогда и только тогда, когда $u # (Y') \subseteq X'$ , и в этом случае мы позволяем $t u : Y' \to X'$ обозначать ограничение $u #$ на $Y'$ . Отображение $t u$ называется транспонированием ^[11 $]$ u .

Если матрица $A$ описывает линейное отображение относительно базисов V и $W ,$ $то$ матрица $A$ $T$ описывает транспонирование этого линейного отображения относительно двойственных базисов .

Транспонирование билинейной формы

Каждое линейное отображение в двойственное пространство $u : X \to X #$ определяет билинейную форму $B : X \times X \to F$ с соотношением $B (x, y) = u (x)(y)$ . Определяя транспонирование этой билинейной формы как билинейную форму $t B ,$ определяемую транспонированием $t u : X ## \to X #$ т.е. $t B (y, x) = t u (Ψ(y))(x)$ , мы получаем, что $B (x, y) = t B (y, x)$ . Здесь $Ψ$ — естественный гомоморфизм $X \to X ##$ в двойной двойственный .

Примыкающий

Если векторные пространства $X$ и $Y$ имеют соответственно невырожденные билинейные формы $B X$ и $B Y$ , можно определить понятие, известное как сопряженный оператор , которое тесно связано с транспонированием:

Если $u : X \to Y$ — линейное отображение между векторными пространствами $X$ и $Y$ , мы определяем $g$ как сопряженное к $u,$ если $g : Y \to X$ удовлетворяет условию

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

для всех

x \in X

y \in Y

Эти билинейные формы определяют изоморфизм между $X$ и $X #$ , а также между $Y$ и $Y #$ , что приводит к изоморфизму между транспонированным и сопряженным матрицей $u$ . Матрица сопряженного элемента отображения является транспонированной матрицей только в том случае, если базы ортонормальны относительно их билинейных форм. Однако в этом контексте многие авторы используют термин транспонированный для обозначения сопряженного элемента, как определено здесь.

Сопряженный элемент позволяет нам рассмотреть, равен ли $g : Y \to X отображению$ $u -1 : Y \to X.$ В частности, это позволяет определить ортогональную группу над векторным пространством $X$ с квадратичной формой без ссылки на матрицы (или их компоненты) как множество всех линейных отображений $X \to X,$ для которых сопряженный элемент равен обратному.

Над комплексным векторным пространством часто работают с полуторалинейными формами (сопряженно-линейными по одному аргументу) вместо билинейных форм. Эрмитово сопряженное отображение между такими пространствами определяется аналогично, а матрица эрмитово сопряженного задается сопряженно-транспонированной матрицей, если базисы ортонормированы.

Смотрите также

Ссылки

^ Найкамп, Дуэйн. «Транспонирование матрицы». Math Insight . Получено 8 сентября 2020 г.
^ Артур Кейли (1858) «Мемуары по теории матриц», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17–37. Транспонирование (или «транспозиция») определено на странице 31.
^ TA Whitelaw (1 апреля 1991 г.). Введение в линейную алгебру, 2-е издание. CRC Press. ISBN 978-0-7514-0159-2.
^ "Транспонирование матричного произведения (ProofWiki)". ProofWiki . Получено 4 февраля 2021 г. .
^ "Какой символ лучше всего подходит для транспонирования вектора/матрицы?". Stack Exchange . Получено 4 февраля 2021 г. .
^ Weisstein, Eric W. "Transpose". mathworld.wolfram.com . Получено 08.09.2020 .
^ Гилберт Стрэнг (2006) Линейная алгебра и ее приложения 4-е издание, стр. 51, Thomson Brooks/Cole ISBN 0-03-010567-6
^ Шефер и Вольф 1999, стр. 128.
^ Халмош 1974, §44
^ Бурбаки 1989, II §2.5
^ Трев 2006, стр. 240.

Дальнейшее чтение

Бурбаки, Николя (1989) [1970]. Алгебра I, главы 1–3 [ Алгебра: главы 1–3 ] (PDF) . Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156.

Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Спрингер, ISBN 978-0-387-90093-3.
Марускин, Джаред М. (2012). Essential Linear Algebra. Сан-Хосе: Solar Crest. стр. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
Шефер, Хельмут Х.; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . Том 8 (Второе издание). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Шварц, Якоб Т. (2001). Введение в матрицы и векторы. Mineola: Dover. стр. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

Внешние ссылки

Гилберт Стрэнг (весна 2010 г.) Линейная алгебра из открытого учебного курса Массачусетского технологического института