Вежливый номер

Тип целого числа в теории чисел

Диаграмма Юнга , наглядно представляющая вежливое расширение 15 = 4 + 5 + 6

В теории чисел вежливое число — это положительное целое число , которое можно записать в виде суммы двух или более последовательных положительных целых чисел. Положительное целое число, которое не является вежливым, называется невежливым . ^{[1] [2]} Невежливые числа — это в точности степени двойки , а вежливые числа — это натуральные числа, которые не являются степенями двойки.

Вежливые числа также называются лестничными числами , потому что диаграммы Юнга , которые графически представляют разбиения вежливого числа на последовательные целые числа (во французской нотации рисования этих диаграмм), напоминают лестницы . ^{[3] [4] [5]} Если все числа в сумме строго больше единицы, то образованные таким образом числа также называются трапециевидными числами , потому что они представляют собой последовательности точек, расположенных в трапеции . [ ^{6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]}

Проблема представления чисел в виде сумм последовательных целых чисел и подсчета количества представлений этого типа изучалась Сильвестром , ^[13] Мейсоном, ^{[14] [15]} Левеком , ^[16] и многими другими более поздними авторами. ^{[1] [2] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23]} Вежливые числа описывают возможное количество сторон многоугольников Рейнхардта . ^[24]

Примеры и характеристики

Первые несколько вежливых чисел:

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A138591 в OEIS ).

Невежливые числа — это в точности степени двойки . ^{[13] Из} теоремы Ламбека–Мозера следует , что n -е вежливое число равно f ( n  + 1), где

${\displaystyle f(n)=n+\left\lfloor \log _{2}\left(n+\log _{2}n\right)\right\rfloor .}$

Вежливость

Вежливость положительного числа определяется как количество способов, которыми оно может быть выражено в виде суммы последовательных целых чисел. Для каждого x вежливость x равна количеству нечетных делителей x , которые больше единицы. ^[13] Вежливость чисел 1, 2, 3, ... равна

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... (последовательность A069283 в OEIS ).

Например, вежливость числа 9 равна 2, поскольку оно имеет два нечетных делителя, 3 и 9, и два вежливых представления

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

вежливость числа 15 равна 3, потому что у него есть три нечетных делителя, 3, 5 и 15, и (как известно игрокам в криббидж ) ^[25] три вежливых представления

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Простой способ вычисления вежливости положительного числа путем разложения числа на его простые множители , взятия степеней всех простых множителей, больших 2, прибавления 1 ко всем из них, умножения полученных таким образом чисел друг на друга и вычитания 1. Например, 90 имеет вежливость 5, потому что ; степени чисел 3 и 5 равны соответственно 2 и 1, и применения этого метода . ${\displaystyle 90=2\times 3^{2}\times 5^{1}}$ ${\displaystyle (2+1)\times (1+1)-1=5}$

Построение вежливых представлений из нечетных делителей

Чтобы увидеть связь между нечетными делителями и вежливыми представлениями, предположим, что число x имеет нечетный делитель y  > 1. Тогда y последовательных целых чисел, центрированных на x / y (так что их среднее значение равно x / y ), имеют x в качестве своей суммы:

${\displaystyle x=\sum _{i={\frac {x}{y}}-{\frac {y-1}{2}}}^{{\frac {x}{y}}+{\frac {y-1}{2}}}i.}$

Некоторые из членов в этой сумме могут быть нулевыми или отрицательными. Однако, если член равен нулю, его можно опустить, и любые отрицательные члены могут быть использованы для отмены положительных, что приводит к вежливому представлению для x . (Требование, что y  > 1, соответствует требованию, что вежливое представление имеет более одного члена; применение той же конструкции для y  = 1 приведет просто к тривиальному одночленному представлению x  =  x .) Например, вежливое число x  = 14 имеет один нетривиальный нечетный делитель, 7. Следовательно, это сумма 7 последовательных чисел с центром в 14/7 = 2:

14 = (2 – 3) + (2 – 2) + (2 – 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

Первый член, −1, отменяет последующий +1, а второй член, ноль, может быть опущен, что приводит к вежливому представлению

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

Наоборот, каждое вежливое представление x может быть сформировано из этой конструкции. Если представление имеет нечетное число членов, x / y является средним членом, в то время как если оно имеет четное число членов и его минимальное значение равно m, его можно расширить уникальным образом до более длинной последовательности с той же суммой и нечетным числом членов, включив 2 m  − 1 чисел −( m  − 1), −( m  − 2), ..., −1, 0, 1, ..., m  − 2, m  − 1. После этого расширения, снова, x / y является средним членом. С помощью этой конструкции вежливые представления числа и его нечетные делители, большие единицы, могут быть помещены во взаимно-однозначное соответствие , давая биективное доказательство характеристики вежливых чисел и вежливости. ^{[13] [26]} В более общем смысле, та же идея дает соответствие два к одному между, с одной стороны, представлениями в виде суммы последовательных целых чисел (допуская ноль, отрицательные числа и одночленные представления) и, с другой стороны, нечетными делителями (включая 1). ^[15]

Другое обобщение этого результата гласит, что для любого n число разбиений n на нечетные числа, имеющие k различных значений, равно числу разбиений n на различные числа, имеющие k максимальных серий последовательных чисел. ^{[13] [27] [28]} Здесь серия — это одно или несколько последовательных значений, таких что следующее большее и следующее меньшее последовательные значения не являются частью разбиения; например, разбиение 10 = 1 + 4 + 5 имеет две серии, 1 и 4 + 5. Вежливое представление имеет одну серию, а разбиение с одним значением d эквивалентно факторизации n как произведения d ⋅ ( n / d ), поэтому особый случай k  = 1 этого результата снова утверждает эквивалентность между вежливыми представлениями и нечетными множителями (включая в этом случае тривиальное представление n  =  n и тривиальный нечетный множитель 1).

Трапециевидные числа

Если вежливое представление начинается с 1, то представленное таким образом число является треугольным числом.

${\displaystyle T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=1+2+\cdots +n.}$

В противном случае это разность двух непоследовательных треугольных чисел.

${\displaystyle i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_{j}-T_{i-1}\quad (j>i\geq 2).}$

Этот второй случай называется трапециевидным числом. ^[12] Можно также рассмотреть вежливые числа, которые не являются трапециевидными. Единственными такими числами являются треугольные числа только с одним нетривиальным нечетным делителем, потому что для этих чисел, согласно описанной ранее биекции , нечетный делитель соответствует треугольному представлению и не может быть никаких других вежливых представлений. Таким образом, нетрапециевидное вежливое число должно иметь вид степени двойки, умноженной на нечетное простое число. Как замечают Джонс и Лорд, ^[12] существует ровно два типа треугольных чисел с такой формой:

1. четные совершенные числа 2 ^{n  − 1} (2 ⁿ  − 1), образованные произведением простого числа Мерсенна 2 ⁿ  − 1 на половину ближайшей степени двойки , и
2. произведения 2 ^{n  − 1} (2 ⁿ  + 1) простого числа Ферма 2 ⁿ  + 1 на половину ближайшей степени двойки.

(последовательность A068195 в OEIS ). Например, совершенное число 28 = 2 ^{3 − 1} (2 ³  − 1) и число 136 = 2 ^{4 − 1} (2 ⁴  + 1) являются этим типом вежливых чисел. Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна, и в этом случае существует также бесконечно много вежливых чисел этого типа.

Ссылки

1. Adams, Ken (март 1993), «Насколько вежлив x ?», The Mathematical Gazette , 77 (478): 79–80, doi :10.2307/3619263, JSTOR  3619263, S2CID  171530924.
2. Griggs, Terry S. (декабрь 1991 г.), «Невежливые числа», The Mathematical Gazette , 75 (474): 442–443, doi : 10.2307/3618630, JSTOR  3618630, S2CID  171681914.
3. Мейсон, Джон; Бертон, Леоне ; Стейси, Кей (1982), Думать математически , Эддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-10238-3.
4. Стейси, К .; Гроувс, С. (1985), Стратегии решения проблем , Мельбурн: Latitude.
5. Стейси, К .; Скотт, Н. (2000), «Ориентация на глубокую структуру при рассмотрении примеров: ключ к успешному решению проблем», в Карилло, Дж.; Контрерас, Л.К. (ред.), Resolucion de Issues en los Albores del Siglo XXI: Una Vision Internacional desde Multiples Perspectivas y Niveles Educativos (PDF) , Уэльва, Испания: Hergue, стр. 119–147, заархивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2008 г..
6. Геймер, Карлтон; Редер, Дэвид В.; Уоткинс, Джон Дж. (1985), «Трапециевидные числа», Mathematics Magazine , 58 (2): 108–110, doi :10.2307/2689901, JSTOR  2689901.
7. Жан, Шарль-Э. (март 1991 г.), "Les nombres Trapézoïdaux" (французский) , Bulletin de l'AMQ : 6–11..
8. Хаггард, Пол У.; Моралес, Келли Л. (1993), «Обнаружение взаимосвязей и закономерностей путем исследования трапециевидных чисел», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 24 (1): 85–90, doi :10.1080/0020739930240111.
9. Файнберг-МакБрайан, Кэрол (1996), «Случай трапециевидных чисел», Учитель математики , 89 (1): 16–24, doi :10.5951/MT.89.1.0016.
10. Смит, Джим (1997), «Трапециевидные числа», Математика в школе , 5 : 42.
11. Верхофф, Т. (1999), "Прямоугольные и трапециевидные расположения", Журнал целочисленных последовательностей , 2 : 16, Bibcode : 1999JIntS...2...16V, Статья 99.1.6.
12. Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999), «Характеристика нетрапециевидных чисел», The Mathematical Gazette , 83 (497): 262–263, doi :10.2307/3619053, JSTOR  3619053, S2CID  125545112.
13. Сильвестр, Дж. Дж .; Франклин, Ф. (1882), «Конструктивная теория разделов, организованная в три акта, интеракт и эксодион», American Journal of Mathematics , 5 (1): 251–330, doi :10.2307/2369545, JSTOR  2369545. В «Собрании математических работ Джеймса Джозефа Сильвестра» (декабрь 1904 г.), под ред. Х. Ф. Бейкера, Сильвестр определяет класс разбиения на различные целые числа как число блоков последовательных целых чисел в разбиении, поэтому в его обозначениях вежливое разбиение имеет первый класс.
14. Мейсон, TE (1911), «О представлении числа в виде суммы последовательных целых чисел», Труды Академии наук Индианы : 273–274.
15. Мейсон, Томас Э. (1912), «О представлении целого числа в виде суммы последовательных целых чисел», American Mathematical Monthly , 19 (3): 46–50, doi :10.2307/2972423, JSTOR  2972423, MR  1517654.
16. Leveque, WJ (1950), «О представлениях в виде суммы последовательных целых чисел», Canadian Journal of Mathematics , 2 : 399–405, doi : 10.4153/CJM-1950-036-3 , MR  0038368, S2CID  124093945,
17. Понг, Вай Янь (2007), «Суммы последовательных целых чисел», College Math. J. , 38 (2): 119–123, arXiv : math/0701149 , Bibcode : 2007math......1149P, doi : 10.1080/07468342.2007.11922226, MR  2293915, S2CID  14169613.
18. Бритт, Майкл Дж. К.; Фрадин, Лилли; Филипс, Кэти; Фельдман, Дима; Купер, Леон Н. (2005), «О суммах последовательных целых чисел», Quart. Appl. Math. , 63 (4): 791–792, doi : 10.1090/S0033-569X-05-00991-1 , MR  2187932.
19. Frenzen, CL (1997), "Доказательство без слов: суммы последовательных положительных целых чисел", Math. Mag. , 70 (4): 294, doi :10.1080/0025570X.1997.11996560, JSTOR  2690871, MR  1573264.
20. Гай, Роберт (1982), «Суммы последовательных целых чисел» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 20 (1): 36–38, doi :10.1080/00150517.1982.12430026, Zbl  0475.10014.
21. Апостол, Том М. (2003), «Суммы последовательных положительных целых чисел», The Mathematical Gazette , 87 (508): 98–101, doi :10.1017/S002555720017216X, JSTOR  3620570, S2CID  125202845.
22. Prielipp, Robert W.; Kuenzi, Norbert J. (1975), «Суммы последовательных положительных целых чисел», Mathematics Teacher , 68 (1): 18–21, doi :10.5951/MT.68.1.0018.
23. Паркер, Джон (1998), «Суммы последовательных целых чисел», Математика в школе , 27 (2): 8–11.
24. Mossinghoff, Michael J. (2011), «Перечисление изодиаметрических и изопериметрических многоугольников», Журнал комбинаторной теории , Серия A, 118 (6): 1801–1815, doi : 10.1016/j.jcta.2011.03.004 , MR  2793611
25. Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1988), «Проблема 2.30», Конкретная математика , Addison-Wesley, стр. 65, ISBN 978-0-201-14236-5.
26. Vaderlind, Paul; Guy, Richard K.; Larson, Loren C. (2002), Пытливый решатель проблем , Математическая ассоциация Америки, стр. 205–206, ISBN 978-0-88385-806-6.
27. Эндрюс, GE (1966), «Об обобщениях теоремы Эйлера о разбиении», Michigan Mathematical Journal , 13 (4): 491–498, doi : 10.1307/mmj/1028999609 , MR  0202617.
28. Рамамани, В.; Венкатачалиенгар, К. (1972), «О теореме Сильвестра о разбиении», The Michigan Mathematical Journal , 19 (2): 137–140, doi : 10.1307/mmj/1029000844 , MR  0304323.

Внешние ссылки

• Вежливые числа, NRICH, Кембриджский университет, декабрь 2002 г.
• Представляем Рансамса, Р. Нотта.
• Есть ли какая-то закономерность в наборе трапециевидных чисел? Вопрос дня Intellectualism.org, 2 октября 2003 г. С диаграммой, показывающей трапециевидные числа, закодированные цветом в зависимости от количества членов в их разложениях.