В геометрии n - угольный трапецоэдр , n -трапецоэдр , n -антидипирамида , n -антибипирамида или n -дельтоэдр — это двойственный многогранник n - угольной антипризмы . 2 n граней n -трапецоэдра конгруэнтны и расположены симметрично в шахматном порядке ; их называют скрученными воздушными змеями. При более высокой симметрии его 2 n граней представляют собой воздушные змеи (также называемые дельтоидами ). [3]
« n -угольная » часть имени здесь относится не к граням, а к двум расположениям каждых n вершин вокруг оси n -кратной симметрии. Двойная n -угольная антипризма имеет две действительные n -угольные грани.
n - угольный трапецоэдр можно разрезать на две равные n -угольные пирамиды и n -угольную антипризму .
Эти фигуры, иногда называемые дельта - эдрами, не следует путать с дельта - эдрами , грани которых представляют собой равносторонние треугольники.
Скрученные тригональные , тетрагональные и шестиугольные трапецоэдры (с шестью, восемью и двенадцатью скрученными конгруэнтными гранями) существуют в виде кристаллов; в кристаллографии ( описывающей кристаллические особенности минералов ) их называют просто тригональными , тетрагональными и шестиугольными трапецоэдрами . У них нет ни плоскости симметрии, ни центра инверсионной симметрии; [4] , [5] , но у них есть центр симметрии : точка пересечения их осей симметрии. Тригональный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 3-го порядка, перпендикулярную трем осям симметрии 2-го порядка. [4] Тетрагональный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 4-го порядка, перпендикулярную четырем осям симметрии 2-го порядка двух видов. Шестиугольный трапецоэдр имеет одну ось симметрии 6-го порядка, перпендикулярную шести осям симметрии 2-го порядка двух видов. [6]
Кристаллические расположения атомов могут повторяться в пространстве с ячейками тригональной и шестиугольной трапеции. [7]
Также в кристаллографии слово « трапецоэдр» часто используется для обозначения многогранника с 24 конгруэнтными нескрученными гранями змея, известного как дельтоидный икоситетраэдр , [8] который имеет восемнадцать вершин четвертого порядка и восемь вершин третьего порядка. Его не следует путать с додекагональным трапецоэдром , который также имеет 24 конгруэнтных грани, но две вершины порядка 12 (то есть полюса) и два кольца по двенадцать вершин порядка 3 каждое.
Еще в кристаллографии дельтоидный додекаэдр [9] имеет 12 конгруэнтных нескрученных граней змеи, шесть вершин четвертого порядка и восемь вершин третьего порядка ( ромбический додекаэдр является частным случаем). Его не следует путать с шестиугольным трапецоэдром , который также имеет 12 конгруэнтных граней змея, [6] но две вершины порядка 6 (т.е. полюса) и два кольца по шесть вершин порядка 3 каждое.
n -трапецоэдр определяется правильным зигзагообразным косым 2 n -угольным основанием, двумя симметричными вершинами без степени свободы прямо над и прямо под основанием, а также четырехугольными гранями, соединяющими каждую пару соседних базальных ребер с одной вершиной.
n - трапецоэдр имеет на полярной оси две вершинные вершины и 2 n базальных вершин в двух правильных n -угольных кольцах. Он имеет 2 n конгруэнтных граней змея и является изоэдральным .
Особые случаи:
Группа симметрии n -угольного трапецоэдра равна D n d = D n v порядка 4 n , за исключением случая n = 3 : куб имеет большую группу симметрии O d порядка 48 = 4×(4× 3) , который имеет четыре версии D 3d в качестве подгрупп.
Группа вращения n -трапецоэдра равна D n порядка 2 n , за исключением случая n = 3 : куб имеет большую группу вращения O порядка 24 = 4× ( 2×3) , которая имеет четыре версии. группы D3 как подгруппы.
Примечание. Каждый n -трапецоэдр с правильным зигзагообразным скошенным основанием из 2 n -угольников и 2 n конгруэнтными нескрученными гранями змея имеет ту же (диэдральную) группу симметрии, что и двойственно-однородный n -трапецоэдр, для n ≥ 4 .
Одна степень свободы в пределах симметрии от D n d (порядок 4 n ) до D n (порядок 2 n ) превращает конгруэнтные змеи в конгруэнтные четырехугольники с тремя длинами ребер, называемые скрученными кайтами , а n -трапецоэдр называется скрученным трапецоэдром . (В пределе одно ребро каждого четырёхугольника достигает нулевой длины, и n -трапецоэдр становится n - бипирамидой .)
Если змеи, окружающие две вершины, не скручены, а имеют две разные формы, n -трапецоэдр может иметь только симметрию C n v (циклическая с вертикальными зеркалами), порядка 2 n , и называется неравным или асимметричным трапецоэдром . Ее двойник представляет собой неравную n- антипризму с верхним и нижним n -угольниками разных радиусов.
Если змеи скручены и имеют две разные формы, n -трапецоэдр может иметь только Cn ( циклическую) симметрию, порядок n , и называется неравным скрученным трапецоэдром .
Звездчатый p / q -трапецоэдр (где 2 ≤ q < 1 p ) определяется правильной зигзагообразной косой звездой с 2 p / q -угольным основанием, двумя симметричными вершинами без степени свободы прямо над и прямо под основанием, и четырехсторонние грани, соединяющие каждую пару соседних базальных ребер с одной вершиной.
Звездчатый p / q -трапецоэдр имеет на полярной оси две вершины и 2 базальных вершины в двух правильных p - угольных кольцах. У него 2 p конгруэнтных граней змея , и он изоэдральный .
Такой звездчатый p / q -трапецоэдр представляет собой самопересекающуюся , скрещенную или невыпуклую форму. Он существует для любой правильной зигзагообразной косой звезды с основанием 2 p / q -угольника (где 2 ≤ q < 1 p ).
Но еслип/д<3/2, тогда ( п - q )360°/п<д/2360°/п, поэтому двойная звездная антипризма (звездного трапецоэдра) не может быть однородной (т.е. не может иметь равные длины ребер); и еслип/д"="3/2, тогда ( п - q )360°/п"="д/2360°/п, поэтому двойная звездная антипризма должна быть плоской, а значит, вырожденной, чтобы быть однородной.
Двойственно -однородный звездчатый p / q -трапецоэдр имеет диаграмму Кокстера-Дынкина. 
.
