Треугольная волна

5 секунд треугольной волны с частотой 220 Гц

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. справку для СМИ .

Образец звука аддитивной треугольной волны

Каждую секунду к синусоидальной волне добавляется гармоника, образующая треугольную волну частотой 220 Гц.

Проблемы с воспроизведением этого файла? См. справку для СМИ .

Треугольная волна или треугольная волна — это несинусоидальный сигнал, названный в честь его треугольной формы. Это периодическая , кусочно-линейная , непрерывная действительная функция .

Подобно прямоугольной волне , треугольная волна содержит только нечетные гармоники . Однако высшие гармоники затухают гораздо быстрее, чем в прямоугольной волне (пропорционально обратному квадрату номера гармоники, а не просто обратному).

Определения

Синусоидальная , прямоугольная , треугольная и пилообразная формы сигналов .

Определение

Треугольная волна периода p , охватывающая диапазон [0,1], определяется как:

x(t)=2\left|{\frac {t}{p}}-\left\lfloor {\frac {t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right \rэтаж \справа|

функция пилообразной волны

\lfloor \,\ \rfloor

Для треугольной волны, охватывающей диапазон $[-1,1],$ выражение принимает вид:

x(t)=2\left|2\left({\frac {t}{p}}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right )\вправо|-1.

Более общее уравнение для треугольной волны с амплитудой и периодом , использующее операцию по модулю и абсолютное значение : $а$ ${\ displaystyle p}$

y(x)={\frac {4a}{p}}\left|\left(\left(x- {\frac {p}{4}}\right){\bmod {p}}\ вправо)-{\frac {p}{2}}\right|-a.

Например, для треугольной волны с амплитудой 5 и периодом 4:

y(x)=5\left|{\bigl (}(x-1){\bmod {4}}{\bigr)}-2\right|-5.

Фазовый сдвиг можно получить, изменяя значение термина , а вертикальное смещение можно регулировать, изменяя значение термина . $-p/4$ $-a$

Поскольку здесь используется только операция по модулю и абсолютное значение, его можно использовать для простой реализации треугольной волны в аппаратной электронике.

Обратите внимание, что во многих языках программирования %оператор представляет собой оператор остатка (с результатом того же знака, что и делимое), а не оператор по модулю ; операцию по модулю можно получить, используя ((x % p) + p) % pвместо x % p. Например, в JavaScript это приводит к уравнению вида 4*a/p * Math.abs((((x-p/4)%p)+p)%p - p/2) - a.

Отношение к прямоугольной волне

Треугольную волну также можно выразить как интеграл прямоугольной волны :

x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn} \left(\sin {\frac {u}{p}}\right)\,du.

Выражение в тригонометрических функциях

Треугольную волну с периодом p и амплитудой a можно выразить через синус и арксинус (значения которых варьируются от − π /2 до π /2):

y(x)={\frac {2a}{\pi }}\arcsin \left(\sin \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right).

косинус арккосинус

{\textstyle \cos {x}=\sin \left({\frac {p}{4}}-x\right)}

y(x)=a-{\frac {2a}{\pi }}\arccos \left(\cos \left({\frac {2\pi }{p}}x\right)\right) .

Выражается как знакопеременные линейные функции

Другое определение треугольной волны с диапазоном от −1 до 1 и периодом p :

x(t)={\frac {4}{p}}\left(t- {\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\ frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }

Гармоники

Треугольную волну можно аппроксимировать аддитивным синтезом , суммируя нечетные гармоники основной гармоники, умножая каждую вторую нечетную гармонику на -1 (или, что то же самое, изменяя ее фазу на $π$ ) и умножая амплитуду гармоник на единицу по квадрату. их номера моды $n$ (что эквивалентно единице в квадрате их относительной частоты к основной частоте ).

Математически все вышесказанное можно обобщить следующим образом:

{\begin{aligned}x_{\mathrm {triangle} }(t)&{}={\frac {8}{\pi ^{2}}}\sum _{i=0}^{N -1}(-1)^{i}n^{-2}\sin \left(2\pi f_{0}nt\right)\end{aligned}}

N

t

i

f_{0}

n=2i+1

Этот бесконечный ряд Фурье быстро сходится к треугольной волне, поскольку $N$ стремится к бесконечности, как показано на анимации.

Длина дуги

Длина дуги на период треугольной волны, обозначаемая s , определяется через амплитуду a и длину периода p следующим образом :

s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.