Усеченный конус

Часть тела, которая находится между двумя параллельными плоскостями, пересекающими тело

В геометрии , усеченная пирамида ( лат. 'кусок'); ^[a] ( мн. ч .: frusta или frustums ) — часть тела ( обычно пирамиды или конуса ), которая лежит между двумя параллельными плоскостями, пересекающими тело. В случае пирамиды основания являются многоугольными , а боковые грани — трапециевидными . Прямоугольная усеченная пирамида — это правильная пирамида или прямой конус, усеченный перпендикулярно своей оси; ^[3] в противном случае это косой усеченный конус . В усеченном конусе или усеченной пирамиде плоскость усечения не обязательно параллельна основанию конуса, как в усеченной пирамиде. Если все ее ребра принудительно становятся одинаковой длины, то усеченная пирамида становится призмой ( возможно, косой или/и с неправильными основаниями).

Элементы, особые случаи и связанные с ними концепции

Квадратный усеченный конус

Правильный октаэдр можно дополнить тремя гранями, чтобы получить треугольный усеченный треугольник.

Ось усеченного конуса — это ось исходного конуса или пирамиды. Усеченный конус является круглым, если у него круглые основания; он является прямым, если ось перпендикулярна обоим основаниям, и наклонным в противном случае.

Высота усеченного конуса — это перпендикулярное расстояние между плоскостями двух оснований.

Конусы и пирамиды можно рассматривать как вырожденные случаи усеченных пирамид, где одна из секущих плоскостей проходит через вершину ( так что соответствующее основание сводится к точке). Усеченные пирамиды являются подклассом призматоидов .

Два усеченных конуса с двумя совпадающими основаниями, соединенные в этих совпадающих основаниях, образуют раздвоенный конус .

Формулы

Объем

Формула для вычисления объема усеченной квадратной пирамиды была введена древнеегипетскими математиками в так называемом Московском математическом папирусе , написанном во времена 13-й династии ( ок.  1850 г. до н. э. ):

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

где a и b — длины основания и верхней стороны, а h — высота.

Египтяне знали правильную формулу для вычисления объема такой усеченной квадратной пирамиды, но никаких доказательств этого уравнения в Московском папирусе не приводится.

Объем усеченного конуса или пирамиды равен объему тела до отрезания его «вершины» за вычетом объема этой «вершины» :

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

где B ₁ и B ₂ — площади основания и вершины, а h ₁ и h ₂ — перпендикулярные высоты от вершины до плоскостей основания и вершины.

Учитывая, что

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

формула для объема может быть выражена как треть произведения этой пропорциональности, и только разности кубов высот h ₁ и h ₂ : ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

Используя тождество a ³ − b ³ = ( a − b )( a ² + ab + b ² ) , получаем:

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

где h ₁ − h ₂ = h — высота усеченного конуса.

Распределяя и подставляя из определения, получаем среднее значение Герона площадей B ₁ и B _{2 :} ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

Поэтому альтернативная формула выглядит так:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

Герон Александрийский известен тем, что вывел эту формулу, а вместе с ней и столкнулся с мнимой единицей : квадратным корнем из отрицательной единицы. ^[4]

В частности:

• Объем усеченного кругового конуса равен:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

где r ₁ и r ₂ — радиусы основания и вершины .

• Объем усеченной пирамиды, основания которой представляют собой правильные n -угольники, равен:

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

где a ₁ и a ₂ — длины основания и верхней стороны.

Пирамидальная усеченная пирамида

Площадь поверхности

Конический усеченный

3D-модель усеченного конуса.

Для прямого кругового усеченного конуса ^{[5] [6]} наклонная высота равна ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \displaystyle s={\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}},}$

площадь боковой поверхности равна

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s,}$

и общая площадь поверхности составляет

${\displaystyle \displaystyle \pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right),}$

где r ₁ и r ₂ — радиусы основания и вершины соответственно.

Примеры

Шоколад марки Rolo имеет форму правильного круглого усеченного конуса, хотя и не плоского сверху.

• На оборотной стороне (реверсе) однодолларовой купюры США изображена усеченная пирамида, как на обороте Большой печати Соединенных Штатов , увенчанная Всевидящим оком .
• Зиккураты , ступенчатые пирамиды и некоторые древние курганы коренных американцев также образуют усеченную форму одной или нескольких пирамид с дополнительными элементами, такими как лестницы.
• Китайские пирамиды .
• Центр Джона Хэнкока в Чикаго , штат Иллинойс, представляет собой усеченную пирамиду, основания которой представляют собой прямоугольники.
• Монумент Вашингтона представляет собой узкую усеченную пирамиду с квадратным основанием, увенчанную небольшой пирамидой.
• Усеченная пирамида в трехмерной компьютерной графике — это виртуальное поле зрения фотографической или видеокамеры, смоделированное в виде усеченной пирамиды.
• В английском переводе сборника рассказов Станислава Лема «Кибериада » в стихотворении « Любовь и тензорная алгебра» утверждается, что «всякий усеченный конус стремится стать конусом».
• Ведра и типичные абажуры являются повседневными примерами усеченных конусов.
• Примерами могут служить также стаканы для питья и некоторые космические капсулы .

• 

  Гарсу Гаудикле, Неринга, Литва

  Деревянное строение или статуя Гарсу Гаудикле в Литве.
• сыр Валансе
• Конфеты Роло

Смотрите также

• Сферический усеченный конус

Примечания

1. Термин frustum происходит от латинского frustum , что означает «кусок» или «мелочь». Английское слово часто неправильно пишут как frustrum , другое латинское слово, родственное английскому слову «frustrate». ^[1] Путаница между этими двумя словами очень стара: предупреждение о них можно найти в Приложении Probi , а в трудах Плавта есть каламбур на эту тему. ^[2]

Ссылки

1. Кларк, Джон Спенсер (1895). Руководство для учителей: Книги I–VIII. Полный курс Пранга по изучению форм и рисованию, Книги 7–8. Prang Educational Company. стр. 49.
2. Фонтейн, Майкл (2010). Смешные слова в комедии Плаутина. Oxford University Press . С. 117, 154. ISBN 9780195341447.
3. Керн, Уильям Ф.; Блэнд, Джеймс Р. (1938). Твердое измерение с доказательствами . стр. 67.
4. Нахин, Пол. Воображаемая история: история √ −1 . Princeton University Press. 1998
5. "Mathwords.com: Frustum" . Получено 17 июля 2011 г. .
6. Аль-Саммарраи, Ахмед Т.; Вафаи, Камбиз (2017). «Усиление теплопередачи за счет углов сходимости в трубе». Численная теплопередача, часть A: приложения . 72 (3): 197−214. Bibcode : 2017NHTA...72..197A. doi : 10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID  125509773.

Внешние ссылки

• Вывод формулы для объема усеченной пирамиды и конуса (Mathalino.com)
• Вайсштейн, Эрик В. "Усеченная пирамида". MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Конический усеченный конус". MathWorld .
• Бумажные модели усеченных пирамид
• Бумажная модель усеченного конуса.
• Конструкторская бумага для моделирования усеченных конусов.