Треугольный купол

Купол с шестиугольным основанием

В геометрии треугольный купол — это купол с шестиугольником в основании и треугольником наверху. Если ребра равны по длине, треугольный купол — это тело Джонсона. Его можно рассматривать как половину кубооктаэдра . Треугольный купол можно применять для построения множества многогранников.

Характеристики

Треугольный купол имеет 4 треугольника , 3 квадрата и 1 шестиугольник в качестве своих граней; шестиугольник является основанием, а один из четырех треугольников - вершиной. Если все ребра равны по длине, треугольники и шестиугольник становятся правильными . ^{[1] [2]} Двугранный угол между каждым треугольником и шестиугольником составляет приблизительно 70,5°, между каждым квадратом и шестиугольником - 54,7°, а между квадратом и треугольником - 125,3°. ^[3] Выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными, является телом Джонсона , и треугольный купол входит в их число, перечисляемое как третье тело Джонсона . ^[2] ${\displaystyle J_{3}}$

Учитывая, что это длина ребра треугольного купола. Его площадь поверхности может быть вычислена путем сложения площади четырех равносторонних треугольников, трех квадратов и одного шестиугольника: ^[1] Его высота и объем : ^{[4] [1]} ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A=\left(3+{\frac {5{\sqrt {3}}}{2}}\right)a^{2}\approx 7.33a^{2}.}$$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {\sqrt {6}}{3}}a\approx 0.82a,\\V&=\left({\frac {5}{3{\sqrt {2}}}}\right)a^{3}\approx 1.18a^{3}.\end{aligned}}}$$

3D модель треугольного купола

Он имеет ось симметрии, проходящую через центр его вершины и основания, которая симметрична при вращении вокруг нее на одну и две трети угла полного оборота. Он также зеркально симметричен относительно любой перпендикулярной плоскости, проходящей через биссектрису шестиугольного основания. Поэтому он имеет пирамидальную симметрию , циклическую группу порядка 6. ^[3] ${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$

Связанные многогранники

Треугольный купол можно найти в конструкции многих многогранников. Примером является кубооктаэдр, в котором треугольный купол можно рассматривать как его полусферу. ^[5] Конструкция, которая включает присоединение его основания к другому многограннику, известна как аугментация ; присоединение его к призмам или антипризмам известно как удлинение или гироудлинение . ^{[6] [7]} Некоторые из других тел Джонсона, построенных таким образом, это удлиненный треугольный купол , гироудлиненный треугольный купол , треугольный ортобикупол , удлиненный треугольный ортобикупол , удлиненный треугольный гиробикупол , гироудлиненный треугольный бикупол , увеличенный усеченный тетраэдр . ^[8] ${\displaystyle J_{18}}$ ${\displaystyle J_{22}}$ ${\displaystyle J_{27}}$ ${\displaystyle J_{35}}$ ${\displaystyle J_{36}}$ ${\displaystyle J_{44}}$ ${\displaystyle J_{65}}$

Треугольный купол также может быть применен при построении усеченного тетраэдра , хотя он оставляет некоторые полости и правильный тетраэдр в качестве его внутренней части. Канди (1956) построил такой многогранник таким же образом, как и ромбический додекаэдр, построенный путем присоединения шести квадратных пирамид наружу, каждая из которых вершинами находится в центре куба . При этом такой усеченный тетраэдр строится путем присоединения четырех треугольных куполов прямоугольник за прямоугольником; те купола, в которых чередующиеся стороны как прямоугольного равнобедренного треугольника, так и прямоугольника имеют ребра в отношении . Усеченный октаэдр может быть построен путем присоединения восьми тех же самых треугольных куполов треугольник за треугольником. ^[9] ${\textstyle 1:{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$

Ссылки

1. Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8. MR  0290245.
2. Uehara, Ryuhei (2020). Введение в вычислительное оригами: мир новой вычислительной геометрии. Springer. стр. 62. doi :10.1007/978-981-15-4470-5. ISBN 978-981-15-4470-5. S2CID  220150682.
3. Johnson, Norman W. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Canadian Journal of Mathematics . 18 : 169–200. doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 . MR  0185507. S2CID  122006114. Zbl  0132.14603.
4. Сапинья, Р. «Площадь и объем тела Джонсона J 3 {\displaystyle J_{3}}». Проблемы и Ecuaciones (на испанском языке). ISSN  2659-9899 . Проверено 8 сентября 2020 г.
5. Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Cambridge University Press . стр. 86. ISBN 978-0-521-55432-9.
6. Демей, Лоренц; Смессарт, Ганс (2017). «Логическое и геометрическое расстояние в многогранных аристотелевских диаграммах в представлении знаний». Симметрия . 9 (10): 204. Bibcode : 2017Symm....9..204D. doi : 10.3390/sym9100204 .
7. Слободан, Мишич; Обрадович, Мария; Джуканович, Гордана (2015). «Композитные вогнутые купола как геометрические и архитектурные формы» (PDF) . Журнал геометрии и графики . 19 (1): 79–91.
8. Раджваде, AR (2001). Выпуклые многогранники с условиями регулярности и третья проблема Гильберта. Тексты и чтения по математике. Hindustan Book Agency. стр. 84–89. doi :10.1007/978-93-86279-06-4. ISBN 978-93-86279-06-4.
9. Канди, Х. Мартин (1956). «2642. Унитарное построение некоторых многогранников». The Mathematical Gazette . 40 (234): 280–282. doi :10.2307/3609622. JSTOR  3609622.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Треугольный купол» («Тело Джонсона») на MathWorld .