В геодезии триангуляция — это процесс определения местоположения точки путем измерения только углов к ней от известных точек на обоих концах фиксированной базовой линии с использованием тригонометрии , а не путем измерения расстояний до точки напрямую, как при трилатерации . Затем точка может быть зафиксирована как третья точка треугольника с одной известной стороной и двумя известными углами.
Триангуляция также может относиться к точной съемке систем очень больших треугольников, называемых сетями триангуляции . Это вытекало из работы Виллеброрда Снелла в 1615–17 годах, который показал, как точка может быть определена по углам, образованным из трех известных точек, но измеренным в новой неизвестной точке, а не в ранее зафиксированных точках, проблема, называемая повторной секцией . Ошибка съемки сводится к минимуму, если сначала устанавливается сетка треугольников в наибольшем подходящем масштабе. Затем все точки внутри треугольников могут быть точно определены относительно нее. Такие методы триангуляции использовались для точной крупномасштабной съемки земли до появления глобальных навигационных спутниковых систем в 1980-х годах.
Триангуляцию можно использовать для определения положения корабля, когда известны положения точек A и B. Наблюдатель в точке A измеряет угол α , а наблюдатель в точке B измеряет β .
Положение любой вершины треугольника можно вычислить, если известно положение одной стороны и двух углов. Следующие формулы строго верны только для плоской поверхности. Если необходимо учесть кривизну Земли, то следует использовать сферическую тригонометрию .
Если расстояние между A и B равно:
Используя тригонометрические тождества tan α = sin α / cos α и sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, это эквивалентно:
поэтому:
Отсюда легко определить расстояние неизвестной точки от любой точки наблюдения, ее смещения по направлениям север/юг и восток/запад от точки наблюдения и, наконец, ее полные координаты.
Сегодня триангуляция используется для многих целей, включая геодезию , навигацию , метрологию , астрометрию , бинокулярное зрение , ракетное моделирование и наведение оружия .
В полевых условиях методы триангуляции, по-видимому, не использовались римскими специалистами-землемерами, агрименсорами ; но были введены в средневековую Испанию через арабские трактаты об астролябии , такие как трактат Ибн аль-Саффара (ум. 1035). [1] Абу Райхан Бируни (ум. 1048) также ввел методы триангуляции для измерения размеров Земли и расстояний между различными местами. [2] Упрощенные римские методы тогда, по-видимому, сосуществовали с более сложными методами, используемыми профессиональными геодезистами. Но такие методы редко переводились на латынь (руководство по геометрии, Geomatria incerti auctoris одиннадцатого века , является редким исключением), и такие методы, по-видимому, очень медленно проникали в остальную Европу. [1] Возросшая осведомленность и использование таких методов в Испании может быть засвидетельствована средневековым посохом Иакова , который использовался специально для измерения углов, который датируется примерно 1300 годом; и появление точно обозначенных береговых линий на картах-портуланах , самая ранняя из которых, сохранившаяся, датируется 1296 годом.
На суше картограф Джемма Фризиус предложил использовать триангуляцию для точного позиционирования отдаленных мест для картографирования в своей брошюре 1533 года Libellus de Locorum describendorum ratione ( Брошюра о способе описания мест ), которую он вставил в качестве приложения в новое издание бестселлера Питера Апиана 1524 года Cosmographica . Это стало очень влиятельным, и метод распространился по Германии, Австрии и Нидерландам. Астроном Тихо Браге применил этот метод в Скандинавии, выполнив в 1579 году подробную триангуляцию острова Хвен , где располагалась его обсерватория, с привязкой к ключевым ориентирам по обе стороны Эресунна , а в 1584 году составив план поместья острова. [3] В Англии метод Фризиуса был включен в растущее число книг по геодезии, которые появлялись с середины века и далее, включая «Космографическое стекло » Уильяма Канингема (1559), «Трактат об измерении всех видов земель» Валентина Ли (1562), «Правила навигации » Уильяма Борна (1571), « Геометрическое упражнение под названием «Пантометрия»» Томаса Диггеса (1571) и «Диалог землемера» Джона Нордена ( 1607). Было высказано предположение, что Кристофер Сакстон мог использовать грубую триангуляцию для размещения объектов на своих картах графств 1570-х годов; но другие полагают, что, получив приблизительные координаты объектов с ключевых точек обзора, он мог оценить расстояния до них просто путем догадок. [4]
Современное систематическое использование сетей триангуляции берет начало в работе голландского математика Виллеброрда Снеллиуса , который в 1615 году измерил расстояние от Алкмара до Бреды , приблизительно 72 мили (116 километров), используя цепочку четырехугольников, содержащую всего 33 треугольника. Снелл недооценил расстояние на 3,5%. Два города были разделены одним градусом на меридиане , поэтому из своих измерений он смог вычислить значение окружности Земли — подвиг, отмеченный в названии его книги Eratosthenes Batavus ( Голландский Эратосфен ), опубликованной в 1617 году. Снелл вычислил, как можно скорректировать плоские формулы, чтобы учесть кривизну Земли. Он также показал, как выполнить резекцию , или вычислить положение точки внутри треугольника, используя углы, отбрасываемые между вершинами в неизвестной точке. Их можно было измерить гораздо точнее, чем пеленги вершин, которые зависели от компаса. Это установило ключевую идею обследования сначала крупномасштабной первичной сети контрольных точек, а затем определения местоположения вторичных вспомогательных точек позже, внутри этой первичной сети.
Методы Снеллиуса были приняты Жаном Пикаром , который в 1669–1670 годах исследовал один градус широты вдоль Парижского меридиана, используя цепь из тринадцати треугольников, простирающуюся на север от Парижа до часовой башни Сурдон , недалеко от Амьена . Благодаря усовершенствованиям инструментов и точности, Пикара оценивают как первое достаточно точное измерение радиуса Земли. В течение следующего столетия эта работа была расширена, в частности, семьей Кассини: между 1683 и 1718 годами Жан-Доминик Кассини и его сын Жак Кассини исследовали весь Парижский меридиан от Дюнкерка до Перпиньяна ; а между 1733 и 1740 годами Жак и его сын Сезар Кассини провели первую триангуляцию всей страны, включая повторную съемку дуги меридиана , что привело к публикации в 1745 году первой карты Франции, составленной на основе строгих принципов.
Методы триангуляции к тому времени были хорошо известны для локального картографирования, но только к концу XVIII века другие страны начали создавать подробные сетевые обследования триангуляции для картирования целых стран. Основная триангуляция Великобритании была начата Ordnance Survey в 1783 году, хотя и не была завершена до 1853 года; а Большая тригонометрическая съемка Индии, которая в конечном итоге назвала и нанесла на карту гору Эверест и другие гималайские вершины, была начата в 1801 году. Для наполеоновского французского государства французская триангуляция была расширена Жаном-Жозефом Траншо на немецкую Рейнскую область с 1801 года, впоследствии завершена после 1815 года прусским генералом Карлом фон Мюффлингом . Между тем, математику Карлу Фридриху Гауссу было поручено с 1821 по 1825 год триангуляция королевства Ганновер (гауссовская топографическая съемка ), в ходе которой он применил метод наименьших квадратов для нахождения наилучшего решения для задач больших систем одновременных уравнений, учитывая, что реальных измерений больше, чем неизвестных.
Сегодня крупномасштабные триангуляционные сети для позиционирования в значительной степени вытеснены глобальными навигационными спутниковыми системами, созданными с 1980-х годов, но многие контрольные точки для более ранних съемок все еще сохраняются как ценные исторические особенности ландшафта, такие как бетонные триангуляционные столбы, установленные для повторной триангуляции Великобритании (1936–1962), или триангуляционные точки, установленные для Геодезической дуги Струве (1816–1855), в настоящее время включенные в список Всемирного наследия ЮНЕСКО .
