Тригамма-функция

Цветное представление тригамма-функции $ψ 1 (z)$ в прямоугольной области комплексной плоскости. Он генерируется с использованием метода окраски домена .

В математике тригамма -функция , обозначаемая $ψ1 (z)$ или $ψ (1)$ $($ $z$ $)$ $,$ является второй из полигамма-функций и определяется формулой

\psi _{1}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)

Из этого определения следует, что

\psi _{1}(z)={\frac {d}{dz}}\psi (z)

где $ψ (z)$ — дигамма-функция . Его также можно определить как сумму ряда

\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},

что делает это частным случаем дзета-функции Гурвица

\psi _{1}(z)=\zeta (2,z).

Обратите внимание, что последние две формулы действительны, когда $1- z$ не является натуральным числом .

Расчет

Представление двойного интеграла , как альтернатива приведенным выше, может быть получено из представления ряда:

\psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{x}{\frac {x^{z-1}}{ y(1-x)}}\,dy\,dx

используя формулу суммы геометрической прогрессии . Интегрирование по $y$ дает:

\psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,dx

Асимптотическое разложение в ряд Лорана имеет вид

\psi _{1}(z)={\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\ infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}}{z^{k+ 1}}}

если мы выбрали $B 1 =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2$ , т.е. числа Бернулли второго рода.

Формулы рекуррентности и отражения

Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

\psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}

и формула отражения

\psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}\pi z}}\,

что сразу дает значение для z =1/2: . $\psi _{1}({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {\pi ^{2}}{2}}$

Особые значения

При положительных полуцелых значениях мы имеем это

\psi _{1}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4\sum _{k= 1}^{n}{\frac {1}{(2k-1)^{2}}}.

Кроме того, тригамма-функция имеет следующие специальные значения:

{\begin{aligned}\psi _{1}\left({\tfrac {1}{4}}\right)&=\pi ^{2}+8G\quad &\psi _{1}\left({\tfrac {1}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}&\psi _{1}(1)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}\\[6px]\psi _{1}\left({\tfrac {3}{2}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{2}}-4&\psi _{1}(2)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\\\psi _{1}(n)&={\frac {\pi ^{2}}{6}}-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{2}}}\end{aligned}}

где $G$ представляет константу Каталана , а $n$ — целое положительное число.

$На действительной оси ψ 1$ нет корней , но существует бесконечно много пар корней $z n, z n$ для $Re z < 0$ . Каждая такая пара корней приближается к $Re z n = - n + 1 / 2$ быстро, а их мнимая часть медленно возрастает логарифмически с $n$ . Например, $z 1 = -0,4121345... + 0,5978119... i$ и $z 2 = -1,4455692... + 0,6992608... i$ — первые два корня с $Im(z) > 0$ .

Связь с функцией Клаузена

Дигамма -функция при рациональных аргументах может быть выражена через тригонометрические функции и логарифм по дигамм-теореме . Аналогичный результат справедлив и для тригамма-функции, но круговые функции заменены функцией Клаузена . А именно, ^[1]

\psi _{1}\left({\frac {p}{q}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{2\sin ^{2}(\pi p/q)}}+2q\sum _{m=1}^{(q-1)/2}\sin \left({\frac {2\pi mp}{q}}\right){\textrm {Cl}}_{2}\left({\frac {2\pi m}{q}}\right).

Расчет и аппроксимация

Простой метод аппроксимации тригамма-функции — взять производную асимптотического разложения дигамма-функции .

\psi _{1}(x)\approx {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2x^{2}}}+{\frac {1}{6x^{3}}}-{\frac {1}{30x^{5}}}+{\frac {1}{42x^{7}}}-{\frac {1}{30x^{9}}}+{\frac {5}{66x^{11}}}-{\frac {691}{2730x^{13}}}+{\frac {7}{6x^{15}}}

Появление

Тригамма-функция появляется в этой формуле суммы: ^[2]

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}-{\frac {1}{2}}}{\left(n^{2}+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\left(\psi _{1}{\bigg (}n-{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}+\psi _{1}{\bigg (}n+{\frac {i}{\sqrt {2}}}{\bigg )}\right)=-1+{\frac {\sqrt {2}}{4}}\pi \coth {\frac {\pi }{\sqrt {2}}}-{\frac {3\pi ^{2}}{4\sinh ^{2}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}+{\frac {\pi ^{4}}{12\sinh ^{4}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}}}\left(5+\cosh \pi {\sqrt {2}}\right).

Смотрите также

Примечания

^ Левин, Л., изд. (1991). Структурные свойства полилогарифмов . Американское математическое общество. ISBN 978-0821816349.
^ Мезё, Иштван (2013). «Некоторые бесконечные суммы, возникающие из теоремы о произведении Вейерштрасса». Прикладная математика и вычислительная техника . 219 (18): 9838–9846. дои : 10.1016/j.amc.2013.03.122.