В математике автоморфное число (иногда называемое круговым числом ) — это натуральное число в заданной системе счисления , квадрат которого «заканчивается» теми же цифрами, что и само число.
Учитывая базу чисел , натуральное число с цифрами является автоморфным числом, если является неподвижной точкой полиномиальной функции над кольцом целых чисел по модулю . В качестве обратного предела is , кольца -адических целых чисел, автоморфные числа используются для нахождения числовых представлений неподвижных точек над .
Например, при есть четыре 10-адических фиксированных точки , последние 10 цифр которых:
Таким образом, автоморфные числа по основанию 10 : 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 7. 87109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625 , 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (последовательность A003226 в OEIS ).
Неподвижная точка является нулем функции . В кольце целых чисел по модулю есть нули до , где простая омега-функция — это количество различных простых множителей в . Элемент в является нулем тогда и только тогда, когда или для всех . Поскольку существует два возможных значения в , и такие есть , существуют нули , и, следовательно, существуют неподвижные точки . Согласно лемме Гензеля , если существуют нули или неподвижные точки полиномиальной функции по модулю , то существуют соответствующие нули или неподвижные точки той же функции по модулю любой степени , и это остается верным в обратном пределе . Таким образом, в любой данной базе имеются -адические неподвижные точки .
Поскольку 0 всегда является делителем нуля , 0 и 1 всегда являются фиксированными точками , а 0 и 1 являются автоморфными числами в каждой базе. Эти решения называются тривиальными автоморфными числами . Если - простая степень , то кольцо -адических чисел не имеет делителей нуля, отличных от 0, поэтому единственными неподвижными точками являются 0 и 1. В результате существуют только нетривиальные автоморфные числа , отличные от 0 и 1. когда основание имеет по крайней мере два различных простых делителя.
Все -адические числа представлены в системе счисления с использованием A-Z для представления цифр от 10 до 35.
Автоморфные числа могут быть расширены до любой такой полиномиальной функции степени с b -адическими коэффициентами . Эти обобщенные автоморфные числа образуют дерево .
- автоморфное число возникает, когда полиномиальная функция равна
Например, при и , поскольку для in ( и ) имеются две фиксированные точки , согласно лемме Гензеля имеются две 10-адические фиксированные точки для ,
таким образом, 2-автоморфные числа по основанию 10 — это 0, 8, 88, 688, 4688...
Триморфное число или сферическое число возникает, когда полиномиальная функция равна . [1] Все автоморфные числа триморфны. Термины «круговой» и «сферический» раньше использовались для немного другого случая числа, все степени которого имеют ту же самую последнюю цифру, что и само число. [2]
Для base триморфные числа:
Для base триморфные числа:
def hensels_lemma ( polynomial_function , base : int , power : int ) -> list [ int ]: """Лемма Генселя.""" if power == 0 : return [ 0 ] if power > 0 : roots = hensels_lemma ( polynomial_function , base , power - 1 ) new_roots = [] для корня в корнях : для i в диапазоне ( 0 , base ): new_i = i * base ** ( power - 1 ) + root new_root = полиномиальная_функция ( new_i ) % pow ( base , power ) , если new_root == 0 : new_roots . добавить ( new_i ) вернуть новые_корни база = 10 цифр = 10def automorphic_polynomial ( x : int ) -> int : return x ** 2 - xдля i в диапазоне ( 1 , цифры + 1 ): print ( hensels_lemma ( automorphic_polynomial , base , i ))