В математике закон трихотомии гласит, что каждое действительное число либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю. [1]
В более общем смысле бинарное отношение R на множестве X является трихотомическим , если для всех x и y в X выполняется ровно одно из xRy , yRx и x = y . Записывая R как <, в формальной логике это выражается как:
Закон трихотомии на некотором множестве X чисел обычно выражает, что некоторое неявно заданное отношение порядка на X является трихотомическим. Примером может служить закон «Для произвольных действительных чисел x и y применяется ровно одно из x < y , y < x , или x = y »; некоторые авторы даже фиксируют y равным нулю, [1] полагаясь на аддитивную линейно упорядоченную групповую структуру действительного числа. Последняя представляет собой группу, снабженную трихотомическим порядком.
В классической логике эта аксиома трихотомии справедлива для обычного сравнения действительных чисел, а следовательно, и для сравнения целых чисел и рациональных чисел . [ необходимо разъяснение ] В общем случае этот закон не выполняется в интуиционистской логике . [ необходима ссылка ]
В теории множеств Цермело–Френкеля и теории множеств Бернайса закон трихотомии выполняется между кардинальными числами вполне упорядочиваемых множеств даже без аксиомы выбора . Если аксиома выбора выполняется, то трихотомия выполняется между произвольными кардинальными числами (потому что в этом случае они все вполне упорядочиваемы ). [4]
![{\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419d5452ff0b5decba77dbc02d05ee38c55f2d86)