В математике закон трихотомии гласит, что каждое действительное число либо положительное, либо отрицательное, либо ноль. [1]
В более общем смысле, бинарное отношение R на множестве X является трихотомическим, если для всех x и y в X выполняется ровно одно из xRy , yRx и x = y . Записывая R как <, в формальной логике это выражается как:
Закон трихотомии некоторого множества X чисел обычно выражает, что некоторое неявно заданное отношение порядка на X является трихотомическим. Примером может служить закон «Для произвольных действительных чисел x и y применяется ровно одно из x < y , y < x или x = y »; некоторые авторы даже фиксируют y равным нулю, [1] полагаясь на аддитивную линейно упорядоченную групповую структуру вещественного числа. Последняя представляет собой группу , снабженную трихотомическим порядком.
В классической логике эта аксиома трихотомии справедлива для обычного сравнения действительных чисел и, следовательно, также для сравнений целых и рациональных чисел . [ необходимы разъяснения ] Закон в целом не соблюдается в интуиционистской логике . [ нужна цитата ]
В теории множеств Цермело-Френкеля и теории множеств Бернейса закон трихотомии соблюдается между кардинальными числами вполне упорядочиваемых множеств даже без аксиомы выбора . Если аксиома выбора верна, то трихотомия справедлива между произвольными кардинальными числами (поскольку в этом случае все они хорошо упорядочиваются ). [4]