Троичная система счисления

Система счисления с основанием 3

Троичная система счисления / ˈ t ɜːr n ər i / (также называемая системой счисления с основанием 3 или тройственной ) имеет в качестве основы три . Аналогично биту , троичная цифра — это трит ( tri nary dig it ). Один трит эквивалентен log 2  3 (около 1,58496) бит информации .

Хотя троичная система чаще всего относится к системе, в которой все три цифры являются неотрицательными числами; в частности , 0 , 1 и 2 , прилагательное также дает название сбалансированной тройной системе; Содержит цифры -1 , 0 и +1, используемые в логике сравнения и троичных компьютерах .

Сравнение с другими базами

Представления целых чисел в троичной системе не становятся слишком длинными так быстро, как в двоичной системе . Например, десятичное число 365 или шестнадцатеричное число 1405 соответствует двоичному числу 101101101 (девять цифр) и троичному числу 111112 (шесть цифр). Однако они по-прежнему гораздо менее компактны, чем соответствующие представления в таких системах счисления, как десятичная  – см. ниже компактный способ кодификации троичной системы с использованием ненарной (основание 9) и семеричной системы счисления (основание 27).

Что касается рациональных чисел , троичные числа предлагают удобный способ представления.1/3то же, что и шестерка (в отличие от ее громоздкого представления в виде бесконечной строки повторяющихся цифр в десятичном формате); но основным недостатком является то, что, в свою очередь, троичная система не предлагает конечного представления для1/2(ни для1/4,1/8и т. д.), поскольку 2 не является простым делителем основания; как и в случае с основанием два, одна десятая (десятичная1/10, шестилетний1/14) невозможно представить точно (для этого потребуется, например, десятичное число); ни одна шестая (шестеричная1/10, десятичная дробь1/6).

Сумма цифр в троичной системе, а не в двоичной.

Значение двоичного числа с n битами, все из которых равны 1, равно 2 ⁿ  − 1 .

Аналогично, для числа N ( b , d ) с базовыми цифрами b и d , каждая из которых является максимальным цифровым значением b  - 1 , мы можем написать:

N ( б , d ) знак равно ( б  - 1) б ^{d -1} + ( б  - 1) б ^{d -2} + … + ( б  - 1) б ¹ + ( б  - 1) б ⁰ ,

N ( б , d ) знак равно ( б  - 1)( б ^{d -1} + б ^{d -2} + … + б ¹ + 1),

N ( б , d ) знак равно ( б  - 1) M .

bM = b ^d + b ^{d −1} + … + b ² + b ¹ и

- M = - b ^{d -1}  -  b ^{d -2}  - ... - b ¹  - 1 , поэтому

bM  -  M = b ^d  - 1 , или

М =б ^д  - 1/б  - 1.

Затем

N ( б , d ) знак равно ( б  - 1) M ,

Н ( б , d ) знак равно( б  - 1)( б ^д  - 1)/б  - 1,

N ( б , d ) знак равно б ^d  - 1.

Для трехзначного троичного числа N (3, 3) = 3 ³  - 1 = 26 = 2 × 3 ² + 2 × 3 ¹ + 2 × 3 ⁰ = 18 + 6 + 2 .

Компактное троичное представление: основания 9 и 27.

Ненарная (основание 9, каждая цифра — две троичные цифры) или семеричная (основание 27, каждая цифра — три троичные цифры) могут использоваться для компактного представления троичных чисел, аналогично тому, как вместо двоичной используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы .

Практическое использование

Использование троичных чисел для балансировки неизвестного целого веса от 1 до 40 кг с весами 1, 3, 9 и 27 кг (4 троичные цифры фактически дают 3 ⁴ = 81 возможных комбинаций: от -40 до +40, но только положительные значения полезны)

В некоторой аналоговой логике состояние схемы часто выражается троично. Чаще всего это наблюдается в КМОП- схемах, а также в транзисторно-транзисторной логике с тотемным выходом . Говорят, что выходной сигнал имеет либо низкий уровень ( заземленный ), либо высокий, либо разомкнутый ( высокий Z ). В этой конфигурации выход схемы фактически вообще не подключен к какому-либо опорному напряжению . Если сигнал обычно заземлен на определенный опорный уровень или на определенный уровень напряжения, такое состояние называется высоким импедансом , поскольку оно разомкнуто и служит своему собственному опорному значению. Таким образом, реальный уровень напряжения иногда непредсказуем.

Редкая широко используемая «троичная точка» предназначена для защитной статистики в американском бейсболе (обычно только для питчеров ), чтобы обозначить дробные части иннинга. Поскольку нападающей команде разрешено три аута , каждый аут считается одной третью защитного иннинга и обозначается как .1 . Например, если игрок сделал подачу во всех 4-м, 5-м и 6-м иннингах, а также выполнил 2 аута в 7-м иннинге, в столбце его поданных иннингов для этой игры будет указано 3,2 , что эквивалентно 3+2 ⁄ 3 (который иногда используется некоторыми рекордсменами в качестве альтернативы). В этом случае только дробная часть числа записывается в троичной форме. ^{[1] [2]}

Троичные числа можно использовать для удобной передачи самоподобных структур, таких как треугольник Серпинского или множество Кантора . Кроме того, оказывается, что троичное представление полезно для определения множества Кантора и связанных с ним наборов точек из-за способа построения множества Кантора. Множество Кантора состоит из точек от 0 до 1, которые имеют троичное выражение, не содержащее ни одного экземпляра цифры 1. ^{[3] [4]} Любое завершающее разложение в троичной системе эквивалентно выражению, идентичному с точностью до член, предшествующий последнему ненулевому члену, за которым следует член, на единицу меньше, чем последний ненулевой член первого выражения, за которым следует бесконечный хвост из двоек. Например: 0,1020 эквивалентно 0,1012222... поскольку расширения одинаковы до тех пор, пока в первом выражении не появится «двойка», двойка была уменьшена во втором расширении, а конечные нули были заменены конечными двойками во втором выражении.

Тернарная система - это целочисленная система с самой низкой экономией системы счисления , за которой следуют двоичная и четверичная система счисления . Это связано с его близостью к математической константе e . Из-за этой эффективности он использовался в некоторых вычислительных системах. Он также используется для представления деревьев с тремя вариантами , таких как системы меню телефона, которые обеспечивают простой путь к любой ветке.

Форма избыточного двоичного представления , называемая двоичной системой счисления со знаком , иногда используется в низкоуровневом программном и аппаратном обеспечении для быстрого сложения целых чисел, поскольку она может исключить переносы . ^[5]

Троичный двоично-кодированный

Моделирование троичных компьютеров с использованием двоичных компьютеров или взаимодействие между троичными и двоичными компьютерами может включать использование троичных чисел в двоичном коде (BCT), где два или три бита используются для кодирования каждой триты. ^{[6] [7]} Кодирование BCT аналогично двоично-десятичному кодированию (BCD). Если значения трита 0, 1 и 2 закодированы как 00, 01 и 10, преобразование в любом направлении между двоично-троичным кодом и двоичным кодом может быть выполнено за логарифмическое время . ^[8] Доступна библиотека кода C , поддерживающая арифметику BCT. ^[9]

Попробуйте

Некоторые троичные компьютеры, такие как « Сетунь» , определяли трит как шесть тритов ^[10] или примерно 9,5 бит (содержащих больше информации, чем де-факто двоичный байт ). ^[11]

Смотрите также

• Кутрит
• Сетунь , троичный компьютер
• Тернарная логика
• Тайсюаньцзин

Рекомендации

1. Эшли МакЛеннан (9 января 2019 г.). «Полное руководство по бейсбольной статистике для новичков: статистика подачи и ее значение». Будьте здоровы, мальчики . Проверено 30 июля 2020 г.
2. «Статистика - Команда - Питчинг» . MLB (Высшая лига бейсбола) . Проверено 30 июля 2020 г.
3. Солтанифар, Мохсен (2006). «О последовательности канторовых фракталов». Журнал Роуз Халман по математике для студентов . 7 (1). Бумага 9.
4. Солтанифар, Мохсен (2006). «Другое описание семейства канторовых множеств среднего –α». Американский журнал студенческих исследований . 5 (2): 9–12.
5. Фатак, Д.С.; Корень, И. (1994). «Гибридные системы счисления со знаком и цифрами: унифицированная структура для избыточных представлений чисел с ограниченными цепочками распространения переноса» (PDF) . Транзакции IEEE на компьютерах . 43 (8): 880–891. CiteSeerX 10.1.1.352.6407 . дои : 10.1109/12.295850. 
6. Фридер, Гидеон; Лук, Клемент (февраль 1975 г.). «Алгоритмы двоично-кодированных сбалансированных и обычных троичных операций». Транзакции IEEE на компьютерах . С-24 (2): 212–215. дои : 10.1109/TC.1975.224188. S2CID  38704739.
7. Пархами, Бехруз; Маккеун, Майкл (03 ноября 2013 г.). «Арифметика со сбалансированными троичными числами в двоичном кодировании». Конференция Asilomar 2013 по сигналам, системам и компьютерам . Пасифик Гроув, Калифорния, США. стр. 1130–1133. дои : 10.1109/ACSSC.2013.6810470. ISBN 978-1-4799-2390-8. S2CID  9603084.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Джонс, Дуглас В. (июнь 2016 г.). «Двоично-троичная система и ее обратная».
9. Джонс, Дуглас В. (29 декабря 2015 г.). «Тернарные типы данных для программистов на C».
10. Импальяццо, Джон; Пройдаков, Эдуард (2006). Перспективы советской и российской вычислительной техники. Первая конференция ИФИП WG 9.7, SoRuCom, 2006. Петрозаводск, Россия: Springer . ISBN 978-3-64222816-2.
11. Брюсенцов, Н.П.; Маслов, С.П.; Рамиль Альварес, судья; Жоголев Е.А. «Разработка троичных компьютеров в МГУ» . Проверено 20 января 2010 г.

дальнейшее чтение

• Хейс, Брайан (ноябрь – декабрь 2001 г.). «Третья база» (PDF) . Американский учёный . Сигма Си , Общество научных исследований. 89 (6): 490–494. дои : 10.1511/2001.40.3268. Архивировано (PDF) из оригинала 30 октября 2019 г. Проверено 12 апреля 2020 г.

Внешние ссылки

• Тернарная арифметика. Архивировано 14 мая 2011 г. в Wayback Machine.
• Троичная счетная машина Томаса Фаулера
• Преобразование троичной системы счисления - включает дробную часть из Maths Is Fun
• Замена троичной системы счисления Гидеона Фридера