Манин тройной

Математическая концепция

В математике тройка Манина состоит из алгебры Ли с невырожденной инвариантной симметричной билинейной формой , вместе с двумя изотропными подалгебрами и такими, что является прямой суммой и как векторное пространство. Тесно связанным понятием является (классический) дубль Дринфельда , который является четномерной алгеброй Ли, которая допускает разложение Манина. ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$

Тройки Манина были введены Владимиром Дринфельдом в 1987 году, который назвал их в честь Юрия Манина . ^[1]

В 2001 году Делорм  [фр] классифицировал тройки Манина, где — комплексная редуктивная алгебра Ли . ^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Тройки Манина и биалгебры Ли

Существует эквивалентность категорий между конечномерными тройками Манина и конечномерными биалгебрами Ли.

Точнее, если — конечномерная тройка Манина, то ее можно превратить в биалгебру Ли , сделав отображение кокоммутатора двойственным к скобке Ли (используя тот факт, что симметричная билинейная форма на отождествляется с двойственным к ). ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\to {\mathfrak {p}}\otimes {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\otimes {\mathfrak {q}}\to {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

Наоборот, если — биалгебра Ли, то можно построить тройку Манина, положив ее двойственной к и определив коммутатор и , чтобы сделать билинейную форму на инвариантной. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {p}}^{*},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}^{*})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {p}}\oplus {\mathfrak {q}}}$

Примеры

• Предположим, что — комплексная полупростая алгебра Ли с инвариантной симметричной билинейной формой . Тогда существует тройка Манина с , со скалярным произведением на , заданным выражением . Подалгебра — это пространство диагональных элементов , а подалгебра — это пространство элементов с в фиксированной подалгебре Бореля, содержащей подалгебру Картана , в противоположной подалгебре Бореля, и где и имеют одну и ту же компоненту в . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle ((w,x),(y,z))=(w,y)-(x,z)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle (x,x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

Ссылки

1. Дринфельд, В. Г. (1987). Глисон, Эндрю (ред.). "Квантовые группы" (PDF) . Труды Международного конгресса математиков 1986 г. 1. Беркли: Американское математическое общество : 798–820. ISBN 978-0-8218-0110-9. МР  0934283.
2. Делорм, Патрик (1 декабря 2001 г.). «Классификация троек Манена для алгебр редуктивных комплексов Ли: Avec un Appende de Guillaume Macey». Журнал алгебры . 246 (1): 97–174. arXiv : math/0003123 . дои : 10.1006/jabr.2001.8887. ISSN  0021-8693. МР  1872615.