трюк Скотта

Метод теории множеств

В теории множеств прием Скотта представляет собой метод определения классов эквивалентности для отношений эквивалентности на соответствующем классе (Jech 2003:65) путем ссылки на уровни кумулятивной иерархии .

Метод опирается на аксиому регулярности , но не на аксиому выбора . Его можно использовать для определения представителей для порядковых чисел в ZF, теории множеств Цермело–Френкеля без аксиомы выбора (Forster 2003:182). Метод был введен Даной Скотт  (1955).

Помимо проблемы определения представителей множеств для порядковых чисел, трюк Скотта может быть использован для получения представителей для кардинальных чисел и, в более общем плане, для типов изоморфизма , например, типов порядка линейно упорядоченных множеств (Jech 2003:65). Считается, что он незаменим (даже при наличии аксиомы выбора) при взятии сверхстепеней собственных классов в теории моделей . (Kanamori 1994:47)

Применение к мощностям

Использование трюка Скотта для кардинальных чисел показывает, как этот метод обычно применяется. Первоначальное определение кардинального числа — это класс эквивалентности множеств, где два множества эквивалентны, если между ними существует биекция . Трудность заключается в том, что почти каждый класс эквивалентности этого отношения является собственным классом , и поэтому сами классы эквивалентности не могут напрямую манипулироваться в теориях множеств, таких как теория множеств Цермело–Френкеля, которые имеют дело только с множествами. Часто в контексте теории множеств желательно иметь множества, которые являются представителями классов эквивалентности. Затем эти множества по определению считаются «быть» кардинальными числами.

В теории множеств Цермело–Френкеля с аксиомой выбора один из способов назначения представителей кардинальным числам состоит в том, чтобы связать каждое кардинальное число с наименьшим порядковым числом той же мощности. Эти специальные порядковые числа являются числами ℵ . Но если аксиома выбора не предполагается, для некоторых кардинальных чисел может оказаться невозможным найти такое порядковое число, и, таким образом, кардинальные числа этих множеств не имеют порядкового числа в качестве представителей.

Трюк Скотта назначает представителей по-разному, используя тот факт, что для каждого множества существует наименьший ранг в кумулятивной иерархии , когда появляется некоторое множество той же мощности, что и . Таким образом, можно определить представителя кардинального числа как множество всех множеств ранга , которые имеют ту же мощность, что и . Это определение назначает представителя каждому кардинальному числу, даже когда не каждое множество может быть вполне упорядочено (предположение, эквивалентное аксиоме выбора). Его можно осуществить в теории множеств Цермело–Френкеля, не используя аксиому выбора, но существенно используя аксиому регулярности . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle A}$

трюк Скотта в целом

Пусть будет отношением эквивалентности множеств. Пусть будет множеством и его классом эквивалентности относительно . Если непусто, мы можем определить множество, которое представляет , даже если является собственным классом. А именно, существует наименьший ординал , такой что непусто. Это пересечение является множеством, поэтому мы можем взять его в качестве представителя . Мы не использовали регулярность для этой конструкции. ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle V\cap [a]}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle [a]}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V_{\alpha }\cap [a]}$ ${\displaystyle [a]}$

Аксиома регулярности эквивалентна для всех множеств (см. Регулярность, кумулятивная иерархия и типы ). Так, в частности, если мы предположим аксиому регулярности, то будет непустым для всех множеств и отношений эквивалентности , так как . Подводя итог: учитывая аксиому регулярности, мы можем найти представителей каждого класса эквивалентности для любого отношения эквивалентности. ${\displaystyle a\in V}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle V\cap [a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle a\in V\cap [a]}$

Ссылки

• Томас Форстер (2003), Логика, индукция и множества , Cambridge University Press. ISBN  0-521-53361-9
• Томас Йех, Теория множеств , 3-е тысячелетие (пересмотренное) издание, 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2 
• Акихиро Канамори: Высшая бесконечность. Большие кардиналы в теории множеств с их истоков . , Перспективы в математической логике. Springer-Verlag, Берлин, 1994. xxiv+536 стр.
• Скотт, Дана (1955), «Определения абстракцией в аксиоматической теории множеств» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 61 (5): 442, doi : 10.1090/S0002-9904-1955-09941-5