Слабая операторная топология

Слабая топология на функциональных пространствах

В функциональном анализе слабая операторная топология , часто сокращенно WOT , ^[1] является слабейшей топологией на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве , такой, что функционал, сопоставляющий оператору комплексное число , непрерывен для любых векторов и в гильбертовом пространстве. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Явно, для оператора существует база окрестностей следующего типа: выберем конечное число векторов , непрерывных функционалов и положительных действительных констант, индексированных одним и тем же конечным множеством . Оператор лежит в окрестности тогда и только тогда, когда для всех . ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

Эквивалентно, сеть ограниченных операторов сходится к в WOT, если для всех и сеть сходится к . ${\displaystyle T_{i}\subseteq B(H)}$ ${\displaystyle T\in B(H)}$ ${\displaystyle y\in H^{*}}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle y(T_{i}x)}$ ${\displaystyle y(Tx)}$

Связь с другими топологиями наБ(ЧАС)

WOT является самой слабой среди всех распространенных топологий на ${\displaystyle B(H)}$ ограниченных операторах в гильбертовом пространстве . ${\displaystyle H}$

Топология сильного оператора

Сильная операторная топология , или SOT, на является топологией поточечной сходимости. Поскольку скалярное произведение является непрерывной функцией, SOT сильнее WOT. Следующий пример показывает, что это включение строгое. Пусть и рассмотрим последовательность правых сдвигов. Применение Коши-Шварца показывает, что в WOT. Но явно не сходится к в SOT. ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \{T^{n}\}}$ ${\displaystyle T^{n}\to 0}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle 0}$

Линейные функционалы на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, непрерывные в сильной операторной топологии, — это в точности те же самые, которые непрерывны в WOT (на самом деле, WOT — это слабейшая операторная топология, которая оставляет непрерывными все сильно непрерывные линейные функционалы на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве H ). В силу этого факта замыкание выпуклого множества операторов в WOT совпадает с замыканием этого множества в SOT. ${\displaystyle B(H)}$

Из тождества поляризации следует , что сеть сходится к в SOT тогда и только тогда, когда в WOT. ${\displaystyle \{T_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0}$

Топология оператора слабой звезды

Предуал B ( H ) — это операторы класса следа C ₁ ( H ), и он генерирует w*-топологию на  B ( H ), называемую топологией оператора слабой звезды или σ-слабой топологией. Топологии слабого оператора и σ-слабой топологии согласуются на множествах с ограниченной нормой в  B ( H ).

Сеть { T _α } ⊂ B ( H ) сходится к T в WOT тогда и только тогда, когда Tr( T _α F ) сходится к Tr( TF ) для всех операторов конечного ранга F . Поскольку каждый оператор конечного ранга является трассовым, это означает, что WOT слабее σ-слабой топологии. Чтобы понять, почему это утверждение верно, напомним, что каждый оператор конечного ранга F является конечной суммой

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.}$

Итак, { T _α } сходится к T в WOT, что означает

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).}$

Немного расширяя, можно сказать, что топологии слабого оператора и σ-слабого оператора согласуются на множествах с ограниченной нормой в B ( H ): Каждый оператор трассового класса имеет вид

${\displaystyle S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},}$

где ряд сходится. Предположим и в WOT. Для каждого следового класса S , ${\displaystyle \sum \nolimits _{i}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle \sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,}$ ${\displaystyle T_{\alpha }\to T}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),}$

используя, например, теорему о доминирующей сходимости .

Следовательно, каждое ограниченное по норме множество компактно в WOT по теореме Банаха–Алаоглу .

Другие свойства

Сопряженная операция T → T* , как непосредственное следствие ее определения, непрерывна в WOT.

Умножение не является совместно непрерывным в WOT: пусть снова будет односторонним сдвигом. Обращаясь к Коши-Шварцу, получаем, что и T ⁿ и T* ⁿ сходятся к 0 в WOT. Но T* ⁿ T ⁿ является тождественным оператором для всех . (Поскольку WOT совпадает с σ-слабой топологией на ограниченных множествах, умножение не является совместно непрерывным в σ-слабой топологии.) ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

Однако можно сделать и более слабое утверждение: умножение является отдельно непрерывным в WOT. Если сеть T _i → T в WOT, то ST _i → ST и T _i S → TS в WOT.

SOT и WOT наВ(X,Y)когдаХиИявляются нормированными пространствами

Мы можем расширить определения SOT и WOT до более общей ситуации, где X и Y являются нормированными пространствами и является пространством ограниченных линейных операторов вида . В этом случае каждая пара и определяет полунорму на с помощью правила . Полученное семейство полунорм порождает слабую операторную топологию на . Эквивалентно, WOT на формируется путем взятия в качестве базовых открытых окрестностей тех множеств вида ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y^{*}\in Y^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x,y^{*}}}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle \|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},}$

где — конечное множество, — также конечное множество, и . Пространство является локально выпуклым топологическим векторным пространством, если оно снабжено WOT. ${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq Y^{*}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

Сильная операторная топология на генерируется семейством полунорм с помощью правил . Таким образом, топологическая база для SOT задается открытыми окрестностями вида ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x},x\in X,}$ ${\displaystyle \|T\|_{x}=\|Tx\|}$

${\displaystyle N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},}$

где, как и прежде, — конечное множество, а ${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$

Отношения между различными топологиями наВ(X,Y)

Различная терминология для различных топологий на иногда может сбивать с толку. Например, «сильная сходимость» для векторов в нормированном пространстве иногда относится к норм-сходимости, которая очень часто отличается от (и сильнее) SOT-сходимости, когда рассматриваемое нормированное пространство — . Слабая топология на нормированном пространстве — это самая грубая топология, которая делает линейные функционалы в непрерывными; когда мы берем вместо , слабая топология может сильно отличаться от слабой операторной топологии. И хотя WOT формально слабее SOT, SOT слабее топологии операторной нормы. ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$

В общем случае справедливы следующие включения:

${\displaystyle \{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},}$

и эти включения могут быть или не быть строгими в зависимости от выбора и . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

WOT на формально более слабая топология, чем SOT, но они тем не менее имеют некоторые важные общие свойства. Например, ${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle (B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.}$

Следовательно, если выпукло, то ${\displaystyle S\subseteq B(X,Y)}$

${\displaystyle {\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},}$

Другими словами, SOT-замыкание и WOT-замыкание совпадают для выпуклых множеств.

Ссылки

1. Илияс Фарах, Комбинаторная теория множеств C*-алгебр (2019), стр. 80.

Смотрите также

• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве
• Слабая топология  – Математический термин
• Топология оператора слабой звезды