Поворот с наклоном

Inclination of road or surface other than flat

Поворот с наклоном (или поворот с наклоном ) — это поворот или изменение направления, при котором транспортное средство наклоняется или делает наклон, обычно к внутренней стороне поворота. Для автомобильной или железной дороги это обычно происходит из-за того, что дорожное полотно имеет поперечный уклон к внутренней стороне кривой. Угол наклона — это угол, под которым транспортное средство наклонено вокруг своей продольной оси по отношению к горизонтали.

Включите плоские поверхности.

Если угол наклона равен нулю, поверхность плоская, а нормальная сила направлена ​​вертикально вверх. Единственная сила, удерживающая автомобиль на его пути, — это трение , или тяга . Она должна быть достаточно большой, чтобы обеспечить центростремительную силу , соотношение, которое можно выразить как неравенство, предполагая, что автомобиль движется по окружности радиусом : ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \mu mg>{mv^{2} \over r}.}$

Выражение справа — это центростремительное ускорение, умноженное на массу, сила, необходимая для поворота транспортного средства. Левая сторона — это максимальная сила трения, которая равна коэффициенту трения, умноженному на нормальную силу. Перестановка максимальной скорости поворота: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle v<{\sqrt {r\mu g}}.}$

Обратите внимание, что может быть коэффициентом статического или динамического трения. В последнем случае, когда автомобиль скользит на повороте, трение достигает своего предела, и неравенства становятся уравнениями. Это также игнорирует такие эффекты, как прижимная сила , которая может увеличить нормальную силу и скорость поворота. ${\displaystyle \mu }$

Поворот с креном без трения

Верхняя панель: Мяч на наклонной круговой дорожке, движущейся с постоянной скоростью ; Нижняя панель: Силы, действующие на мяч. Результирующая или чистая сила, действующая на мяч, найденная путем сложения векторов нормальной силы, действующей со стороны дороги, и вертикальной силы, обусловленной гравитацией, должна равняться требуемой силе для центростремительного ускорения, диктуемого необходимостью движения по круговой траектории. ${\displaystyle v}$

В отличие от транспортного средства, движущегося по плоской окружности, наклонные края добавляют дополнительную силу, которая удерживает транспортное средство на его пути и не дает автомобилю быть «втянутым» в окружность или «вытолкнутым из нее» (или железнодорожному колесу двигаться вбок так, чтобы оно почти терлось о фланец колеса ). Эта сила является горизонтальной составляющей нормальной силы транспортного средства (Н). При отсутствии трения нормальная сила является единственной, действующей на транспортное средство в направлении центра окружности. Следовательно, согласно второму закону Ньютона, мы можем установить горизонтальную составляющую нормальной силы равной массе, умноженной на центростремительное ускорение: ^[1]

${\displaystyle {mv^{2} \over r}=N\sin \theta }$

Поскольку в вертикальном направлении нет движения, сумма всех вертикальных сил, действующих на систему, должна быть равна нулю. Поэтому мы можем установить вертикальную составляющую нормальной силы транспортного средства равной его весу: ^[1]

${\displaystyle N\cos \theta =mg}$

Решая приведенное выше уравнение для нормальной силы и подставляя это значение в наше предыдущее уравнение, получаем:

${\displaystyle {mv^{2} \over r}={mg\tan \theta }}$

Это эквивалентно:

${\displaystyle {v^{2} \over r}={g\tan \theta }}$

Решая относительно скорости, имеем:

${\displaystyle v={\sqrt {rg\tan \theta }}}$

Это обеспечивает скорость, которая при отсутствии трения и с заданным углом наклона и радиусом кривизны гарантирует, что транспортное средство останется на своем назначенном пути. Величина этой скорости также известна как «номинальная скорость» (или «скорость балансировки» для железных дорог) поворота или кривой. ^[2] Обратите внимание, что номинальная скорость кривой одинакова для всех массивных объектов, а кривая, которая не наклонена, будет иметь номинальную скорость 0.

Поворот с наклоном и трением

Крутой поворот на съезде, соединяющий восточное шоссе California State Route 92 с северным шоссе Interstate 880 в Хейворде, Калифорния .

Велосипедисты преодолевают крутой спуск на трассе Beanpot Criterium в Университете Тафтса.

При рассмотрении влияния трения на систему нам снова нужно отметить, куда направлена ​​сила трения. При расчете максимальной скорости для нашего автомобиля трение будет направлено вниз по склону и к центру окружности. Поэтому мы должны добавить горизонтальную составляющую трения к составляющей нормальной силы. Сумма этих двух сил — это наша новая чистая сила в направлении центра поворота (центростремительная сила):

${\displaystyle \underbrace {{mv^{2} \over r}=N\sin \theta } _{\text{Frictionless formula}}+\underbrace {\mu _{s}N\cos \theta } _{\text{Friction term}}}$

Опять же, нет никакого движения в вертикальном направлении, что позволяет нам установить все противостоящие вертикальные силы равными друг другу. Эти силы включают вертикальную составляющую нормальной силы, направленную вверх, а также вес автомобиля и вертикальную составляющую трения, направленную вниз:

${\displaystyle \underbrace {N\cos \theta =mg} _{\text{Frictionless formula}}+\underbrace {\mu _{s}N\sin \theta } _{\text{Friction term}}}$

Решив приведенное выше уравнение для массы и подставив это значение в наше предыдущее уравнение, мы получаем:

${\displaystyle {\frac {{\frac {N\cos \theta -\mu _{s}N\sin \theta }{g}}v^{2}}{r}}=N\sin \theta +\mu _{s}N\cos \theta }$

Решая, получаем: ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {max} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta +\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta -\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta +\mu _{s}}{1-\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

Где критический угол, такой что . Это уравнение обеспечивает максимальную скорость для автомобиля с заданным углом наклона, коэффициентом статического трения и радиусом кривизны. Подобным анализом минимальной скорости, выводится следующее уравнение: ${\displaystyle \theta _{\mathrm {crit} }}$ ${\displaystyle \tan \theta _{\mathrm {crit} }=\mu _{s}}$

${\displaystyle v_{\mathrm {min} }={\sqrt {rg\left(\sin \theta -\mu _{s}\cos \theta \right) \over \cos \theta +\mu _{s}\sin \theta }}={\sqrt {rg{\frac {\tan \theta -\mu _{s}}{1+\mu _{s}\tan \theta }}}}={\sqrt {rg\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}}}$

Уведомление

${\displaystyle {\frac {v_{\mathrm {min} }}{v_{\mathrm {max} }}}={\sqrt {\frac {\tan(\theta -\theta _{\mathrm {crit} })}{\tan(\theta +\theta _{\mathrm {crit} })}}}}$

Разница в последнем анализе возникает при рассмотрении направления трения для минимальной скорости автомобиля (к внешней стороне окружности). Соответственно, противоположные операции выполняются при подстановке трения в уравнения для сил в центростремительном и вертикальном направлениях.

Неправильно наклоненные повороты дороги увеличивают риск съезда с дороги и лобовых столкновений. Можно ожидать, что недостаток виража в 2% (скажем, 4% наклона на кривой, которая должна иметь 6%) увеличит частоту столкновений на 6%, а недостаток в 5% увеличит ее на 15%. ^[3] До сих пор у инженеров-дорожников не было эффективных инструментов для определения неправильно наклоненных поворотов и разработки соответствующих смягчающих дорожных действий. Современный профилограф может предоставить данные как о кривизне дороги, так и о поперечном уклоне (угле наклона). Практическая демонстрация того, как оценить неправильно наклоненные повороты, была разработана в проекте EU Roadex III. См. связанный справочный документ ниже.

Поворот с креном в аэронавтике

Самолет Douglas DC-3 делает вираж для выполнения поворота влево.

Когда самолет с фиксированным крылом делает поворот (меняет направление), он должен перекатиться в положение крена, чтобы его крылья были наклонены в желаемом направлении поворота. После завершения поворота самолет должен перекатиться обратно в положение уровня крыльев, чтобы возобновить прямой полет. ^[4]

Когда любое движущееся транспортное средство совершает поворот, необходимо, чтобы силы, действующие на транспортное средство, складывались в чистую внутреннюю силу, чтобы вызвать центростремительное ускорение . В случае, когда самолет совершает поворот, сила, вызывающая центростремительное ускорение, является горизонтальной составляющей подъемной силы, действующей на самолет.

В прямолинейном горизонтальном полете подъемная сила, действующая на самолет, действует вертикально вверх, чтобы противодействовать весу самолета, который действует вниз. Если самолет должен продолжать горизонтальный полет (т. е. на постоянной высоте ), вертикальная составляющая должна продолжать равняться весу самолета, и поэтому пилот должен потянуть ручку назад, чтобы применить рули высоты , чтобы поднять нос вверх, и, следовательно, увеличить угол атаки , создавая увеличение подъемной силы крыла. Общая (теперь угловая) подъемная сила больше веса самолета, Избыточная подъемная сила является горизонтальной составляющей общей подъемной силы, которая является чистой силой, заставляющей самолет ускоряться внутрь и выполнять поворот.

Векторная диаграмма, показывающая подъемную силу и вес, действующие на самолет с фиксированным крылом во время поворота с креном. Желтая сила, изображенная на рисунке, представляет собой чистую результирующую силу, которая вызывает центростремительное ускорение.

Поскольку центростремительное ускорение равно:

${\displaystyle a={v^{2} \over r}}$

Во время сбалансированного поворота, где угол крена составляет подъемная сила действует под углом от вертикали. Полезно разложить подъемную силу на вертикальную составляющую и горизонтальную составляющую. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Второй закон Ньютона в горизонтальном направлении можно выразить математически как:

${\displaystyle L\sin \theta ={mv^{2} \over r}}$

где:

${\displaystyle L}$это подъемная сила, действующая на самолет

${\displaystyle \theta }$угол крена самолета

${\displaystyle m}$масса самолета​

${\displaystyle v}$истинная воздушная скорость самолета

${\displaystyle r}$радиус поворота

В прямолинейном горизонтальном полете подъемная сила равна весу самолета. В поворотном полете подъемная сила превышает вес самолета и равна весу самолета ( ), деленному на косинус угла крена: ${\displaystyle g}$

${\displaystyle L={mg \over {\cos \theta }}}$

где - напряженность гравитационного поля. ${\displaystyle g}$

Радиус поворота теперь можно рассчитать: ^[5]

${\displaystyle r={v^{2} \over {g\tan \theta }}}$

Эта формула показывает, что радиус поворота пропорционален квадрату истинной воздушной скорости самолета . При большей воздушной скорости радиус поворота больше, а при меньшей воздушной скорости радиус меньше.

Эта формула также показывает, что радиус поворота уменьшается с углом крена. При большем угле крена радиус поворота меньше, а при меньшем угле крена радиус больше.

При повороте с креном на постоянной высоте коэффициент нагрузки равен . Мы видим, что коэффициент нагрузки при прямолинейном и горизонтальном полете равен , так как , и для создания достаточной подъемной силы для поддержания постоянной высоты коэффициент нагрузки должен стремиться к бесконечности по мере того, как угол крена приближается и приближается к . Это физически невозможно, поскольку конструктивные ограничения самолета или физическая выносливость пассажиров будут превышены задолго до этого. ${\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \cos(0)=1}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle 0}$

Поворот в легкой атлетике

Большинство крытых легкоатлетических площадок имеют наклонные повороты, поскольку дорожки меньше, чем открытые дорожки. Крутые повороты на этих небольших дорожках обычно наклонены, чтобы позволить спортсменам наклониться внутрь и нейтрализовать центробежную силу во время бега по кривой; наклон особенно заметен на спринтерских соревнованиях. ^[6]

• 
  Спринтеры наклоняются к повороту на наклонной крытой трассе

Смотрите также

• Угол развала
• Брус (автомобильный/железнодорожный)
• Сила Кориолиса (восприятие)
• Центростремительная сила
• перегрузка
• Гонки на овальных трассах

Ссылки

1. Serway, стр. 143
2. Бир, Фердинанд П.; Джонстон, Э. Рассел (11 июля 2003 г.). Векторная механика для инженеров: Динамика . Наука/Инженерия/Математика (7-е изд.). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-293079-5.
3. DW Harwood и др., Прогнозирование ожидаемых показателей безопасности на сельских двухполосных автомагистралях , Turner-Fairbank Highway Research Center, Маклин, Вирджиния, декабрь 2000 г., стр. 39, https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/safety/99207/99207.pdf
4. Федеральное управление гражданской авиации (2007). Энциклопедия авиационных знаний для пилотов. Оклахома-Сити, Оклахома: Skyhorse Publishing Inc. Рисунок 3–21. ISBN 978-1-60239-034-8.
5. Клэнси, Л.Дж., Уравнение 14.9
6. Грин, Питер (февраль 1987). «Спринт с поворотами с наклоном». Журнал биомеханики . 20 (7): 667–80. doi :10.1016/0021-9290(87)90033-9. PMID  3654665.

Дальнейшее чтение

Наземные транспортные средства

• Сервэй, Рэймонд. Физика для ученых и инженеров. Cengage Learning, 2010.
• Вопросы охраны труда и техники безопасности, проект ЕС Roadex III, посвященный вопросам охраны труда и техники безопасности, возникающим в результате плохого обслуживания дорожных сетей.

Аэронавтика

• Кермод, AC (1972) Механика полета , Глава 8, 10-е издание, Longman Group Limited, Лондон ISBN 0-582-23740-8 
• Клэнси, Л. Дж. (1975), Аэродинамика , Pitman Publishing Limited, Лондон ISBN 0-273-01120-0 
• Hurt, HH Jr, (1960), Аэродинамика для морских летчиков , A National Flightshop Reprint, Флорида

Внешние ссылки

Наземные транспортные средства

• http://hyperphysicals.phy-astr.gsu.edu/hbase/mechanics/imgmech/carbank.gif
• https://web.archive.org/web/20051222173550/http://whitts.alioth.net/
• http://www.batesville.k12.in.us/physical/PHYNET/Mechanics/Circular%20Motion/banked_no_friction.htm

Аэронавтика

• НАСА: Руководство по поворотам на виражах
• aerospaceweb.org: Угол крена и перегрузки (математика)
• Справочник пилота по авиационным знаниям

https://edu-physical.com/2021/05/08/how-banking-of-road-will-help-the-vehicle-to-travel-along-a-circular-path-2/