Угловое разрешение

Угловое разрешение описывает способность любого устройства формирования изображения , такого как оптический или радиотелескоп , микроскоп , камера или глаз , различать мелкие детали объекта, тем самым делая его основным фактором, определяющим разрешение изображения . Оно используется в оптике применительно к световым волнам, в теории антенн применительно к радиоволнам и в акустике применительно к звуковым волнам. Разговорное использование термина «разрешение» иногда вызывает путаницу; когда говорят, что оптическая система имеет высокое разрешение или высокое угловое разрешение, это означает, что воспринимаемое расстояние или фактическое угловое расстояние между разрешенными соседними объектами мало. Значение, количественно определяющее это свойство, θ, которое задается критерием Рэлея, является низким для системы с высоким разрешением. Тесно связанный термин пространственное разрешение относится к точности измерения относительно пространства, которая напрямую связана с угловым разрешением в приборах формирования изображений. Критерий Рэлея показывает, что минимальный угловой разброс, который может быть разрешен системой формирования изображения, ограничен дифракцией отношением длины волны к ширине апертуры . По этой причине системы формирования изображений с высоким разрешением, такие как астрономические телескопы , телеобъективы камер дальнего действия и радиотелескопы, имеют большие апертуры.

Определение терминов

Разрешающая способность — это способность устройства формирования изображения разделять (т. е. видеть как отдельные) точки объекта, расположенные на небольшом угловом расстоянии , или это способность оптического прибора разделять далекие объекты, которые находятся близко друг к другу, на отдельные изображения. Термин разрешение или минимальное разрешаемое расстояние — это минимальное расстояние между различимыми объектами на изображении, хотя этот термин свободно используется многими пользователями микроскопов и телескопов для описания разрешающей способности. Как поясняется ниже, разрешение, ограниченное дифракцией, определяется критерием Рэлея как угловое разделение двух точечных источников, когда максимум каждого источника лежит в первом минимуме дифракционной картины ( диск Эйри ) другого. В научном анализе, в общем, термин «разрешение» используется для описания точности , с которой любой прибор измеряет и регистрирует (на изображении или спектре) любую переменную в исследуемом образце или образце.

Критерий Рэлея

Разрешение системы формирования изображения может быть ограничено либо аберрацией , либо дифракцией, вызывающей размытие изображения. Эти два явления имеют разное происхождение и не связаны между собой. Аберрации можно объяснить геометрической оптикой и в принципе решить путем повышения оптического качества системы. С другой стороны, дифракция возникает из-за волновой природы света и определяется конечной апертурой оптических элементов. Круговая апертура линзы аналогична двумерной версии эксперимента с одной щелью . Свет, проходящий через линзу, интерферирует сам с собой, создавая кольцевую дифракционную картину, известную как картина Эйри , если волновой фронт прошедшего света принять сферическим или плоским над выходной апертурой.

Взаимодействие между дифракцией и аберрацией можно охарактеризовать функцией рассеяния точки (ФРТ). Чем уже апертура линзы, тем больше вероятность, что ФРТ будет определяться дифракцией. В этом случае угловое разрешение оптической системы можно оценить (из диаметра апертуры и длины волны света) с помощью критерия Рэлея, определенного лордом Рэлеем : два точечных источника считаются разрешенными, когда главный дифракционный максимум (центр) диска Эйри одного изображения совпадает с первым минимумом диска Эйри другого, ^[1]^[2], как показано на прилагаемых фотографиях. (На нижнем фото справа, на котором показан предел критерия Рэлея, центральный максимум одного точечного источника может выглядеть так, как будто он лежит за пределами первого минимума другого, но проверка с помощью линейки подтверждает, что они пересекаются.) Если расстояние больше, две точки хорошо разрешены, а если меньше, они считаются неразрешенными. Рэлей защищал этот критерий на источниках равной силы. ^[2]

Принимая во внимание дифракцию через круглое отверстие, это означает:

\theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad ({\text{учитывая, что}}\,\sin \theta \approx \theta )

где θ — угловое разрешение ( радианы ), λ — длина волны света, а D — диаметр апертуры линзы. Коэффициент 1,22 выводится из расчета положения первого темного круглого кольца, окружающего центральный диск Эйри дифракционной картины . Это число точнее 1,21966989... ( OEIS : A245461 ), первый ноль функции Бесселя первого рода первого порядка, деленный на π . $J_{1}(x)$

Формальный критерий Рэлея близок к эмпирическому пределу разрешения, найденному ранее английским астрономом У. Р. Доусом , который тестировал наблюдателей-людей на близких двойных звездах одинаковой яркости. Результат θ = 4,56/ D , где D в дюймах, а θ в угловых секундах , немного уже, чем рассчитанный с помощью критерия Рэлея. Расчет с использованием дисков Эйри в качестве функции рассеяния точки показывает, что при пределе Доуса наблюдается 5%-ный провал между двумя максимумами, тогда как при критерии Рэлея наблюдается 26,3%-ный провал. ^[3] Современные методы обработки изображений , включая деконволюцию функции рассеяния точки, позволяют разрешать двойные с еще меньшим угловым разделением.

Используя приближение малого угла , угловое разрешение может быть преобразовано в пространственное разрешение , Δ ℓ , путем умножения угла (в радианах) на расстояние до объекта. Для микроскопа это расстояние близко к фокусному расстоянию f объектива . Для этого случая критерий Рэлея гласит :

\Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}

Это радиус в плоскости изображения наименьшего пятна, на котором может быть сфокусирован коллимированный луч света , что также соответствует размеру наименьшего объекта, который может разрешить линза. ^[4] Размер пропорционален длине волны λ , и, таким образом, например, синий свет может быть сфокусирован в меньшее пятно, чем красный свет. Если линза фокусирует луч света с конечной протяженностью (например, лазерный луч), значение D соответствует диаметру светового луча, а не линзы. ^{[Примечание 1]} Поскольку пространственное разрешение обратно пропорционально D , это приводит к немного удивительному результату, что широкий луч света может быть сфокусирован в меньшем пятне, чем узкий. Этот результат связан со свойствами Фурье линзы.

Аналогичный результат справедлив для небольшого датчика, снимающего объект на бесконечности: угловое разрешение можно преобразовать в пространственное разрешение датчика, используя f в качестве расстояния до датчика изображения; это связывает пространственное разрешение изображения с числом f ,ж /#:

\Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)

Поскольку это радиус диска Эйри, то разрешение лучше оценивать по диаметру, $2.44\лямбда \cdot (f/\#)$

Конкретные случаи

Одиночный телескоп

Точечные источники, разделенные углом, меньшим углового разрешения, не могут быть разрешены. Один оптический телескоп может иметь угловое разрешение менее одной угловой секунды , но астрономическое зрение и другие атмосферные эффекты делают достижение этого очень сложным.

Угловое разрешение R телескопа обычно можно приблизительно оценить по формуле

R={\frac {\lambda }{D}}

где λ — длина волны наблюдаемого излучения, а D — диаметр объектива телескопа . Полученное значение R выражается в радианах . Например, в случае желтого света с длиной волны 580 нм для разрешения 0,1 угловой секунды нам необходимо D=1,2 м. Источники, превышающие угловое разрешение, называются протяженными источниками или диффузными источниками, а меньшие источники называются точечными источниками.

Эта формула для света с длиной волны около 562 нм также называется пределом Дауэса .

Телескопическая решетка

Наивысшее угловое разрешение для телескопов может быть достигнуто с помощью массивов телескопов, называемых астрономическими интерферометрами : эти инструменты могут достигать углового разрешения 0,001 угловой секунды на оптических длинах волн и гораздо более высокого разрешения на рентгеновских длинах волн. Для выполнения визуализации синтеза апертуры требуется большое количество телескопов, расположенных в 2-мерном расположении с размерной точностью лучше, чем доля (0,25x) требуемого разрешения изображения.

Угловое разрешение R интерферометрической решетки обычно можно приблизительно оценить по формуле

R={\frac {\lambda }{B}}

где λ — длина волны наблюдаемого излучения, а B — длина максимального физического разделения телескопов в массиве, называемая базовой линией . Результирующее значение R выражается в радианах . Источники, превышающие угловое разрешение, называются протяженными источниками или диффузными источниками, а меньшие источники называются точечными источниками.

Например, для формирования изображения в желтом свете с длиной волны 580 нм с разрешением 1 угловая миллисекунда нам понадобятся телескопы, расположенные в решетке размером 120 м × 120 м с точностью измерения лучше 145 нм.

Микроскоп

Разрешение R (здесь измеряется как расстояние, не путать с угловым разрешением предыдущего подраздела) зависит от угловой апертуры : ^[5] $\альфа$

R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{конденсатор}}+\mathrm {NA} _{\text{objective}}}}

где .

\mathrm {NA} =n\sin \theta

Здесь NA — числовая апертура , — половина угла раствора линзы, который зависит от диаметра линзы и ее фокусного расстояния, — показатель преломления среды между линзой и образцом, — длина волны света, освещающего или исходящего от образца (в случае флуоресцентной микроскопии). $\тета$ $\альфа$ $n$ $\лямбда$

Из этого следует, что NA как объектива, так и конденсора должны быть максимально высокими для максимального разрешения. В случае, если NA обоих объективов одинаковы, уравнение можно свести к следующему:

R={\frac {0,61\lambda }{\mathrm {NA} }}\approx {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}

Практический предел составляет около 70°. В сухом объективе или конденсоре это дает максимальную NA 0,95. В масляной иммерсионной линзе высокого разрешения максимальная NA обычно составляет 1,45 при использовании иммерсионного масла с показателем преломления 1,52. Из-за этих ограничений предел разрешения светового микроскопа, использующего видимый свет, составляет около 200 нм . Учитывая, что самая короткая длина волны видимого света — фиолетовый ( ), $\тета$ $\lambda \около 400\,\mathrm {нм}$

R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}

что составляет около 200 нм.

Масляно-иммерсионные объективы могут иметь практические трудности из-за малой глубины резкости и чрезвычайно короткого рабочего расстояния, что требует использования очень тонких (0,17 мм) покровных стекол или, в инвертированном микроскопе, тонких чашек Петри со стеклянным дном .

Однако разрешение ниже этого теоретического предела может быть достигнуто с помощью микроскопии сверхвысокого разрешения . К ним относятся оптические ближние поля ( сканирующий оптический микроскоп ближнего поля ) или метод дифракции, называемый 4Pi STED микроскопией . Объекты размером до 30 нм были разрешены с помощью обоих методов. ^[6]^[7] В дополнение к этому фотоактивированная локализационная микроскопия может разрешать структуры такого размера, но также способна давать информацию в направлении z (3D).

Список телескопов и решеток по угловому разрешению

Смотрите также

Примечания

^ В случае лазерных лучей анализ Гауссовой оптики более уместен, чем критерий Рэлея, и может выявить меньший размер пятна, ограниченного дифракцией, чем тот, который указан в приведенной выше формуле.

Ссылки

^ Борн, М.; Вольф , Э. (1999). Принципы оптики . Cambridge University Press . стр. 461. ISBN 0-521-64222-1.
^ ab Лорд Рэлей, FRS (1879). «Исследования по оптике, с особым упором на спектроскоп». Philosophical Magazine . 5. 8 (49): 261–274. doi :10.1080/14786447908639684.
^ Мишале, X. (2006). «Использование статистики фотонов для повышения разрешения микроскопии». Труды Национальной академии наук . 103 (13): 4797–4798. Bibcode : 2006PNAS..103.4797M. doi : 10.1073/pnas.0600808103 . PMC 1458746. PMID 16549771 .
^ "Дифракция: дифракция Фраунгофера на круглой апертуре" (PDF) . Melles Griot Optics Guide . Melles Griot. 2002. Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-08 . Получено 2011-07-04 .
^ Дэвидсон, М. В. "Разрешение". Микроскопия NikonU . Nikon . Получено 01.02.2017 .
^ Pohl, DW; Denk, W.; Lanz, M. (1984). "Оптическая стетоскопия: запись изображения с разрешением λ/20". Applied Physics Letters . 44 (7): 651. Bibcode : 1984ApPhL..44..651P. doi : 10.1063/1.94865 .
^ Dyba, M. "4Pi-STED-Microscopy..." Общество Макса Планка , Отделение нанобиофотоники . Получено 01.02.2017 .
^ «Изображения с самым высоким угловым разрешением в астрономии». Институт радиоастрономии Макса Планка . 2022-05-13 . Получено 2022-09-26 .
^ de Zeeuw, Tim (2017). «Достижение новых высот в астрономии — долгосрочные перспективы ESO». The Messenger . 166 : 2. arXiv : 1701.01249 .
^ "Космический телескоп Хаббл". NASA . 2007-04-09 . Получено 2022-09-27 .
^ Далкантон, Джулианна; Сигер, Сара; Эгрейн, Сюзанна; Баттель, Стив; Брандт, Нил; Конрой, Чарли; Файнберг, Ли; Гезари, Суви; Гийон, Оливье; Харрис, Уолт; Хирата, Крис; Мазер, Джон; Постман, Марк; Реддинг, Дэйв; Шиминович, Дэвид; Шталь, Х. Филипп; Тамлинсон, Джейсон (2015). «От космического рождения к живым Землям: будущее космической астрономии UVOIR». arXiv : 1507.04779 [astro-ph.IM].
^ "FAQ Full General Public Webb Telescope/NASA". jwst.nasa.gov . 2002-09-10 . Получено 2022-09-27 .

Внешние ссылки

«Концепции и формулы в микроскопии: разрешение» Майкла У. Дэвидсона, Nikon MicroscopyU (веб-сайт).