Полигональный номер

В математике многоугольное число — это число , представленное в виде точек или камушков, расположенных в форме правильного многоугольника . Точки считаются альфами (единицами). Это один из видов двумерных фигурных чисел .

Определение и примеры

Например, число 10 можно расположить в виде треугольника (см. треугольное число ):

Но число 10 нельзя разложить в виде квадрата . Число 9, с другой стороны, может быть (см. квадратное число ):

Некоторые числа, например 36, можно расположить как в виде квадрата, так и в виде треугольника (см. квадратно-треугольное число ):

По соглашению, 1 — это первое число многоугольника с любым количеством сторон. Правило увеличения многоугольника до следующего размера состоит в том, чтобы удлинить два соседних плеча на одну точку, а затем добавить необходимые дополнительные стороны между этими точками. На следующих диаграммах каждый дополнительный слой показан красным.

Треугольные числа

Квадратные числа

Многоугольники с большим числом сторон, такие как пятиугольники и шестиугольники, также могут быть построены в соответствии с этим правилом, хотя точки больше не будут образовывать идеально правильную решетку, как указано выше.

Пятиугольные числа

Шестиугольные числа

Формула

s - гональное число можно разложить на s −2 треугольных числа и натуральное число.

Если s — количество сторон многоугольника, формула для n -го числа s -угольника P ( s , n ) имеет вид

${\displaystyle P(s,n)={\frac {(s-2)n^{2}-(s-4)n}{2}}}$

или

${\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}$

n - е s _- угольное число связано также с треугольными числами Tn следующим образом: ^[1]

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

Таким образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}P(s,n+1)-P(s,n)&=(s-2)n+1\,,\\P(s+1,n)-P(s,n)&=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,,\\P(s+k,n)-P(s,n)&=kT_{n-1}=k{\frac {n(n-1)}{2}}\,.\end{aligned}}}$

Для данного s -угольного числа P ( s , n ) = x можно найти n по формуле

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+{(s-4)}^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}}$

и можно найти s по

${\displaystyle s=2+{\frac {2}{n}}\cdot {\frac {x-n}{n-1}}}$.

Каждое шестиугольное число является также треугольным числом.

Применяя формулу выше:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}$

для случая 6 сторон дает:

${\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}$

но с тех пор:

${\displaystyle T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}}$

следует, что:

${\displaystyle P(6,n)={\frac {4n(n-1)}{2}}+n={\frac {2n(2n-2)}{2}}=T_{2n-1}}$

Это показывает, что n -е шестиугольное число P (6, n ) также является (2 n - 1) -м треугольным числом T _{2 n -1} . Мы можем найти каждое шестиугольное число, просто взяв нечетные треугольные числа: ^[1]

1 , 3, 6 , 10, 15 , 21, 28 , 36, 45 , 55, 66 , ...

Таблица значений

Первые 6 значений в столбце «сумма обратных величин» для чисел от треугольных до восьмиугольных взяты из опубликованного решения общей проблемы, которое также дает общую формулу для любого количества сторон в терминах дигамма- функции . ^[2]

Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей избегает терминов с греческими префиксами (например, «восьмиугольный») в пользу терминов, использующих цифры (например, «8-угольный»).

Свойство этой таблицы может быть выражено следующим тождеством (см. A086270):

${\displaystyle 2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),}$

с

${\displaystyle k=0,1,2,3,...,s-3.}$

Комбинации

Некоторые числа, например 36, которое является одновременно квадратным и треугольным, распадаются на два многоугольных набора. Проблему определения по двум таким наборам всех чисел, принадлежащих обоим, можно решить, сведя задачу к уравнению Пелля . Простейшим примером этого является последовательность квадратных треугольных чисел .

В следующей таблице суммирован набор s -угольных t -гональных чисел для небольших значений s и t .

В некоторых случаях, например, s = 10 и t = 4 , в обоих наборах нет чисел, кроме 1.

Задача нахождения чисел, принадлежащих трем многоугольным множествам, более сложна. Компьютерный поиск пятиугольных, квадратных, треугольных чисел дал только тривиальное значение 1, хотя доказательство того, что других таких чисел не существует, еще не найдено. ^[4]

Число 1225 бывает гекатоникозитрагональным ( s = 124 ), шестиконтагональным ( s = 60 ), икосиеннеагональным ( s = 29 ), шестиугольным, квадратным и треугольным.

За исключением того, что каждый набор многоугольников содержится в наборе 2-угольников (натуральных чисел), единственный набор многоугольников, который, как известно, полностью содержится в другом наборе многоугольников, - это набор шестиугольных чисел, который содержится в наборе треугольных чисел. цифры. ^{[ нужна цитата ]}

Смотрите также

• Центрированное многоугольное число
• Многогранное число
• Теорема Ферма о многоугольных числах

Примечания

1. Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард (6 декабря 2012 г.). Книга чисел . Springer Science & Business Media. стр. 38–41. ISBN 978-1-4612-4072-3.
2. «Суммы обратных величин многоугольных чисел и теорема Гаусса» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 июня 2011 г. Проверено 13 июня 2010 г.
3. «Помимо Базельской проблемы: суммы обратных величин фигурных чисел» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 29 мая 2013 г. Проверено 13 мая 2010 г.
4. Вайсштейн, Эрик В. «Пятиугольное квадратное треугольное число». Математический мир .

Рекомендации

• Словарь любопытных и интересных чисел Penguin , Дэвид Уэллс ( Penguin Books , 1997) [ ISBN 0-14-026149-4 ]. 
• Полигональные числа в PlanetMath
• Вайсштейн, Эрик В. «Многоугольные числа». Математический мир .
• Ф. Тэпсон (1999). Оксфордский учебный словарь по математике (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 88–89. ISBN 0-19-914-567-9.

Внешние ссылки

• «Многоугольное число», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Многоугольные числа: каждое s-полигональное число от 1 до 1000 кликабельно для 2<=s<=337.
• Многоугольные числа на сетке спирали Улама на YouTube
• Функция подсчета многоугольных чисел: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853