Золотой угол

Угол, созданный путем применения золотого сечения к кругу

Золотой угол — это угол, образованный меньшей (красной) дугой, когда две дуги, составляющие круг, находятся в золотом сечении.

В геометрии золотой угол — это меньший из двух углов , образованных путем сечения окружности в соответствии с золотым сечением ; то есть на две дуги так, чтобы отношение длины меньшей дуги к длине большей дуги было таким же, как отношение длины большей дуги к полной окружности круга.

Алгебраически, пусть a+b — длина окружности , разделенной на более длинную дугу длины a и меньшую дугу длины b такую, что

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

Золотой угол — это угол , образованный меньшей дугой длиной b . Его размеры составляют приблизительно 137,5077640500378546463487 ...° OEIS : A096627 или в радианах 2,39996322972865332... OEIS : A131988 .

Название происходит от связи золотого угла с золотым сечением φ ; точное значение золотого угла

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ degrees}}}$

или

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radians}},}$

где эквивалентности следуют из известных алгебраических свойств золотого сечения.

Поскольку его синус и косинус являются трансцендентными числами , золотой угол невозможно построить с помощью линейки и циркуля . ^[1]

Вывод

Золотое сечение равно φ  =  a / b с учетом вышеуказанных условий.

Пусть ƒ будет частью окружности, образуемой золотым углом, или, что то же самое, золотым углом, разделенным на угловое измерение круга.

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

Но с тех пор

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

следует, что

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

Это эквивалентно тому, что золотые углы φ  ² могут вписаться в круг.

Следовательно, доля круга, занимаемая золотым углом, равна

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

Таким образом, золотой угол g можно численно аппроксимировать в градусах следующим образом:

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

или в радианах как:

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

Золотой угол в природе

Угол между последовательными цветками некоторых цветов называется золотым углом.

Анимация, имитирующая нерест семян подсолнечника из центральной меристемы, где следующее семя ориентировано на один золотой угол от предыдущего семени.

Золотой угол играет значительную роль в теории филлотаксиса ; например, золотой угол — это угол, разделяющий цветки подсолнуха . ^[2] Анализ рисунка показывает, что он очень чувствителен к углу, разделяющему отдельные зачатки , причем угол Фибоначчи дает парастихию с оптимальной плотностью упаковки. ^[3]

Математическое моделирование вероятного физического механизма развития цветков показало закономерность, возникающую спонтанно в результате решения нелинейного уравнения в частных производных на плоскости. ^{[4] [5]}

Смотрите также

• 137 (число)
• 138 (число)

Рекомендации

1. Фрейтас, Педро Дж. (25 января 2021 г.). «Золотой угол невозможно построить». arXiv : 2101.10818v1 . Бибкод : 2021arXiv210110818F. {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
2. Дженнифер Чу (12 января 2011 г.). "А вот и Солнце". Новости МТИ . Проверено 22 апреля 2016 г.
3. Ридли, JN (февраль 1982 г.). «Эффективность упаковки головок подсолнечника». Математические биологические науки . 58 (1): 129–139. дои : 10.1016/0025-5564(82)90056-6.
4. Пеннибакер, Мэтью; Ньюэлл, Алан К. (13 июня 2013 г.). «Филлотаксис, толкающие фронты, образующие узор, и оптимальная упаковка» (PDF) . Письма о физических отзывах . 110 (24): 248104. arXiv : 1301.4190 . Бибкод : 2013PhRvL.110x8104P. doi : 10.1103/PhysRevLett.110.248104 . ISSN  0031-9007. ПМИД  25165965.
5. «Подсолнухи и Фибоначчи: модели эффективности». Это математика . 05.06.2014 . Проверено 23 мая 2020 г.

• Фогель, Х (1979). «Лучший способ сделать головку подсолнуха». Математические биологические науки . 44 (3–4): 179–189. дои : 10.1016/0025-5564(79)90080-4.
• Прусинкевич, Пшемыслав ; Линденмайер, Аристид (1990). Алгоритмическая красота растений. Спрингер-Верлаг. стр. 101–107. ISBN 978-0-387-97297-8.

Внешние ссылки

• Золотой угол в MathWorld