Удержание нулевого порядка

Модель восстановления сигнала в цифро-аналоговых (ЦАП) преобразователях

Удержание нулевого порядка ( ZOH ) — это математическая модель практической реконструкции сигнала , выполняемой обычным цифро-аналоговым преобразователем (DAC). То есть он описывает эффект преобразования сигнала дискретного времени в сигнал непрерывного времени путем хранения каждого значения выборки в течение одного интервала выборки. Он имеет несколько применений в электросвязи.

Модель во временной области

Рисунок 1. Прямоугольная функция со сдвигом по времени и масштабированием по времени, используемая при анализе ZOH во временной области.

Рисунок 2. Кусочно-постоянный сигнал x _ZOH ( t ).

Рисунок 3. Модулированная гребенка Дирака x _s ( t ).

Удержание нулевого порядка восстанавливает следующую форму сигнала непрерывного времени из выборочной последовательности x [ n ], предполагая одну выборку за интервал времени T :

$${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)\,=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2-nT}{T}}\right)}$$

прямоугольная функция ${\displaystyle \mathrm {rect} (\cdot )}$

Функция изображена на рисунке 1 и представляет собой кусочно-постоянный сигнал, изображенный на рисунке 2. ${\displaystyle \mathrm {rect} \left({\frac {t-T/2}{T}}\right)}$ ${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)}$

Модель частотной области

Приведенное выше уравнение для выходного сигнала ZOH также можно смоделировать как выходной сигнал линейного неизменяемого во времени фильтра с импульсной характеристикой, равной прямоугольной функции, а входными данными является последовательность импульсов Дирака, масштабированных до значений выборки. Затем фильтр можно проанализировать в частотной области для сравнения с другими методами реконструкции, такими как формула интерполяции Уиттекера-Шеннона, предложенная теоремой выборки Найквиста-Шеннона , или такими, как удержание первого порядка или линейная интерполяция между значениями выборки.

В этом методе последовательность импульсов Дирака x _s ( t ) , представляющих дискретные выборки x [ n ], фильтруется низкими частотами для восстановления сигнала непрерывного времени x ( t ).

Несмотря на то, что ЦАП в действительности не делает этого, выходной сигнал ЦАП можно смоделировать, применив гипотетическую последовательность импульсов Дирака x _s ( t ) к линейному, неизменяемому во времени фильтру с такими характеристиками (который для LTI системы полностью описываются импульсной характеристикой ), так что каждый входной импульс приводит к правильному постоянному импульсу на выходе.

Начните с определения сигнала непрерывного времени на основе значений выборки, как указано выше, но используя дельта-функции вместо прямоугольных функций:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{s}(t)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta \left({\frac {t-nT}{T}}\right)\\&{}=T\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT).\end{aligned}}}$$

Масштабирование на , которое возникает естественным путем масштабирования дельта-функции по времени, приводит к тому, что среднее значение x _s ( t ) равно среднему значению выборок, так что необходимый фильтр нижних частот будет иметь коэффициент усиления по постоянному току, равный 1. Некоторые авторы используют это масштабирование, ^[1] в то время как многие другие опускают масштабирование по времени и T , что приводит к модели фильтра нижних частот с коэффициентом усиления по постоянному току T и, следовательно, зависящей от единиц измерения времени. ${\displaystyle T}$

Рис. 4. Импульсная характеристика удержания нулевого порядка h _ZOH ( t ). Она идентична прямоугольной функции на рисунке 1, за исключением того, что ее площадь теперь масштабирована до 1, поэтому коэффициент усиления по постоянному току фильтра будет равен 1.

Удержание нулевого порядка — это гипотетический фильтр или система LTI , которая преобразует последовательность модулированных импульсов Дирака x _s ( t ) в кусочно-постоянный сигнал (показанный на рисунке 2):

$${\displaystyle x_{\mathrm {ZOH} }(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \mathrm {rect} \left({\frac {t-nT}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)}$$

импульсной характеристике

$${\displaystyle h_{\mathrm {ZOH} }(t)\,={\frac {1}{T}}\mathrm {rect} \left({\frac {t}{T}}-{\frac {1}{2}}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{T}}&{\text{if }}0\leq t<T\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Эффективная частотная характеристика представляет собой непрерывное преобразование Фурье импульсной характеристики.

$${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(f)={\mathcal {F}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}={\frac {1-e^{-i2\pi fT}}{i2\pi fT}}=e^{-i\pi fT}\mathrm {sinc} (fT)}$$

функция sinc, ${\displaystyle \mathrm {sinc} (x)}$ ${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

Передаточная функция преобразования Лапласа ZOH находится путем замены s = i 2 π f :

$${\displaystyle H_{\mathrm {ZOH} }(s)={\mathcal {L}}\{h_{\mathrm {ZOH} }(t)\}\,={\frac {1-e^{-sT}}{sT}}\ }$$

Тот факт, что практические цифро-аналоговые преобразователи (DAC) не выдают последовательность дираковских импульсов x _s ( t ) (которая, если в идеале ее фильтровать низкими частотами, перед дискретизацией привела бы к уникальному базовому сигналу с ограниченной полосой пропускания), но вместо этого выведите последовательность прямоугольных импульсов x _ZOH ( t ) ( кусочно-постоянная функция), что означает, что существует неотъемлемое влияние ZOH на эффективную частотную характеристику ЦАП, что приводит к небольшому спаду усиления на частоте более высокие частоты (потеря 3,9224 дБ на частоте Найквиста , что соответствует усилению sinc(1/2) = 2/π). Это падение является следствием свойства удержания обычного ЦАП, а не связано с выборкой и удержанием , которые могут предшествовать обычному аналого-цифровому преобразователю (АЦП).

Смотрите также

• Теорема выборки Найквиста – Шеннона
• Удержание первого порядка
• Дискретизация линейных моделей пространства состояний (при условии соблюдения нулевого порядка)

Рекомендации

1. Кен К. Полманн (2000). Принципы цифрового звука (пятое изд.). МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-144156-5.