Деформация (физика)

Преобразование тела из исходной конфигурации в текущую конфигурацию

В физике и механике сплошных сред деформация — это изменение формы или размера объекта. Она имеет размерность длины с единицей СИ метр (м ) . Она количественно определяется как остаточное смещение частиц в нежестком теле от начальной конфигурации до конечной конфигурации, исключая среднее перемещение и вращение тела (его жесткое преобразование ). ^[1] Конфигурация — это набор, содержащий положения всех частиц тела.

Деформация может возникнуть из-за внешних нагрузок , ^[2] внутренней активности (например, сокращения мышц ), сил тела (таких как гравитация или электромагнитные силы ) или изменений температуры, влажности или химических реакций и т. д.

В непрерывном теле поле деформации возникает из-за поля напряжений , вызванного приложенными силами или некоторыми изменениями в состоянии тела. Связь между напряжением и деформацией (относительной деформацией) выражается материальными уравнениями , например, законом Гука для линейно-упругих материалов.

Деформации, которые прекращают свое существование после снятия поля напряжений, называются упругими деформациями . В этом случае континуум полностью восстанавливает свою первоначальную конфигурацию. С другой стороны, необратимые деформации могут оставаться, и они существуют даже после снятия напряжений. Одним из типов необратимых деформаций является пластическая деформация , которая происходит в материальных телах после того, как напряжения достигают определенного порогового значения, известного как предел упругости или предел текучести , и является результатом скольжения или механизмов дислокации на атомном уровне. Другим типом необратимых деформаций является вязкая деформация , которая является необратимой частью вязкоупругой деформации. В случае упругих деформаций функция отклика, связывающая деформацию с деформирующим напряжением, является тензором податливости материала.

Определение и формулировка

Деформация — это изменение метрических свойств непрерывного тела, то есть кривая, нарисованная в исходном положении тела, изменяет свою длину при перемещении на кривую в конечном положении. Если ни одна из кривых не изменяет длину, говорят, что произошло перемещение жесткого тела .

Удобно определить опорную конфигурацию или начальное геометрическое состояние тела континуума, от которого отсчитываются все последующие конфигурации. Опорная конфигурация не обязательно должна быть той, которую тело фактически когда-либо займет. Часто конфигурация в момент t = 0 считается опорной конфигурацией, κ ₀ ( B ) . Конфигурация в текущий момент времени t является текущей конфигурацией .

Для анализа деформации эталонная конфигурация определяется как недеформированная конфигурация , а текущая конфигурация как деформированная конфигурация . Кроме того, при анализе деформации время не учитывается, поэтому последовательность конфигураций между недеформированной и деформированной конфигурациями не представляет интереса.

Компоненты X _i вектора положения X частицы в исходной конфигурации, взятые относительно исходной системы координат, называются материальными или исходными координатами . С другой стороны, компоненты x _i вектора положения x частицы в деформированной конфигурации, взятые относительно пространственной системы координат отсчета, называются пространственными координатами .

Существует два метода анализа деформации континуума. Одно описание делается в терминах материальных или референтных координат, оно называется материальным описанием или лагранжевым описанием . Второе описание деформации делается в терминах пространственных координат, оно называется пространственным описанием или эйлеровым описанием .

При деформации сплошного тела имеет место непрерывность в том смысле, что:

• Материальные точки, образующие замкнутую кривую в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую кривую в любой последующий момент времени.
• Материальные точки, образующие замкнутую поверхность в любой момент времени, всегда будут образовывать замкнутую поверхность в любой последующий момент времени, и материя внутри замкнутой поверхности всегда будет оставаться внутри.

Аффинная деформация

Аффинная деформация — это деформация, которая может быть полностью описана аффинным преобразованием . Такое преобразование состоит из линейного преобразования (такого как вращение, сдвиг, растяжение и сжатие) и трансляции жесткого тела. Аффинные деформации также называются однородными деформациями . ^[3]

Таким образом, аффинная деформация имеет вид , где x — положение точки в деформированной конфигурации, X — положение в опорной конфигурации, t — параметр, подобный времени, F — линейный трансформатор, а c — трансляция. В матричной форме, где компоненты находятся относительно ортонормированного базиса, $${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {F}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{11}(t)&F_{12}(t)&F_{13}(t)\\F_{21}(t)&F_{22}(t)&F_{23}(t)\\F_{31}(t)&F_{32}(t)&F_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Вышеуказанная деформация становится неаффинной или неоднородной, если F = F ( X , t ) или c = c ( X , t ) .

Движение твердого тела

Движение твердого тела — это особая аффинная деформация, которая не включает в себя сдвиг, расширение или сжатие. Матрица преобразования F является собственно ортогональной , чтобы допускать вращения, но не отражения .

Движение твердого тела можно описать следующим образом : В матричной форме: $${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {Q}}(t)\cdot \mathbf {X} +\mathbf {c} (t)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {Q}}\cdot {\boldsymbol {Q}}^{T}={\boldsymbol {Q}}^{T}\cdot {\boldsymbol {Q}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\\x_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{11}(t)&Q_{12}(t)&Q_{13}(t)\\Q_{21}(t)&Q_{22}(t)&Q_{23}(t)\\Q_{31}(t)&Q_{32}(t)&Q_{33}(t)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}c_{1}(t)\\c_{2}(t)\\c_{3}(t)\end{bmatrix}}}$$

Предыстория: перемещение

Рисунок 1. Движение сплошного тела.

Изменение конфигурации сплошного тела приводит к смещению . Смещение тела имеет две составляющие: смещение твердого тела и деформацию. Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения и вращения тела без изменения его формы или размера. Деформация подразумевает изменение формы и/или размера тела от начальной или недеформированной конфигурации κ ₀ ( B ) до текущей или деформированной конфигурации κ _t ( B ) (рисунок 1).

Если после смещения континуума происходит относительное смещение между частицами, то произошла деформация. С другой стороны, если после смещения континуума относительное смещение между частицами в текущей конфигурации равно нулю, то деформации нет и говорят, что произошло смещение твердого тела.

Вектор, соединяющий положения частицы P в недеформированной конфигурации и деформированной конфигурации, называется вектором смещения u ( X , t ) = u _i e _i в лагранжевом описании или U ( x , t ) = U _J E _J в эйлеровом описании.

Поле смещения — это векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Анализ деформации или движения сплошного тела удобно проводить в терминах поля смещения. В общем случае поле смещения выражается в терминах материальных координат как или в терминах пространственных координат как где α _Ji — направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами E _J и e _i соответственно. Таким образом , и связь между u _i и U _J тогда задается как $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {X} ,t)+\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {b} (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$$ $${\displaystyle u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$$

Зная, что тогда $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J}}$$ $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}\mathbf {E} _{J})=U_{J}\mathbf {E} _{J}=\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)}$$

Обычно системы координат для недеформированной и деформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к b = 0 , а направляющие косинусы становятся дельта-символами Кронекера : $${\displaystyle \mathbf {E} _{J}\cdot \mathbf {e} _{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$$

Таким образом, мы имеем или в терминах пространственных координат как $${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \qquad {\text{or}}\qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}$$ $${\displaystyle \mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\qquad {\text{or}}\qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}$$

Тензор градиента смещения

Частное дифференцирование вектора смещения по материальным координатам дает тензор градиента смещения материала ∇ _X u . Таким образом, имеем: или где F — тензор градиента деформации . $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} (\mathbf {X} ,t)&=\mathbf {x} (\mathbf {X} ,t)-\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {x} -\mathbf {I} \\\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} &=\mathbf {F} -\mathbf {I} \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{i}&=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}\\{\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}&={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}\end{aligned}}}$$

Аналогично, частная дифференциация вектора смещения по пространственным координатам дает тензор градиента пространственного смещения ∇ _x U. Таким образом, мы имеем, или $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} (\mathbf {x} ,t)&=\mathbf {x} -\mathbf {X} (\mathbf {x} ,t)\\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {X} \\\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {U} &=\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-1}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}U_{J}&=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}\\{\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}&=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}\end{aligned}}}$$

Примеры

Однородные (или аффинные) деформации полезны для объяснения поведения материалов. Некоторые однородные деформации, представляющие интерес,

• равномерное расширение
• чистое расширение
• равнодвухосное растяжение
• простой сдвиг
• чистый сдвиг

Линейные или продольные деформации длинных объектов, таких как балки и волокна, называются удлинением или укорочением ; производными величинами являются относительное удлинение и коэффициент растяжения .

Плоские деформации также представляют интерес, особенно в экспериментальном контексте.

Объемная деформация представляет собой равномерное масштабирование вследствие изотропного сжатия ; относительная объемная деформация называется объемной деформацией .

Плоская деформация

Плоская деформация, также называемая плоской деформацией , — это деформация, при которой деформация ограничена одной из плоскостей в исходной конфигурации. Если деформация ограничена плоскостью, описываемой базисными векторами e ₁ , e ₂ , градиент деформации имеет вид В матричной форме, Из теоремы о полярном разложении градиент деформации, с точностью до изменения координат, может быть разложен на растяжение и поворот. Поскольку вся деформация находится в плоскости, мы можем записать ^[3] где θ — угол поворота, а λ ₁ , λ ₂ — главные растяжения . $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{11}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{12}\mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+F_{21}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}\otimes \mathbf {e} _{3}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}F_{11}&F_{12}&0\\F_{21}&F_{22}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {U}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Изохорическая плоская деформация

Если деформация изохорическая (сохраняющая объем), то det( F ) = 1 и мы имеем Альтернативно, $${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1}$$ $${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}=1}$$

Простой сдвиг

Простая деформация сдвига определяется как изохорная плоская деформация, в которой существует набор линейных элементов с заданной опорной ориентацией, которые не меняют длину и ориентацию во время деформации. ^[3]

Если e ₁ — фиксированная опорная ориентация, в которой линейные элементы не деформируются во время деформации, то λ ₁ = 1 и F · e ₁ = e _1. Следовательно, Поскольку деформация изохорная, Определим Тогда градиент деформации при простом сдвиге можно выразить как Теперь, поскольку мы также можем записать градиент деформации как $${\displaystyle F_{11}\mathbf {e} _{1}+F_{21}\mathbf {e} _{2}=\mathbf {e} _{1}\quad \implies \quad F_{11}=1~;~~F_{21}=0}$$ $${\displaystyle F_{11}F_{22}-F_{12}F_{21}=1\quad \implies \quad F_{22}=1}$$ $${\displaystyle \gamma :=F_{12}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\begin{bmatrix}1&\gamma &0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}\cdot \mathbf {e} _{2}=F_{12}\mathbf {e} _{1}+F_{22}\mathbf {e} _{2}=\gamma \mathbf {e} _{1}+\mathbf {e} _{2}\quad \implies \quad {\boldsymbol {F}}\cdot (\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2})=\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{2}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$ $${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}+\gamma \mathbf {e} _{1}\otimes \mathbf {e} _{2}}$$

Смотрите также

• Деформация длинных элементов, таких как балки или стойки, под действием изгибающих сил называется прогибом .
• Теория балок Эйлера–Бернулли
• Деформация (инженерная)
• Теория конечных деформаций
• Теория бесконечно малых деформаций
• Муаровый узор
• Модуль сдвига
• Напряжение сдвига
• Прочность на сдвиг
• Деформация (механика)
• Напряжение (механика)
• Меры по снятию стресса

Ссылки

1. Truesdell, C.; Noll, W. (2004). Нелинейные полевые теории механики (3-е изд.). Springer. стр. 48.
2. Wu, H.-C. (2005). Механика сплошной среды и пластичность . CRC Press. ISBN 1-58488-363-4.
3. Огден, Р. В. (1984). Нелинейные упругие деформации . Довер.

Дальнейшее чтение

• Базант, Зденек П.; Чедолин, Луиджи (2010). Неустойчивости трехмерного континуума и эффекты тензора конечной деформации, глава 11 в «Устойчивости конструкций», 3-е изд. Сингапур, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing. ISBN 978-9814317030.
• Дилл, Эллис Гарольд (2006). Механика сплошной среды: упругость, пластичность, вязкоупругость. Германия: CRC Press. ISBN 0-8493-9779-0.
• Hutter, Kolumban; Jöhnk, Klaus (2004). Континуальные методы физического моделирования. Германия: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
• Йирасек, М.; Базант, З.П. (2002). Неупругий анализ конструкций. Лондон и Нью-Йорк: J. Wiley & Sons. ISBN 0471987166.
• Лубарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности. ЦРК Пресс. ISBN 0-8493-1138-1.
• Macosko, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . VCH Publishers. ISBN 1-56081-579-5.
• Mase, George E. (1970). Механика сплошной среды. McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
• Mase, G. Thomas; Mase, George E. (1999). Механика сплошной среды для инженеров (2-е изд.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
• Nemat-Nasser, Sia (2006). Пластичность: Трактат о конечной деформации гетерогенных неупругих материалов. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83979-3.
• Прагер, Уильям (1961). Введение в механику сплошных сред. Бостон: Ginn and Co. ISBN 0486438090.