В математическом образовании шли дебаты по вопросу о том, следует ли преподавать операцию умножения как форму повторного сложения . Участники дебатов подняли несколько точек зрения, включая аксиомы арифметики, педагогики, обучения и учебного проектирования, истории математики, философии математики и компьютерной математики.
В начале 1990-х годов Лесли Стефф предложил схему подсчета, которую дети используют для усвоения умножения в своих математических знаниях. Джер Конфри противопоставил схему подсчета гипотезе о расщеплении. Конфри предположил, что подсчет и расщепление — это два отдельных, независимых когнитивных примитива. Это вызвало академические дискуссии в форме презентаций на конференциях, статей и глав книг. [1]
Дебаты начались с более широкого распространения учебных программ, которые делали упор на масштабирование, увеличение, складывание и измерение математических задач в ранние годы. Такие задачи требуют и поддерживают модели умножения, которые не основаны на счете или повторном сложении. Дебаты вокруг вопроса «Является ли умножение действительно повторным сложением?» появились на родительских и учительских дискуссионных форумах в середине 1990-х годов. [ необходима цитата ]
Кит Девлин написал колонку в Американской математической ассоциации под названием «Это не повторное сложение», которая стала продолжением его переписки по электронной почте с учителями после того, как он кратко упомянул эту тему в более ранней статье. [2] Колонка связала академические дебаты с дебатами практиков. Она вызвала множество дискуссий в научных исследованиях, а также в блогах и форумах практиков. Кит Девлин продолжил писать на эту тему. [3] [4] [5]
В типичных учебных программах и стандартах по математике, таких как Инициатива государственных стандартов Common Core , значение произведения действительных чисел проходит через ряд понятий, обычно начинающихся с многократного сложения и в конечном итоге заключающихся в масштабировании.
После того, как натуральные (или целые) числа определены и поняты как средство счета, ребенок знакомится с основными операциями арифметики в следующем порядке: сложение, вычитание, умножение и деление. Эти операции, хотя и вводятся на очень раннем этапе обучения ребенка математике, оказывают длительное влияние на развитие чувства числа у учащихся как продвинутых числовых способностей.
В этих учебных программах умножение вводится сразу после постановки вопросов, связанных с повторным сложением, например: «Имеется 3 мешка по 8 яблок в каждом. Сколько всего яблок?» Ученик может сделать следующее:
или выберите альтернативу
Этот подход поддерживается в течение нескольких лет преподавания и обучения и создает восприятие того, что умножение — это просто более эффективный способ сложения. Как только вводится 0, это не приводит к каким-либо существенным изменениям, потому что
что равно 0, и коммутативное свойство привело бы нас также к определению
Таким образом, многократное сложение распространяется на целые числа (0, 1, 2, 3, 4, ...). Первый вызов убеждению, что умножение — это многократное сложение, появляется, когда ученики начинают работать с дробями. С математической точки зрения, умножение как многократное сложение может быть распространено на дроби. Например,
буквально требует «одну и три четверти пяти шестых». Это позже становится важным, потому что студентов учат, что в текстовых задачах слово «of» обычно указывает на умножение. Однако это расширение проблематично для многих студентов, которые начинают испытывать трудности с математикой, когда вводятся дроби. [ требуется цитата ] Более того, модель повторного сложения должна быть существенно изменена, когда в игру вступают иррациональные числа .
Что касается этих вопросов, преподаватели математики спорят о том, усугубляются ли трудности учащихся с дробями и иррациональными числами из-за того, что умножение рассматривается как многократное сложение в течение длительного времени до введения этих чисел, и, соответственно, допустимо ли существенно изменять строгую математику для начального образования, заставляя детей верить утверждениям, которые впоследствии оказываются неверными.
Одна из теорий обучения умножению происходит из работы русских педагогов математики в кружке Выготского , который действовал в Советском Союзе между мировыми войнами. Их вклад известен как гипотеза расщепления.
Другая теория обучения умножению исходит из исследований воплощенного познания , которые исследовали базовые метафоры умножения.
Вместе эти исследования вдохновили учебные программы с «по сути мультипликативными» заданиями для маленьких детей. [ требуется ссылка ] Примерами таких заданий являются: эластичное растяжение, масштабирование, складывание, проецирование теней или падение теней. Эти задания не зависят от счета и не могут быть легко концептуализированы в терминах повторного сложения.
Вопросы для обсуждения, связанные с этими учебными программами, включают:
Умножение часто определяется для натуральных чисел , а затем распространяется на целые числа, дроби и иррациональные числа. Однако абстрактная алгебра имеет более общее определение умножения как бинарной операции над некоторыми объектами, которые могут быть или не быть числами. В частности, можно умножать комплексные числа , векторы , матрицы и кватернионы . Некоторые педагоги [ требуется ссылка ] считают, что рассмотрение умножения исключительно как повторного сложения во время начального образования может помешать последующему пониманию этих аспектов умножения.
В контексте математического образования модели являются конкретными представлениями абстрактных математических идей, которые отражают некоторые или все существенные качества идеи. Модели часто разрабатываются как физические или виртуальные манипулятивы и учебные материалы, которые их сопровождают.
Частью дебатов об умножении и повторном сложении является сравнение различных моделей и их учебных материалов. Различные модели могут поддерживать или не поддерживать умножение различных типов чисел; например, модель множеств [6], в которой числа представлены как наборы объектов, а умножение как объединение нескольких множеств с одинаковым количеством объектов в каждом, не может быть распространена на умножение дробных или действительных чисел.
Различные модели могут также иметь отношение к конкретным приложениям арифметики; например, комбинированные модели встречаются в теории вероятностей и биологии.
