Покрытие пространства

Тип непрерывной карты в топологии

Интуитивно понятно, что покрытие локально проецирует «стопку блинов» над открытым районом на ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

В топологии покрытие или покрывающая проекция — это сюръективное отображение между топологическими пространствами , которое интуитивно локально действует как проекция множества копий пространства на себя. В частности, накрытия представляют собой специальные виды локальных гомеоморфизмов . Если — покрытие, то говорят, что оно является накрывающим пространством или покрытием , и называется основанием покрытия или просто основанием . Злоупотребляя терминологией , иногда их также можно назвать покрывающими пространствами . Поскольку накрытия являются локальными гомеоморфизмами, накрывающее пространство представляет собой особый вид этального пространства . ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle ({\tilde {X}},p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle p}$

Накрывающие пространства впервые возникли в контексте комплексного анализа (в частности, техники аналитического продолжения ), где они были введены Риманом как области, на которых естественно многозначные комплексные функции становятся однозначными. Эти пространства теперь называются римановыми поверхностями . ^{[1] : 10}

Покрывающие пространства являются важным инструментом в нескольких областях математики. В современной геометрии накрывающие пространства (или разветвленные накрытия , имеющие несколько более слабые условия) используются при построении многообразий , орбифолдов и морфизмов между ними. В алгебраической топологии накрывающие пространства тесно связаны с фундаментальной группой : во-первых, поскольку все покрытия обладают свойством гомотопического подъема , накрывающие пространства являются важным инструментом при вычислении гомотопических групп . Стандартный пример в этом духе — вычисление фундаментальной группы окружности посредством покрытия by (см. ниже). ^{[2] : 29} При определенных условиях накрывающие пространства также обнаруживают соответствие Галуа с подгруппами фундаментальной группы. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Определение

Пусть – топологическое пространство. Покрытие является непрерывным отображением ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$

такой, что для каждого существует открытая окрестность и дискретное пространство такие, что и является гомеоморфизмом для каждого . Открытые множества называются листами, которые однозначно определены с точностью до гомеоморфизма, если связно . ^{[2] : 56} Для каждого дискретное множество называется слоем . Если связно, то можно показать, что мощность одинакова для всех ; эта величина называется степенью покрытия. Если линейно -связно , то покрытие называется линейно-связным . Это определение эквивалентно утверждению, что является локально тривиальным расслоением Fiber . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{x})=\displaystyle \bigsqcup _{d\in D_{x}}V_{d}}$ ${\displaystyle \pi |_{V_{d}}:V_{d}\rightarrow U_{x}}$ ${\displaystyle d\in D_{x}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle U_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D_{x}}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle p}$

Примеры

• Для каждого топологического пространства тождественное отображение является покрытием. Аналогично для любого дискретного пространства проекция является покрытием. Покрытия этого типа называются тривиальными покрытиями ; если имеет конечное число (скажем ) элементов , покрытие называется тривиальным -листным покрытием . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {id} :X\rightarrow X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \pi :X\times D\rightarrow X}$ ${\displaystyle (x,i)\mapsto x}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Пространство является покрывающим пространством . Непересекающиеся открытые множества гомеоморфно отображаются на . Слой состоит из точек . ${\displaystyle Y=[0,1]\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X=[0,1]\times S^{1}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y_{i}}$

• Карта с является покрытием единичной окружности . Основание покрытия и пространство покрытия . Для любой точки такой , что множество является открытой окрестностью точки . Прообраз под _ ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2})\in S^{1}}$ ${\displaystyle x_{1}>0}$ ${\displaystyle U:=\{(x_{1},x_{2})\in S^{1}\mid x_{1}>0\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle r}$

  ${\displaystyle r^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{n\in \mathbb {Z} }\left(n-{\frac {1}{4}},n+{\frac {1}{4}}\right)}$

и листы покрытия предназначены для волокна ${\displaystyle V_{n}=(n-1/4,n+1/4)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle r^{-1}(x)=\{t\in \mathbb {R} \mid (\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))=x\}.}$

• Другое покрытие единичного круга — это карта с для некоторых. Для открытой окрестности a имеем: ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in S^{1}}$

${\displaystyle q^{-1}(U)=\displaystyle \bigsqcup _{i=1}^{n}U}$.

• Отображение, являющееся локальным гомеоморфизмом , но не покрывающим единичную окружность, имеет . Существует лист открытой окрестности , не отображающийся гомеоморфно на . ${\displaystyle p:\mathbb {R_{+}} \to S^{1}}$ ${\displaystyle p(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle (1,0)}$ ${\displaystyle U}$

Характеристики

Локальный гомеоморфизм

Так как накрытие отображает каждое из непересекающихся открытых множеств гомеоморфно на него, то оно является локальным гомеоморфизмом, т. е. является непрерывным отображением и для каждого существует открытая окрестность , такая, что является гомеоморфизмом. ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \pi |_{V}:V\rightarrow \pi (V)}$

Отсюда следует, что накрывающее пространство и базовое пространство локально имеют одни и те же свойства. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

• Если - связное и неориентируемое многообразие , то существует покрытие степени , вследствие чего является связным и ориентируемым многообразием. ^{[2] : 234} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Если — связная группа Ли , то существует покрытие , которое также является гомоморфизмом группы Ли и является группой Ли. ^{[3] : 174} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in X with }}\gamma (0)={\boldsymbol {1_{X}}}{\text{ modulo homotopy with fixed ends}}\}}$
• Если есть граф , то из этого следует, что покрытие также является графом. ^{[2] : 85} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle E}$
• Если – связное многообразие , то существует покрытие , при котором является связным и односвязным многообразием. ^{[4] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$
• Если — связная риманова поверхность , то существует покрытие , которое также является голоморфным отображением ^{[4] :22} и является связной и односвязной римановой поверхностью. ^{[4] : 32} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

Факторизация

Пусть и — линейно-связные, локально линейно-связные пространства, и — непрерывные отображения такие, что диаграмма ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle r}$

ездит на работу.

• Если и являются покрытиями, то и . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r}$
• Если и являются покрытиями, то и . ^{[5] : 485} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle q}$

Продукт покрытий

Пусть и — топологические пространства, и — покрытия, тогда с — покрытие. ^{[5] : 339} Однако покрытиями этой формы в целом являются не все. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X'}$ ${\displaystyle p\times p':E\times E'\rightarrow X\times X'}$ ${\displaystyle (p\times p')(e,e')=(p(e),p'(e'))}$ ${\displaystyle X\times X'}$

Эквивалентность покрытий

Пусть – топологическое пространство, и – покрытия. Оба накрытия называются эквивалентными , если существует гомеоморфизм такой, что диаграмма ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p':E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle h:E\rightarrow E'}$

ездит на работу. Если такой гомеоморфизм существует, то накрывающие пространства и называют изоморфными . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E'}$

Подъемное имущество

Все покрытия обладают подъемным свойством , т.е.:

Пусть – единичный интервал и – покрытие. Позвольте быть непрерывным отображением и быть лифтом , т.е. непрерывным отображением таким, что . Тогда существует однозначно определенное непрерывное отображение, для которого и которое является подъемом , т.е. ^{[2] : 60} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle F:Y\times I\rightarrow X}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}_{0}:Y\times \{0\}\rightarrow E}$ ${\displaystyle F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}_{0}=F|_{Y\times \{0\}}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}:Y\times I\rightarrow E}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}(y,0)={\tilde {F}}_{0}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle p\circ {\tilde {F}}=F}$

Если — пространство линейной связности, то из этого следует, что отображение является лифтом пути в и является лифтом гомотопии путей в . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=\{0\}}$ ${\displaystyle {\tilde {F}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=I}$ ${\displaystyle X}$

Как следствие, можно показать, что фундаментальная группа единичной окружности представляет собой бесконечную циклическую группу , которая порождается гомотопическими классами петли с . ^{[2] : 29} ${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow S^{1}}$ ${\displaystyle \gamma (t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$

Пусть – линейно-связное пространство и – связное накрытие. Позвольте быть любыми двумя точками, которые соединены путем , т.е. и . Пусть – единственный подъем , тогда отображение ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (0)=x}$ ${\displaystyle \gamma (1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle L_{\gamma }:p^{-1}(x)\rightarrow p^{-1}(y)}$с ${\displaystyle L_{\gamma }({\tilde {\gamma }}(0))={\tilde {\gamma }}(1)}$

является биективным . ^{[2] : 69}

Если пространство линейной связности и связное накрытие, то индуцированный групповой гомоморфизм ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$

${\displaystyle p_{\#}:\pi _{1}(E)\rightarrow \pi _{1}(X)}$с , ${\displaystyle p_{\#}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]}$

инъективен и подгруппа состоит из гомотопических классов петель в , подъемы которых являются петлями в . ^{[2] : 61} ${\displaystyle p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

Разветвленное покрытие

Определения

Голоморфные отображения римановых поверхностей

Пусть и — римановы поверхности , т.е. одномерные комплексные многообразия , и пусть — непрерывное отображение. голоморфен в точке , если для любых карт и , с отображение голоморфно . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \phi _{x}:U_{1}\rightarrow V_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}:U_{2}\rightarrow V_{2}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \phi _{x}(U_{1})\subset U_{2}}$ ${\displaystyle \phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$

Если вообще голоморфен , мы говорим, что голоморфен. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle f}$

Карта называется локальным выражением in . ${\displaystyle F=\phi _{f(x)}\circ f\circ \phi _{x}^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in X}$

Если — непостоянное голоморфное отображение между компактными римановыми поверхностями , то оно сюръективно и является открытым отображением , ^{[4] : ​​11} , т . е. для каждого открытого множества образ также открыт. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle f(U)\subset Y}$

Точка ветвления и точка ветвления

Пусть – непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. Для каждого существуют диаграммы для и и существует однозначно определенный , такой, что локальное выражение in имеет вид . ^{[4] : 10} Число называется индексом ветвления in , а точка называется точкой ветвления, если . Если для , то неразветвлен . Точка изображения точки ветвления называется точкой ветвления. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k_{x}\in \mathbb {N_{>0}} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{x}}}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k_{x}\geq 2}$ ${\displaystyle k_{x}=1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$

Степень голоморфного отображения

Пусть – непостоянное голоморфное отображение компактных римановых поверхностей. Степень есть мощность слоя неразветвленной точки , т.е. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y=f(x)\in Y}$ ${\displaystyle \operatorname {deg} (f):=|f^{-1}(y)|}$

Это число четко определено, поскольку для каждого слоя дискретно ^{[4] : ​​20} и для любых двух неразветвленных точек оно равно: ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ ${\displaystyle y_{1},y_{2}\in Y}$ ${\displaystyle |f^{-1}(y_{1})|=|f^{-1}(y_{2})|.}$

Его можно рассчитать по:

${\displaystyle \sum _{x\in f^{-1}(y)}k_{x}=\operatorname {deg} (f)}$ ^{[4] : 29}

Разветвленное покрытие

Определение

Непрерывное отображение называется разветвленным покрытием , если существует замкнутое множество с плотным дополнением , такое, что является покрытием. ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle E\subset Y}$ ${\displaystyle f_{|X\smallsetminus f^{-1}(E)}:X\smallsetminus f^{-1}(E)\rightarrow Y\smallsetminus E}$

Примеры

• Пусть и , тогда с – разветвленное накрытие степени , где by – точка ветвления. ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=0}$
• Всякое непостоянное голоморфное отображение между компактными римановыми поверхностями степени является разветвленным накрытием степени . ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

Универсальное покрытие

Определение

Пусть – односвязное накрытие. Если — другое односвязное накрытие, то существует однозначно определенный гомеоморфизм такой, что диаграмма ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \beta :E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha :{\tilde {X}}\rightarrow E}$

ездит на работу. ^{[5] : 482}

Это означает , что оно с точностью до эквивалентности однозначно определено и в силу того универсального свойства, которое обозначается как универсальное накрытие пространства . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

Существование

Универсальное покрытие не всегда существует, но его существование гарантируют следующие свойства:

Пусть — связное, локально односвязное топологическое пространство; тогда существует универсальное накрытие . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$

${\displaystyle {\tilde {X}}}$определяется как и . ^{[2] : 64} ${\displaystyle {\tilde {X}}:=\{\gamma :\gamma {\text{ is a path in }}X{\text{ with }}\gamma (0)=x_{0}\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p:{\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle p([\gamma ]):=\gamma (1)}$

Топология на строится следующим образом: Пусть путь с . Пусть - односвязная окрестность конца , тогда для каждого пути внутри из до определены однозначно с точностью до гомотопии . Теперь рассмотрим , что с является биекцией и может быть снабжено окончательной топологией . ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \gamma :I\rightarrow X}$ ${\displaystyle \gamma (0)=x_{0}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x=\gamma (1)}$ ${\displaystyle y\in U}$ ${\displaystyle \sigma _{y}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}:=\{\gamma .\sigma _{y}:y\in U\}/{\text{ homotopy with fixed ends}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}:{\tilde {U}}\rightarrow U}$ ${\displaystyle p([\gamma .\sigma _{y}])=\gamma .\sigma _{y}(1)=y}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}}$ ${\displaystyle p_{|{\tilde {U}}}}$

Фундаментальная группа действует свободно , поскольку на и с является гомеоморфизмом, т. е . . ${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})=\Gamma }$ ${\displaystyle ([\gamma ],[{\tilde {x}}])\mapsto [\gamma .{\tilde {x}}]}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle \psi :\Gamma \backslash {\tilde {X}}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \psi ([\Gamma {\tilde {x}}])={\tilde {x}}(1)}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash {\tilde {X}}\cong X}$

Примеры

Гавайская серьга. Показаны только десять самых больших кругов.

• ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$с — универсальное покрытие единичной окружности . ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle S^{1}}$
• ${\displaystyle p:S^{n}\to \mathbb {R} P^{n}\cong \{+1,-1\}\backslash S^{n}}$с — универсальное накрытие проективного пространства для . ${\displaystyle p(x)=[x]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$
• ${\displaystyle q:\mathrm {SU} (n)\ltimes \mathbb {R} \to U(n)}$с
  $${\displaystyle q(A,t)={\begin{bmatrix}\exp(2\pi it)&0\\0&I_{n-1}\end{bmatrix}}_{\vphantom {x}}A}$$
  является универсальным накрытием унитарной группы . ^{[6] : 5, Теорема 1} ${\displaystyle U(n)}$
• Поскольку , то фактор-отображение ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$
  $${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SU} (2)\backslash \mathbb {Z_{2}} \cong \mathrm {SO} (3)}$$
  является универсальным покрытием . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$
• Топологическое пространство, не имеющее универсального покрытия, — это гавайская серьга :
  $${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:{\Bigl (}x_{1}-{\frac {1}{n}}{\Bigr )}^{2}+x_{2}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}}$$
  Можно показать, что ни одна окрестность начала координат не является односвязной. ^{[5] : 487, Пример 1} ${\displaystyle (0,0)}$

G-покрытия

Пусть G — дискретная группа , действующая в топологическом пространстве X. Это означает, что каждый элемент g группы G связан с гомеоморфизмом H _g группы X на самого себя таким образом, что H _{g h} всегда равен H _g ∘ H _h для любых двух элементов g и h группы G . (Иными словами, групповое действие группы G на пространстве X — это не что иное, как групповой гомоморфизм группы G в группу Homeo( X ) самогомеоморфизмов X ). Естественно задаться вопросом, при каких условиях проекция из X в пространство орбит X / G является накрывающим отображением. Это не всегда так, поскольку действие может иметь фиксированные точки. Примером этого является циклическая группа порядка 2, действующая на произведение X × X действием скручивания, где неединичный элемент действует по принципу ( x , y ) ↦ ( y , x ) . Таким образом, изучение связи между фундаментальными группами X и X / G не так просто.

Однако группа G действует на фундаментальном группоиде X , поэтому исследование лучше всего проводить, рассматривая группы, действующие на группоиды, и соответствующие орбитальные группоиды . Теория этого изложена в главе 11 книги «Топология и группоиды» , упомянутой ниже. Основной результат состоит в том, что для разрывных действий группы G на хаусдорфовом пространстве X , допускающем универсальное накрытие, фундаментальный группоид пространства орбит X / G изоморфен орбитальному группоиду фундаментального группоида X , т. е. фактор этого группоида действием группы G . Это приводит к явным вычислениям, например, фундаментальной группы симметрического квадрата пространства.

Трансформация колоды

Определение

Пусть будет покрытием. Преобразование колоды — это гомеоморфизм , такой, что диаграмма непрерывных отображений ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$

ездит на работу. Вместе с составом карт набор преобразований колоды образует группу , аналогичную . ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$

Теперь предположим , что это покрывающая карта и (и, следовательно, также ) связна и локально связана по путям. Действие на каждом слое транзитивно . Если это действие свободно на каком-то слое, то оно свободно на всех слоях, и накрытие мы называем регулярным (или нормальным , или Галуа ). Каждое такое регулярное накрытие является главным -расслоением , где рассматривается как дискретная топологическая группа. ${\displaystyle p:C\to X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (p)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Aut} (p)}$

Каждое универсальное накрытие регулярно, причем группа преобразований колоды изоморфна фундаментальной группе . ${\displaystyle p:D\to X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Примеры

• Пусть будет покрытием для некоторого , тогда карта является преобразованием колоды и . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle d_{k}:S^{1}\rightarrow S^{1}:z\mapsto z\,e^{2\pi ik/n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z} /\mathbb {nZ} }$
• Пусть покрытие , тогда карта с преобразованием колоды и . ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle r(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}$ ${\displaystyle d_{k}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :t\mapsto t+k}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (r)\cong \mathbb {Z} }$
• В качестве еще одного важного примера рассмотрим комплексную плоскость и комплексную плоскость без начала координат. Тогда карта с является обычной обложкой. Преобразования колоды представляют собой умножения с корнями -й степени из единицы , и поэтому группа преобразований колоды изоморфна циклической группе . Аналогично, карта с является универсальной обложкой. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p:\mathbb {C} ^{\times }\to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle p(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \exp(z)=e^{z}}$

Характеристики

Пусть – линейно-связное пространство и – связное накрытие. Поскольку преобразование колоды является биективным , оно меняет местами элементы волокна и однозначно определяется тем, куда оно отправляет одну точку. В частности, только тождественная карта фиксирует точку в волокне. ^{[2] : 70} Благодаря этому свойству каждое преобразование колоды определяет групповое действие на , т. е. пусть будет открытая окрестность a и открытая окрестность an , тогда это групповое действие . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\tilde {U}}\subset E}$ ${\displaystyle e\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\times E\rightarrow E:(d,{\tilde {U}})\mapsto d({\tilde {U}})}$

Нормальные покрытия

Определение

Покрытие называется нормальным, если . Это означает, что для любых двух существует преобразование колоды такое, что . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\backslash E\cong X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle e_{0},e_{1}\in p^{-1}(x)}$ ${\displaystyle d:E\rightarrow E}$ ${\displaystyle d(e_{0})=e_{1}}$

Характеристики

Пусть – линейно-связное пространство и – связное накрытие. Позвольте быть подгруппой , тогда является нормальным накрытием тогда и только тогда, когда является нормальной подгруппой . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

Если – нормальное покрытие и , то . ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong \pi _{1}(X)/H}$

Если – линейно-связное накрытие и , то , при этом – нормализатор . ^{[2] : 71} ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (p)\cong N(H)/H}$ ${\displaystyle N(H)}$ ${\displaystyle H}$

Пусть – топологическое пространство. Группа действует разрывно на , если каждая имеет открытую окрестность с такую, что для каждой с одна имеет . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V\subset E}$ ${\displaystyle V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle \gamma V\cap V\neq \emptyset }$ ${\displaystyle d_{1}=d_{2}}$

Если группа действует разрывно на топологическом пространстве , то фактор-отображение с является нормальным накрытием. ^{[2] : 72} Здесь – фактор-пространство , а – орбита действия группы. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$ ${\displaystyle q(e)=\Gamma e}$ ${\displaystyle \Gamma \backslash E=\{\Gamma e:e\in E\}}$ ${\displaystyle \Gamma e=\{\gamma (e):\gamma \in \Gamma \}}$

Примеры

• Покрытие с является нормальным покрытием для каждого . ${\displaystyle q:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle q(z)=z^{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• Всякое односвязное накрытие является нормальным накрытием.

Расчет

Пусть – группа, действующая разрывно в топологическом пространстве , и – нормальное накрытие. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle q:E\rightarrow \Gamma \backslash E}$

• Если путевое соединение, то . ^{[2] : 72} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \Gamma }$

• Если просто связно, то . ^{[2] : 71} ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \pi _{1}(\Gamma \backslash E)}$

Примеры

• Позволять . Антиподальное отображение с порождает вместе с композицией отображений группу и индуцирует групповое действие , действующее разрывно на . Отсюда следует, что фактор-отображение является нормальным накрытием и для универсального накрытия, следовательно, для . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle g:S^{n}\rightarrow S^{n}}$ ${\displaystyle g(x)=-x}$ ${\displaystyle D(g)\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle D(g)\times S^{n}\rightarrow S^{n},(g,x)\mapsto g(x)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle q:S^{n}\rightarrow \mathbb {Z_{2}} \backslash S^{n}\cong \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (q)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}({\mathbb {R} P^{n}})}$ ${\displaystyle n>1}$
• Пусть – специальная ортогональная группа , тогда отображение является нормальным накрытием и в силу , оно является универсальным накрытием, следовательно . ${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$ ${\displaystyle f:\mathrm {SU} (2)\rightarrow \mathrm {SO} (3)\cong \mathbb {Z_{2}} \backslash \mathrm {SU} (2)}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (2)\cong S^{3}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} \cong \pi _{1}(\mathrm {SO} (3))}$
• При групповом действии на , где есть полупрямое произведение , получается универсальное накрытие бутылки Клейна , следовательно . ${\displaystyle (z_{1},z_{2})*(x,y)=(z_{1}+(-1)^{z_{2}}x,z_{2}+y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z^{2}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$ ${\displaystyle (\mathbb {Z^{2}} ,*)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:\mathbb {R^{2}} \rightarrow (\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} )\backslash \mathbb {R^{2}} \cong K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} \cong \pi _{1}(K)}$
• Пусть — тор , вложенный в . Тогда получается гомеоморфизм , который индуцирует разрывное действие группы , при этом . Отсюда следует, что отображение является нормальным покрытием бутылки Клейна, следовательно . ${\displaystyle T=S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle \alpha :T\rightarrow T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\times T\rightarrow T}$ ${\displaystyle G_{\alpha }\cong \mathbb {Z/2Z} }$ ${\displaystyle f:T\rightarrow G_{\alpha }\backslash T\cong K}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/2Z} }$
• Пусть будет встроен в . Поскольку действие группы разрывно, в результате чего они взаимно просты , отображение является универсальным покрытием пространства линзы , следовательно . ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {C^{2}} }$ ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {Z/pZ} \rightarrow S^{3}:((z_{1},z_{2}),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}z_{1},e^{2\pi ikq/p}z_{2})}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f:S^{3}\rightarrow \mathbb {Z_{p}} \backslash S^{3}=:L_{p,q}}$ ${\displaystyle L_{p,q}}$ ${\displaystyle \operatorname {Deck} (f)\cong \mathbb {Z/pZ} \cong \pi _{1}(L_{p,q})}$

Переписка Галуа

Пусть — связное и локально односвязное пространство, тогда для каждой подгруппы существует линейно-связное накрытие с . ^{[2] : 66} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H\subseteq \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \alpha _{\#}(\pi _{1}(X_{H}))=H}$

Пусть и — два линейно связных накрытия, тогда они эквивалентны тогда и только тогда, когда подгруппы и сопряжены друг другу . ^{[5] : 482} ${\displaystyle p_{1}:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle p_{2}:E'\rightarrow X}$ ${\displaystyle H=p_{1\#}(\pi _{1}(E))}$ ${\displaystyle H'=p_{2\#}(\pi _{1}(E'))}$

Пусть — связное и локально односвязное пространство, тогда с точностью до эквивалентности покрытий существует биекция: ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \displaystyle \{{\text{Subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{path-connected covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\\\displaystyle \{{\text{normal subgroup of }}\pi _{1}(X)\}&\longleftrightarrow &\displaystyle \{{\text{normal covering }}p:E\rightarrow X\}\\H&\longrightarrow &\alpha :X_{H}\rightarrow X\\p_{\#}(\pi _{1}(E))&\longleftarrow &p\end{matrix}}}$

Для последовательности подгрупп получается последовательность накрытий . Для подгруппы с индексом накрытие имеет степень . ${\displaystyle \displaystyle \{{\text{e}}\}\subset H\subset G\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\longrightarrow X_{H}\cong H\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X_{G}\cong G\backslash {\tilde {X}}\longrightarrow X\cong \pi _{1}(X)\backslash {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle H\subset \pi _{1}(X)}$ ${\displaystyle \displaystyle [\pi _{1}(X):H]=d}$ ${\displaystyle \alpha :X_{H}\rightarrow X}$ ${\displaystyle d}$

Классификация

Определения

Категория покрытий

Пусть – топологическое пространство. Объектами категории являются покрытия и морфизмы между двумя покрытиями , а также непрерывные отображения , такие что диаграмма ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {Cov(X)}}}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:E\rightarrow X}$ ${\displaystyle q:F\rightarrow X}$ ${\displaystyle f:E\rightarrow F}$

ездит на работу.

G-Set

Пусть — топологическая группа . Категория — это категория множеств, которые являются G-множествами . Морфизмы представляют собой G-отображения между G-множествами. Они удовлетворяют условию для каждого . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {G-Set}}}$ ${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \phi (gx)=g\,\phi (x)}$ ${\displaystyle g\in G}$

Эквивалентность

Пусть – связное и локально односвязное пространство и – фундаментальная группа . Поскольку посредством поднятия путей и оценки в конечной точке подъема определяется групповое действие на слое покрытия, функтор является эквивалентностью категорий . ^{[2] : 68–70} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle G=\pi _{1}(X,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:{\boldsymbol {Cov(X)}}\longrightarrow {\boldsymbol {G-Set}}:p\mapsto p^{-1}(x)}$

Приложения

Блокировка кардана происходит потому, что любое отображение T ³ → RP ³ не является покрывающим. В частности, соответствующее отображение переносит любой элемент T ³ , то есть упорядоченную тройку (a,b,c) углов (действительные числа по модулю 2 π ), в композицию трех поворотов координатной оси R _x (a) ∘R _y (б)∘R _z (в) по этим углам соответственно. Каждое из этих вращений и их состав являются элементом группы вращений SO(3), которая топологически является RP ³ . На этой анимации показан набор из трех подвесов, смонтированных вместе, что обеспечивает три степени свободы. Когда все три подвеса выровнены (в одной плоскости), в этой конфигурации система может двигаться только в двух измерениях, а не в трех, и находится в режиме блокировки подвеса . В этом случае он может наклоняться или рыскать, но не катиться (вращаться в плоскости, в которой лежат все оси).

Важное практическое применение покрывающих пространств происходит в диаграммах на SO(3) , группе вращения . Эта группа широко распространена в технике, поскольку трехмерное вращение широко используется в навигации , морской технике и аэрокосмической технике , а также во многих других целях. Топологически SO(3) представляет собой вещественное проективное пространство RP ³ с фундаментальной группой Z /2 и единственным (нетривиальным) покрывающим пространством гиперсферы S ³ , которое является группой Spin(3) и представленным единичными кватернионами . . Таким образом, кватернионы являются предпочтительным методом представления пространственного вращения – см. кватернионы и пространственное вращение .

Однако часто желательно представлять вращение набором из трех чисел, известных как углы Эйлера (во многих вариантах), как потому, что это концептуально проще для тех, кто знаком с плоским вращением, так и потому, что можно построить комбинацию из трех подвесов для производить вращения в трех измерениях. Топологически это соответствует отображению 3-тора Т ³ трех углов в реальное проективное пространство вращений RP ³ , и полученное отображение имеет несовершенства из-за того, что это отображение не может быть покрывающим. В частности, неспособность карты быть локальным гомеоморфизмом в определенных точках называется блокировкой кардана и демонстрируется в анимации справа — в некоторых точках (когда оси копланарны) ранг карты равен 2, а не 3, что означает, что из этой точки можно реализовать только два измерения вращения путем изменения углов. Это вызывает проблемы в приложениях и формализуется понятием покрывающего пространства.

Смотрите также

• Решетка Бете — универсальное покрытие графа Кэли.
• Граф покрытия , пространство покрытия неориентированного графа и его особый случай — двудольное двойное покрытие.
• Группа покрытия
• Связь Галуа
• Факторпространство (топология)

Литература

• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-79160-Х. ОСЛК  45420394.
• Форстер, Отто (1981). Лекции по римановым поверхностям . Нью-Йорк. ISBN 0-387-90617-7. ОСЛК  7596520.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Манкрес, Джеймс Р. (2018). Топология . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 978-0-13-468951-7. ОСЛК  964502066.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Кюнель, Вольфганг (2011). Matrizen und Lie-Gruppen Eine geometrische Einführung (на немецком языке). Висбаден: Vieweg+Teubner Verlag. дои : 10.1007/978-3-8348-9905-7. ISBN 978-3-8348-9905-7. ОСЛК  706962685.

Рекомендации

1. Форстер, Отто (1981). «Глава 1: Покрытие пространств». Лекции по римановым поверхностям . ГТМ. Перевод Брюса Джиллиана. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 9781461259633.
2. Хэтчер, Аллен (2001). Алгебраическая топология . Кембридж: Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 0-521-79160-Х.
3. Кюнель, Вольфганг (6 декабря 2010 г.). Matrizen und Lie-Gruppen . Штутгарт: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH. ISBN 978-3-8348-9905-7.
4. Форстер, Отто (1991). Лекции по римановым поверхностям . Мюнхен: Springer Berlin. ISBN 978-3-540-90617-9.
5. Манкрес, Джеймс (2000). Топология . Река Аппер-Сэддл, Нью-Джерси: ISBN Prentice Hall, Inc. 978-0-13-468951-7.
6. Агилар, Марсело Альберто; Соколовский, Мигель (23 ноября 1999 г.). «Универсальная накрывающая группа U (n) и проективные представления». Международный журнал теоретической физики . Springer US (опубликовано в апреле 2000 г.). 39 (4): 997–1013. arXiv : math-ph/9911028 . Бибкод : 1999math.ph..11028A. дои : 10.1023/А: 1003694206391. S2CID  18686364.