В математике универсальное расслоение в теории расслоений со структурной группой заданной топологической группы G — это определенное расслоение над классифицирующим пространством BG , такое, что каждое расслоение с заданной структурной группой G над M является обратным образом посредством непрерывного отображения M → BG .
Когда определение классифицирующего пространства происходит в гомотопической категории CW-комплексов , теоремы существования для универсальных расслоений возникают из теоремы Брауна о представимости .
Сначала докажем:
Доказательство. Существует инъекция G в унитарную группу U ( n ) для достаточно большого n . [1] Если мы найдем EU ( n ), то мы можем взять EG за EU ( n ) . Конструкция EU ( n ) дана в классификации пространства для U ( n ) .
Следующая теорема является следствием приведенного выше предложения.
Доказательство. С одной стороны, обратный пул расслоения π : EG → BG посредством естественной проекции P × G EG → BG есть расслоение P × EG . С другой стороны, обратный пул главного G -расслоения P → M посредством проекции p : P × G EG → M есть также P × EG
Так как p является расслоением со стягиваемым слоем EG , сечения p существуют. [2] Такому сечению s мы сопоставляем композицию с проекцией P × G EG → BG . Полученное нами отображение — это f, которое мы искали.
Для единственности с точностью до гомотопии обратите внимание, что существует взаимно-однозначное соответствие между отображениями f : M → BG такими, что f ∗ ( EG ) → M изоморфно P → M и сечениями p . Мы только что увидели, как связать f с сечением. Обратно, предположим, что f задано. Пусть Φ : f ∗ ( EG ) → P будет изоморфизмом:
Теперь просто определите раздел с помощью
Поскольку все сечения p гомотопны, гомотопический класс f уникален.
Полное пространство универсального расслоения обычно записывается как EG . Эти пространства представляют интерес сами по себе, несмотря на то, что обычно являются стягиваемыми . Например, при определении гомотопического фактора или гомотопического орбитального пространства группового действия G , в случаях, когда орбитальное пространство является патологическим (в том смысле, что оно не является хаусдорфовым пространством , например). Идея, если G действует на пространстве X , состоит в том, чтобы вместо этого рассмотреть действие на Y = X × EG и соответствующее факторное. См. эквивариантные когомологии для более подробного обсуждения.
Если EG стягиваемо, то X и Y являются гомотопически эквивалентными пространствами. Но диагональное действие на Y , т. е. где G действует на координаты как X , так и EG , может вести себя хорошо, когда действие на X не является таковым.
