Уникальная факторизационная область

Тип интегральной области

В математике уникальная факторизационная область ( UFD ) (иногда также называемая факториальным кольцом, следуя терминологии Бурбаки ) — это кольцо , в котором выполняется утверждение, аналогичное фундаментальной теореме арифметики . В частности, UFD — это целостная область ( нетривиальное коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю), в которой каждый ненулевой неединичный элемент может быть записан как произведение неприводимых элементов , однозначно с точностью до порядка и единиц.

Важными примерами UFD являются целые числа и полиномиальные кольца от одной или нескольких переменных с коэффициентами, полученными из целых чисел или из поля .

Уникальные домены факторизации появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs ⊃ кольца ⊃ коммутативные кольца ⊃ области целостности ⊃ целозамкнутые области ⊃ области НОД ⊃ области уникальной факторизации ⊃ области главных идеалов ⊃ евклидовы области ⊃ поля ⊃ алгебраически замкнутые поля

Определение

Формально уникальная область факторизации определяется как целостная область R , в которой каждый ненулевой элемент x из R , не являющийся единицей, может быть записан в виде конечного произведения неприводимых элементов p _i из R :

x = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n при n ≥ 1

и это представление является единственным в следующем смысле: если q ₁ , ..., q _m — неприводимые элементы R такие, что

x = q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m при m ≥ 1 ,

тогда m = n , и существует биективное отображение φ  : {1, ..., n _{} →} {1, ..., m } такое, что p _i связано с q _{φ (} i ₎ для i ∈ {1, ..., n } .

Примеры

Большинство колец, знакомых нам из элементарной математики, являются UFD:

• Все главные идеальные области , следовательно, все евклидовы области , являются UFD. В частности, целые числа (см. также Основная теорема арифметики ), гауссовы целые числа и эйзенштейновы целые числа являются UFD.
• Если R — UFD, то таковым является и R [ X ], кольцо многочленов с коэффициентами в R . Если R не является полем, R [ X ] не является областью главных идеалов. По индукции, кольцо многочленов от любого числа переменных над любым UFD (и, в частности, над полем или над целыми числами) является UFD.
• Формальное кольцо степенных рядов K [[ X ₁ , ..., X _n ]] над полем K (или, в более общем смысле, над регулярным UFD, таким как PID) является UFD. С другой стороны, формальное кольцо степенных рядов над UFD не обязательно должно быть UFD, даже если UFD является локальным . Например, если R является локализацией k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) в простом идеале ( x , y , z ), то R является локальным кольцом, которое является UFD, но формальное кольцо степенных рядов R [[ X ]] над R не является UFD.
• Теорема Ауслендера –Бухсбаума утверждает, что каждое регулярное локальное кольцо является UFD.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]}$является UFD для всех целых чисел 1 ≤ n ≤ 22 , но не для n = 23 .
• Мори показал, что если пополнение кольца Зарисского , например, нётерова локального кольца , является UFD, то кольцо является UFD. ^[1] Обратное неверно: существуют нётеровы локальные кольца, которые являются UFD, но чьи пополнения таковыми не являются. Вопрос о том, когда это происходит, довольно тонкий: например, для локализации k [ x , y , z ] /( x 2 ⁺ y 3 ⁺ z 5 ⁾ в простом идеале ( x , y , z ) и локальное кольцо, и его пополнение являются UFD, но в, по-видимому, похожем примере локализации k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) в простом идеале ( x , y , z ) локальное кольцо является UFD, но его пополнение — нет.
• Пусть будет полем любой характеристики, отличной от 2. Клейн и Нагата показали, что кольцо R [ X ₁ , ..., X _n ]/ Q является UFD, когда Q является невырожденной квадратичной формой от X s и n не меньше 5. Когда n = 4 , кольцо не обязательно является UFD. Например, R [ X , Y , Z , W ]/( XY − ZW ) не является UFD, потому что элемент XY равен элементу ZW, так что XY и ZW являются двумя различными разложениями одного и того же элемента на неприводимые. ${\displaystyle R}$
• Кольцо Q [ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) является UFD, но кольцо Q ( i )[ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) не является. С другой стороны, кольцо Q [ x , y ]/( x ² + y ² − 1) не является UFD, но кольцо Q ( i )[ x , y ]/( x ² + y ² − 1) является. ^[2] Аналогично, координатное кольцо R [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) 2-мерной действительной сферы является UFD, но координатное кольцо C [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) комплексной сферы не является.
• Предположим, что переменные X _i имеют веса w _i , а F ( X ₁ , ..., X _n ) — однородный многочлен веса w . Тогда, если c взаимно прост с w и R — UFD и либо каждый конечно порождённый проективный модуль над R свободен, либо c равен 1 mod w , то кольцо R [ X ₁ , ..., X _n , Z ]/( Z ^c − F ( X ₁ , ..., X _n )) является UFD. ^[3]

Не примеры

• Квадратичное целочисленное кольцо всех комплексных чисел вида , где a и b — целые числа, не является UFD, поскольку 6 разлагается как на 2×3 и как . Это действительно разные факторизации, поскольку единственными единицами в этом кольце являются 1 и −1; таким образом, ни одно из 2, 3, , и не является ассоциированным . Нетрудно показать, что все четыре множителя также неприводимы, хотя это может быть неочевидно. ^[4] См. также Алгебраическое целое число . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$
• Для положительного целого числа d , свободного от квадратов, кольцо целых чисел не будет UFD, если только d не является числом Хегнера . ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$
• Кольцо формальных степенных рядов над комплексными числами является UFD, но подкольцо тех, которые сходятся всюду, другими словами, кольцо целых функций от одной комплексной переменной, не является UFD, поскольку существуют целые функции с бесконечностью нулей, и, следовательно, бесконечностью неприводимых множителей, в то время как UFD-разложение должно быть конечным, например:

  ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right).}$

Характеристики

Некоторые концепции, определенные для целых чисел, можно обобщить для UFD:

• В UFD каждый неприводимый элемент является простым . (В любой целостной области каждый простой элемент является неприводимым, но обратное не всегда верно. Например, элемент z ∈ K [ x , y , z ]/( z ² − xy ) является неприводимым, но не простым.) Обратите внимание, что это имеет частичное обратное: область, удовлетворяющая ACCP , является UFD тогда и только тогда, когда каждый неприводимый элемент является простым.
• Любые два элемента UFD имеют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное . Здесь наибольший общий делитель a и b — это элемент d, который делит как a, так и b , и такой , что любой другой общий делитель a и b делит d . Все наибольшие общие делители a и b связаны .
• Любой UFD является целозамкнутым . Другими словами, если R — UFD с полем частных K , и если элемент k из K является корнем монического многочлена с коэффициентами в R , то k является элементом R.
• Пусть S — мультипликативно замкнутое подмножество UFD A. Тогда локализация S ⁻¹ A является UFD. Частичное обращение к этому также имеет место; см. ниже.

Эквивалентные условия для кольца, чтобы быть UFD

Нетерова область целостности является UFD тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным (доказательство приведено в конце). Кроме того, дедекиндова область является UFD тогда и только тогда, когда ее группа классов идеалов тривиальна. В этом случае она фактически является областью главных идеалов .

В общем случае для области целостности A следующие условия эквивалентны:

1. А — это UFD.
2. Каждый ненулевой простой идеал A содержит простой элемент . ^[5]
3. A удовлетворяет условию возрастающей цепи на главных идеалах (ACCP), а локализация S ⁻¹ A является UFD, где S является мультипликативно замкнутым подмножеством A , порожденным простыми элементами. (Критерий Нагаты)
4. A удовлетворяет ACCP , и каждое неприводимое число является простым .
5. A является атомарным , а каждое неприводимое число является простым .
6. A — домен GCD, удовлетворяющий ACCP .
7. A — домен Шрайера ^[6 ] и атомарный .
8. A — это пре-шрайеровский домен и атомарный .
9. У A есть теория делителей, в которой каждый делитель является главным.
10. A — это область Крулля , в которой каждый делимый идеал является главным (фактически, это определение UFD у Бурбаки).
11. A — область Крулля, и каждый простой идеал высоты 1 является главным. ^[7]

На практике (2) и (3) являются наиболее полезными условиями для проверки. Например, из (2) немедленно следует, что PID является UFD, поскольку каждый простой идеал порождается простым элементом в PID.

В качестве другого примера рассмотрим нётерову область целостности, в которой каждый простой идеал высоты один является главным. Поскольку каждый простой идеал имеет конечную высоту, он содержит простой идеал высоты один (индукция по высоте), который является главным. Согласно (2), кольцо является UFD.

Смотрите также

• Парафакториальное локальное кольцо
• Некоммутативная уникальная факторизационная область

Цитаты

1. Бурбаки (1972), 7.3, № 6, Предложение 4.
2. Сэмюэл (1964), стр. 35
3. Сэмюэл (1964), стр. 31
4. Артин (2011), стр. 360
5. Капланский
6. Область Шрайера — это целочисленно замкнутая область целочисленности, где всякий раз, когда x делит yz , x можно записать как x = x ₁ x _2, так что x ₁ делит y , а x ₂ делит z . В частности, область НОД — это область Шрайера
7. Бурбаки (1972), 7.3, № 2, Теорема 1.

Ссылки

• Артин, Майкл (2011). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-241377-0.
• Бурбаки, Н. (1972). Коммутативная алгебра . Париж, Герман; Рединг, Массачусетс, Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 9780201006445.
• Эдвардс, Гарольд М. (1990). Теория делителей . Бостон: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3448-3.
• Хартли, Б .; Т. О. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра . Чепмен и Холл. ISBN 0-412-09810-5. Глава 4.
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (третье изд.), Чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001Глава II.5
• Шарп, Дэвид (1987). Кольца и факторизация . Cambridge University Press . ISBN 0-521-33718-6.
• Сэмюэл, Пьер (1964), Мурти, М. Павман (ред.), Лекции по уникальным факторизационным областям, Лекции по математике Института фундаментальных исследований Тата, т. 30, Бомбей: Институт фундаментальных исследований Тата, MR  0214579
• Сэмюэль, Пьер (1968). «Уникальная факторизация». The American Mathematical Monthly . 75 (9): 945–952. doi :10.2307/2315529. ISSN  0002-9890. JSTOR  2315529.
• Weintraub, Steven H. (2008). Факторизация: уникальная и иная . Уэллсли, Массачусетс: AK Peters/CRC Press. ISBN 978-1-56881-241-0.