stringtranslate.com

Уникальная факторизационная область

В математике уникальная факторизационная область ( UFD ) (иногда также называемая факториальным кольцом, следуя терминологии Бурбаки ) — это кольцо , в котором выполняется утверждение, аналогичное фундаментальной теореме арифметики . В частности, UFD — это целостная область ( нетривиальное коммутативное кольцо , в котором произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю), в которой каждый ненулевой неединичный элемент может быть записан как произведение неприводимых элементов , однозначно с точностью до порядка и единиц.

Важными примерами UFD являются целые числа и полиномиальные кольца от одной или нескольких переменных с коэффициентами, полученными из целых чисел или из поля .

Уникальные домены факторизации появляются в следующей цепочке включений классов :

rngs кольца коммутативные кольца области целостности целозамкнутые области области НОД области уникальной факторизации области главных идеалов евклидовы области поля алгебраически замкнутые поля

Определение

Формально уникальная область факторизации определяется как целостная область R , в которой каждый ненулевой элемент x из R , не являющийся единицей, может быть записан в виде конечного произведения неприводимых элементов p i из R :

x = p 1 p 2 ⋅⋅⋅ p n при n ≥ 1

и это представление является единственным в следующем смысле: если q 1 , ..., q m — неприводимые элементы R такие, что

x = q 1 q 2 ⋅⋅⋅ q m при m ≥ 1 ,

тогда m = n , и существует биективное отображение φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m } такое, что p i связано с q φ ( i ) для i ∈ {1, ..., n } .

Примеры

Большинство колец, знакомых нам из элементарной математики, являются UFD:

Не примеры

Характеристики

Некоторые концепции, определенные для целых чисел, можно обобщить для UFD:

Эквивалентные условия для кольца, чтобы быть UFD

Нетерова область целостности является UFD тогда и только тогда, когда каждый простой идеал высоты 1 является главным (доказательство приведено в конце). Кроме того, дедекиндова область является UFD тогда и только тогда, когда ее группа классов идеалов тривиальна. В этом случае она фактически является областью главных идеалов .

В общем случае для области целостности A следующие условия эквивалентны:

  1. А — это UFD.
  2. Каждый ненулевой простой идеал A содержит простой элемент . [5]
  3. A удовлетворяет условию возрастающей цепи на главных идеалах (ACCP), а локализация S −1 A является UFD, где S является мультипликативно замкнутым подмножеством A , порожденным простыми элементами. (Критерий Нагаты)
  4. A удовлетворяет ACCP , и каждое неприводимое число является простым .
  5. A является атомарным , а каждое неприводимое число является простым .
  6. Aдомен GCD, удовлетворяющий ACCP .
  7. Aдомен Шрайера [6 ] и атомарный .
  8. A — это пре-шрайеровский домен и атомарный .
  9. У A есть теория делителей, в которой каждый делитель является главным.
  10. A — это область Крулля , в которой каждый делимый идеал является главным (фактически, это определение UFD у Бурбаки).
  11. A — область Крулля, и каждый простой идеал высоты 1 является главным. [7]

На практике (2) и (3) являются наиболее полезными условиями для проверки. Например, из (2) немедленно следует, что PID является UFD, поскольку каждый простой идеал порождается простым элементом в PID.

В качестве другого примера рассмотрим нётерову область целостности, в которой каждый простой идеал высоты один является главным. Поскольку каждый простой идеал имеет конечную высоту, он содержит простой идеал высоты один (индукция по высоте), который является главным. Согласно (2), кольцо является UFD.

Смотрите также

Цитаты

  1. ^ Бурбаки (1972), 7.3, № 6, Предложение 4.
  2. ^ Сэмюэл (1964), стр. 35
  3. ^ Сэмюэл (1964), стр. 31
  4. ^ Артин (2011), стр. 360
  5. ^ Капланский
  6. ^ Область Шрайера — это целочисленно замкнутая область целочисленности, где всякий раз, когда x делит yz , x можно записать как x = x 1 x 2, так что x 1 делит y , а x 2 делит z . В частности, область НОД — это область Шрайера
  7. ^ Бурбаки (1972), 7.3, № 2, Теорема 1.

Ссылки