Количественная оценка уникальности

Логическое свойство быть единственным объектом, удовлетворяющим условию

В математике и логике термин «уникальность» относится к свойству быть единственным объектом, удовлетворяющим определенному условию. ^[1] Этот вид квантификации известен как квантификация уникальности или уникальная экзистенциальная квантификация и часто обозначается символами « ∃ !» ^[2] или «∃ ₌₁ ».

Например, официальное заявление

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

можно прочитать как «существует ровно одно натуральное число такое, что ». ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-2=4}$

Доказательство уникальности

Наиболее распространенный метод доказательства уникальности существования объекта — сначала доказать существование сущности с требуемым условием, а затем доказать, что любые две такие сущности (скажем, и ) должны быть равны друг другу (т. е.  ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a=b}$

Например, чтобы показать, что уравнение имеет ровно одно решение, нужно сначала установить, что существует по крайней мере одно решение, а именно 3; доказательство этой части — это просто проверка того, что уравнение ниже справедливо: ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle 3+2=5.}$

Чтобы установить единственность решения, можно было бы исходить из предположения, что существуют два решения, а именно и , удовлетворяющие . То есть, ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x+2=5}$

${\displaystyle a+2=5{\text{ and }}b+2=5.}$

Тогда, поскольку равенство является транзитивным отношением ,

${\displaystyle a+2=b+2.}$

Вычитая 2 из обеих сторон, получаем

${\displaystyle a=b.}$

что завершает доказательство того, что 3 является единственным решением . ${\displaystyle x+2=5}$

В общем случае, для того чтобы сделать вывод о существовании ровно одного объекта, удовлетворяющего указанному условию, необходимо доказать как существование (существует хотя бы один объект), так и уникальность (существует не более одного объекта).

Альтернативный способ доказательства уникальности — доказать, что существует объект, удовлетворяющий условию, а затем доказать, что каждый объект, удовлетворяющий условию, должен быть равен . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Редукция к обычной экзистенциальной и универсальной квантификации

Квантификация уникальности может быть выражена в терминах квантификаторов существования и всеобщности логики предикатов , путем определения формулы , которая будет означать ${\displaystyle \exists !xP(x)}$

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

что логически эквивалентно

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Эквивалентное определение, которое разделяет понятия существования и уникальности на два предложения, в ущерб краткости, выглядит так:

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,[(P(y)\wedge P(z))\to y=z].}$

Другое эквивалентное определение, преимущество которого заключается в краткости, —

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Обобщения

Квантификация уникальности может быть обобщена до подсчетной квантификации (или числовой квантификации ^[3] ). Это включает в себя как квантификацию формы «существует ровно k объектов, таких что …», так и «существует бесконечно много объектов, таких что …» и «существует только конечное количество объектов, таких что …». Первая из этих форм может быть выражена с помощью обычных квантификаторов, но последние две не могут быть выражены в обычной логике первого порядка . ^[4]

Уникальность зависит от понятия равенства . Ослабление этого до более грубого отношения эквивалентности дает квантификацию уникальности с точностью до этой эквивалентности (в рамках этой структуры обычная уникальность — это «уникальность с точностью до равенства»). Например, многие понятия в теории категорий определяются как уникальные с точностью до изоморфизма .

Восклицательный знак также может использоваться как отдельный символ квантификации, например , , где . Например, его можно безопасно использовать в аксиоме замены , вместо . ${\displaystyle !}$ ${\displaystyle (\exists !x.P(x))\leftrightarrow ((\exists x.P(x))\land (!x.P(x)))}$ ${\displaystyle (!x.P(x)):=(\forall a\forall b.P(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$ ${\displaystyle \exists !}$

Смотрите также

• По сути уникальный
• Один-горячий
• Синглтон (математика)
• Теорема единственности

Ссылки

1. Weisstein, Eric W. "Теорема уникальности". mathworld.wolfram.com . Получено 15.12.2019 .
2. "2.5 Аргументы уникальности". www.whitman.edu . Получено 15.12.2019 .
3. Хелман, Глен (1 августа 2013 г.). "Численная квантификация" (PDF) . persweb.wabash.edu . Получено 14.12.2019 .
4. Это следствие теоремы о компактности .

Библиография

• Клини, Стивен (1952). Введение в метаматематику . Ishi Press International. стр. 199.
• Эндрюс, Питер Б. (2002). Введение в математическую логику и теорию типов к истине через доказательство (2-е изд.). Дордрехт: Kluwer Acad. Publ. стр. 233. ISBN 1-4020-0763-9.