Унитарное преобразование

Эндоморфизм, сохраняющий внутренний продукт

В математике унитарное преобразование — это линейный изоморфизм , сохраняющий скалярное произведение : скалярное произведение двух векторов до преобразования равно их скалярному произведению после преобразования.

Формальное определение

Точнее, унитарное преобразование — это изометрический изоморфизм между двумя внутренними произведениями пространств (такими как пространства Гильберта ). Другими словами, унитарное преобразование — это биективная функция

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}$

между двумя внутренними пространствами произведений, и таким образом, что ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2},}$

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle _{H_{2}}=\langle x,y\rangle _{H_{1}}\quad {\text{ for all }}x,y\in H_{1}.}$

Это линейная изометрия , как можно увидеть, установив ${\displaystyle x=y.}$

Унитарный оператор

В случае, когда и — одно и то же пространство, унитарное преобразование является автоморфизмом этого гильбертова пространства, и тогда его также называют унитарным оператором . ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Антиунитарная трансформация

Тесно связанным понятием является понятие антиунитарного преобразования , которое является биективной функцией.

${\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}\,}$

между двумя комплексными гильбертовыми пространствами такими, что

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}=\langle y,x\rangle }$

для всех и в , где горизонтальная черта представляет комплексно сопряженное . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle H_{1}}$

Смотрите также

• Антиунитарный
• Ортогональное преобразование
• Обращение времени
• Унитарная группа
• Унитарный оператор
• Унитарная матрица
• Теорема Вигнера
• Унитарные преобразования в квантовой механике