Существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел?
Унитарное совершенное число — это целое число , которое представляет собой сумму своих положительных собственных унитарных делителей , не включая само число ( делитель d числа n является унитарным делителем, если d и n / d не имеют общих делителей ). Некоторые совершенные числа не являются унитарными совершенными числами, а некоторые унитарные совершенные числа не являются обычными совершенными числами.
Число 60 — унитарное совершенное число, поскольку 1, 3, 4, 5, 12, 15 и 20 — его собственные унитарные делители, а 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Первые пять, и известны только унитарные совершенные числа: , , , и (последовательность A002827 в OEIS ). Соответствующие суммы их собственных унитарных делителей таковы:
Нечетных унитарных совершенных чисел не существует . Это следует из того, что 2 d *( n ) делит сумму унитарных делителей нечетного числа n , где d *( n ) — количество различных простых делителей n . Это получается потому, что сумма всех унитарных делителей является мультипликативной функцией , и получается, что сумма унитарных делителей простой степени p a равна p a + 1, что четно для всех нечетных простых чисел p . Следовательно, нечетное унитарное совершенное число должно иметь только один отдельный простой делитель, и нетрудно показать, что степень простого числа не может быть унитарным совершенным числом, поскольку в ней недостаточно делителей.
Неизвестно, существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел и существуют ли еще какие-либо примеры, помимо уже известных пяти. Шестое такое число будет иметь как минимум девять различных нечетных простых делителей. [1]
