Унитарное совершенное число — это целое число , которое является суммой своих положительных собственных унитарных делителей , не включая само число ( делитель d числа n является унитарным делителем, если d и n / d не имеют общих множителей ). Некоторые совершенные числа не являются унитарными совершенными числами, а некоторые унитарные совершенные числа не являются обычными совершенными числами.
Число 60 является унитарным совершенным числом, поскольку 1, 3, 4, 5, 12, 15 и 20 являются его собственными унитарными делителями, а 1 + 3 + 4 + 5 + 12 + 15 + 20 = 60. Первые пять и единственные известные унитарные совершенные числа — это , , , , и (последовательность A002827 в OEIS ). Соответствующие суммы их собственных унитарных делителей следующие:
Не существует нечетных унитарных совершенных чисел. Это следует из того, что 2 d *( n ) делит сумму унитарных делителей нечетного числа n , где d *( n ) — количество различных простых множителей числа n . Это получается из того, что сумма всех унитарных делителей является мультипликативной функцией , и получается, что сумма унитарных делителей степени простого числа p a равна p a + 1, что четно для всех нечетных простых чисел p . Следовательно, нечетное унитарное совершенное число должно иметь только один отличный простой множитель, и несложно показать, что степень простого числа не может быть унитарным совершенным числом, поскольку делителей недостаточно.
Неизвестно, существует ли бесконечно много унитарных совершенных чисел, или есть ли еще примеры помимо пяти уже известных. Шестое такое число имело бы по крайней мере девять различных нечетных простых множителей. [1]
