Коши эластичный материал

В физике Коши -упругий материал — это материал, в котором напряжение в каждой точке определяется только текущим состоянием деформации по отношению к произвольной эталонной конфигурации. ^[1] Упругий по Коши материал также называют простым упругим материалом.

Из этого определения следует, что напряжение в упругом по Коши материале не зависит от пути деформации или истории деформации, а также от времени, затраченного на достижение этой деформации, или от скорости достижения состояния деформации. Из определения также следует, что определяющие уравнения пространственно локальны; то есть на напряжение влияет только состояние деформации в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки, без учета деформации или движения остального материала. Это также означает, что объемные силы (например, гравитация) и силы инерции не могут влиять на свойства материала. Наконец, упругий по Коши материал должен удовлетворять требованиям материальной объективности .

Упругие по Коши материалы — это математические абстракции, и ни один реальный материал не соответствует этому определению идеально. Однако многие упругие материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь, пластик, дерево и бетон, часто можно считать упругими по Коши для целей анализа напряжений .

Математическое определение

Формально материал называется упругим по Коши, если тензор напряжений Коши является функцией только тензора деформации ( градиента деформации ) : ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

Это определение предполагает, что влиянием температуры можно пренебречь и тело однородно. Это основное уравнение для упругого материала Коши.

Обратите внимание, что функция зависит от выбора эталонной конфигурации. Обычно за эталонную конфигурацию принимают расслабленную конфигурацию (с нулевым напряжением), но это не обязательно. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Материальное безразличие к рамке требует, чтобы конститутивное отношение не менялось при изменении местоположения наблюдателя. Следовательно, можно записать материальное уравнение для другого произвольного наблюдателя . Зная, что тензор напряжений Коши и градиент деформации являются объективными величинами, можно написать: ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\end{aligned}}}$

где – собственный ортогональный тензор. ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

Вышеупомянутое является условием, которое должен соблюдать учредительный закон , чтобы гарантировать, что реакция материала будет независимой от наблюдателя. Аналогичные условия можно вывести для определяющих законов, связывающих градиент деформации с первым или вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Изотропные Коши-упругие материалы

Для изотропного материала тензор напряжений Коши можно выразить как функцию левого тензора Коши-Грина . Тогда материальное уравнение можно записать: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}).}$

Чтобы найти ограничение, при котором будет обеспечиваться принцип безразличия материального каркаса, можно написать: ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ {\begin{array}{rrcl}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {F}}^{*}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{*})^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}).\end{array}}}$

Определяющее уравнение , удовлетворяющее вышеуказанному условию, называется изотропным .

Неконсервативные материалы

Хотя напряжение в упругом по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, совершаемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Следовательно, упругий материал Коши в целом имеет неконсервативную структуру, и напряжение не обязательно может быть получено из скалярной функции «упругого потенциала». Консервативные в этом смысле материалы называются гиперэластичными или «зеленоэластичными».

Рекомендации

1. Р. В. Огден, 1984, Нелинейные упругие деформации , Дувр, стр. 175–204.