Тензор упругости

Зависимость напряжения от деформации в линейно-упругом материале

Тензор упругости — тензор четвертого ранга , описывающий зависимость напряжения от деформации в линейном упругом материале. ^{[1] [2]} Другие названия — тензор модуля упругости и тензор жесткости . Распространенные символы включают и . ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {Y} }$

Определяющее уравнение можно записать как

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

где и — компоненты тензора напряжений Коши и тензора бесконечно малых деформаций , а — компоненты тензора упругости. Подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. ^{[примечание 1]} Это соотношение можно интерпретировать как обобщение закона Гука на трехмерный континуум . ${\displaystyle T^{ij}}$ ${\displaystyle E_{kl}}$ ${\displaystyle C^{ijkl}}$

Общий тензор четвертого ранга в 3D имеет 3 ⁴ = 81 независимых компонент , но тензор упругости имеет не более 21 независимой компоненты. ^[3] Этот факт следует из симметрии тензоров напряжения и деформации, а также из требования, чтобы напряжение вытекало из потенциала упругой энергии . Для изотропных материалов тензор упругости имеет всего две независимых компоненты, которые могут быть выбраны как объемный модуль и модуль сдвига . ^[3] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle F_{ijkl}}$

Определение

Наиболее общее линейное соотношение между двумя тензорами второго ранга имеет вид ${\displaystyle \mathbf {T} ,\mathbf {E} }$

${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

где — компоненты тензора четвертого ранга . ^{[1] [примечание 1]} Тензор упругости определяется как для случая, когда и — тензоры напряжений и деформаций соответственно. ${\displaystyle C^{ijkl}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Тензор податливости определяется из обратной зависимости напряжения от деформации: ${\displaystyle \mathbf {K} }$

${\displaystyle E^{ij}=K^{ijkl}T_{kl}}$

Эти два понятия связаны между собой

${\displaystyle K_{ijpq}C^{pqkl}={\frac {1}{2}}\left(\delta _{i}^{k}\delta _{j}^{l}+\delta _{i}^{l}\delta _{j}^{k}\right)}$

где находится дельта Кронекера . ^{[4] [5] [примечание 2]} ${\displaystyle \delta _{n}^{m}}$

Если не указано иное, в данной статье предполагается, что определено на основе зависимости напряжения от деформации линейно-упругого материала в пределе малой деформации. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Особые случаи

Изотропный

Для изотропного материала упрощается до ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C^{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)g^{ij}g^{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)}$

где и являются скалярными функциями материальных координат , а — метрический тензор в системе отсчета материала. ^{[6] [7]} В ортонормированном декартовом базисе координат нет различия между верхними и нижними индексами, и метрический тензор можно заменить символом Кронекера: ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=\lambda \!\left(X\right)\delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \!\left(X\right)\left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\quad {\text{[Cartesian coordinates]}}}$

Подставляя первое уравнение в соотношение напряжение-деформация и суммируя по повторяющимся индексам, получаем

${\displaystyle T^{ij}=\lambda \!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)E^{ij}}$

где есть след . В этой форме и может быть идентифицировано с первым и вторым параметрами Ламе . Эквивалентное выражение имеет вид ${\displaystyle \mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \equiv E_{\,i}^{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle T^{ij}=K\!\left(X\right)\cdot \left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}+2\mu \!\left(X\right)\Sigma ^{ij}}$

где - модуль объемной упругости, а ${\displaystyle K=\lambda +(2/3)\mu }$

${\displaystyle \Sigma ^{ij}\equiv E^{ij}-(1/3)\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {E} \right)g^{ij}}$

являются компонентами тензора сдвига . ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$

Кубические кристаллы

Тензор упругости кубического кристалла имеет компоненты

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=\lambda g^{ij}g^{kl}+\mu \left(g^{ik}g^{jl}+g^{il}g^{kj}\right)\\&+\alpha \left(a^{i}a^{j}a^{k}a^{l}+b^{i}b^{j}b^{k}b^{l}+c^{i}c^{j}c^{k}c^{l}\right)\end{aligned}}}$

где , , и являются единичными векторами, соответствующими трем взаимно перпендикулярным осям элементарной ячейки кристалла . ^[8] Коэффициенты , , и являются скалярами; поскольку они не зависят от координат, они являются внутренними материальными константами. Таким образом, кристалл с кубической симметрией описывается тремя независимыми упругими константами. ^[9] ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle \mathbf {c} }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \alpha }$

В ортонормированной декартовой системе координат нет различия между верхними и нижними индексами, и представляет собой дельту Кронекера, поэтому выражение упрощается до ${\displaystyle g^{ij}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ijkl}&=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{kj}\right)\\&+\alpha \left(a_{i}a_{j}a_{k}a_{l}+b_{i}b_{j}b_{k}b_{l}+c_{i}c_{j}c_{k}c_{l}\right)\end{aligned}}}$

Другие классы кристаллов

Аналогичные выражения для компонентов имеются и в других классах симметрии кристаллов. ^[10] Число независимых упругих констант для некоторых из них приведено в таблице 1. ^[9] ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Характеристики

Симметрии

Тензор упругости имеет несколько симметрий, которые непосредственно следуют из его определяющего уравнения . ^{[11] [2]} Симметрия тензоров напряжений и деформаций подразумевает, что ${\displaystyle T^{ij}=C^{ijkl}E_{kl}}$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{jikl}\qquad {\text{and}}\qquad C_{ijkl}=C_{ijlk},}$

Обычно также предполагается, что напряжение возникает из-за потенциала упругой энергии : ${\displaystyle U}$

${\displaystyle T^{ij}={\frac {\partial U}{\partial E_{ij}}}}$

что подразумевает

${\displaystyle C_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial E_{ij}\partial E_{kl}}}}$

Следовательно, должно быть симметрично относительно перестановки первой и второй пар индексов: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}}$

Симметрии, перечисленные выше, уменьшают число независимых компонентов с 81 до 21. Если материал имеет дополнительные симметрии, то это число еще больше уменьшается. ^[9]

Трансформации

При вращении компоненты преобразуются следующим образом: ${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle C'_{ijkl}=R_{ip}R_{jq}R_{kr}R_{ls}C^{pqrs}}$

где — ковариантные компоненты в повернутом базисе, а — элементы соответствующей матрицы поворота . Аналогичное правило преобразования справедливо и для других линейных преобразований. ${\displaystyle C'_{ijkl}}$ ${\displaystyle R_{ij}}$

Инварианты

Компоненты обычно приобретают разные значения при изменении базиса. Тем не менее, для некоторых типов преобразований существуют определенные комбинации компонентов, называемые инвариантами, которые остаются неизменными. Инварианты определяются относительно заданного набора преобразований, формально известного как групповая операция . Например, инвариант относительно группы собственных ортогональных преобразований, называемый SO(3) , является величиной, которая остается постоянной при произвольных трехмерных вращениях. ${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {C} }$обладает двумя линейными инвариантами и семью квадратичными инвариантами относительно SO(3). ^[12] Линейные инварианты:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{1}&=C_{\,\,\,ij}^{ij}\\L_{2}&=C_{\,\,\,jj}^{ii}\end{aligned}}}$

и квадратичные инварианты

${\displaystyle \left\{L_{1}^{2},\,L_{2}^{2},\,L_{1}L_{2},\,C_{ijkl}C^{ijkl},\,C_{iikl}C^{jjkl},\,C_{iikl}C^{jkjl},\,C_{kiil}C^{kjjl}\right\}}$

Эти величины линейно независимы, то есть ни одна из них не может быть выражена как линейная комбинация других. Они также полны в том смысле, что нет дополнительных независимых линейных или квадратичных инвариантов. ^[12]

Разложения

Распространенной стратегией в тензорном анализе является разложение тензора на более простые компоненты, которые можно анализировать отдельно. Например, тензор градиента смещения можно разложить как ${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {\nabla } \mathbf {\xi } }$

${\displaystyle \mathbf {W} ={\frac {1}{3}}\Theta \mathbf {g} +\mathbf {\Sigma } +\mathbf {R} }$

где — тензор ранга 0 (скаляр), равный следу ; симметричен и не имеет следов; и антисимметричен. ^[13] Покомпонентно, ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \mathbf {W} }$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Sigma ^{ij}\equiv W^{(ij)}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}+W^{ji}\right)-{\frac {1}{3}}\left(\mathrm {Tr} \,\mathbf {W} \right)g^{ij}\\R^{ij}\equiv W^{[ij]}&={\frac {1}{2}}\left(W^{ij}-W^{ji}\right)\end{aligned}}}$

Здесь и далее симметризация и антисимметризация обозначаются как и , соответственно. Это разложение неприводимо в том смысле, что оно инвариантно относительно вращений, и является важным инструментом в концептуальной разработке механики сплошной среды. ^[11] ${\displaystyle (ij)}$ ${\displaystyle [ij]}$

Тензор упругости имеет ранг 4, и его разложения более сложны и разнообразны, чем разложения тензора ранга 2. ^[14] Ниже описано несколько примеров.

Тензоры M и N

Это разложение получается путем симметризации и антисимметризации двух средних индексов:

${\displaystyle C^{ijkl}=M^{ijkl}+N^{ijkl}}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{ijkl}\equiv C^{i(jk)l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}+C^{ikjl}\right)\\N^{ijkl}\equiv C^{i[jk]l}={\frac {1}{2}}\left(C^{ijkl}-C^{ikjl}\right)\end{aligned}}}$

Недостатком этого разложения является то, что и не подчиняются всем исходным симметриям , поскольку они не симметричны относительно перестановки первых двух индексов. Кроме того, оно не является неприводимым, поэтому оно не инвариантно относительно линейных преобразований, таких как вращения. ^[2] ${\displaystyle M^{ijkl}}$ ${\displaystyle N^{ijkl}}$ ${\displaystyle C^{ijkl}}$

Неприводимые представления

Неприводимое представление может быть построено путем рассмотрения понятия полностью симметричного тензора, который инвариантен относительно перестановки любых двух индексов. Полностью симметричный тензор может быть построен путем суммирования по всем перестановкам индексов ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$ ${\displaystyle 4!=24}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S^{ijkl}&={\frac {1}{4!}}\sum _{(i,j,k,l)\in S_{4}}C^{ijkl}\\&={\frac {1}{4!}}\left(C^{ijkl}+C^{jikl}+C^{ikjl}+\ldots \right)\end{aligned}}}$

где — множество всех перестановок четырех индексов. ^[2] В силу симметрии эта сумма сводится к ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$ ${\displaystyle C^{ijkl}}$

${\displaystyle S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(C^{ijkl}+C^{iklj}+C^{iljk}\right)}$

Разница

${\displaystyle A^{ijkl}\equiv C^{ijkl}-S^{ijkl}={\frac {1}{3}}\left(2C^{ijkl}-C^{ilkj}-C^{iklj}\right)}$

является асимметричным тензором ( не антисимметричным). Можно показать, что разложение является единственным и неприводимым относительно . Другими словами, любые дополнительные операции симметризации над или либо оставят его неизменным, либо дадут нулевое значение. Оно также неприводимо относительно произвольных линейных преобразований, то есть общей линейной группы . ^{[2] [15]} ${\displaystyle C^{ijkl}=S^{ijkl}+A^{ijkl}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{4}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle G(3,\mathbb {R} )}$

Однако это разложение не является неприводимым относительно группы вращений SO(3). Вместо этого разлагается на три неприводимые части, а на две: ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}C^{ijkl}&=S^{ijkl}+A^{ijkl}\\&=\left(^{(1)}\!S^{ijkl}+\,^{(2)}\!S^{ijkl}+\,^{(3)}\!S^{ijkl}\right)+\,\left(^{(1)}\!A^{ijkl}+^{(2)}\!A^{ijkl}\right)\end{aligned}}}$

Явные выражения в терминах компонентов см . в работе Итина (2020) ^{[15] .} ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Это представление разлагает пространство тензоров упругости в прямую сумму подпространств:

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left(^{(1)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(2)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(3)}\!{\mathcal {C}}\right)\oplus \,\left(^{(4)}\!{\mathcal {C}}\oplus \,^{(5)}\!{\mathcal {C}}\right)}$

с размерами

${\displaystyle 21=(1\oplus 5\oplus 9)\oplus (1\oplus 5)}$

Каждое из этих подпространств изоморфно гармоническому тензорному пространству . ^{[15] [16]} Здесь — пространство трехмерных, полностью симметричных, бесследовых тензоров ранга . В частности, и соответствуют , и соответствуют , и соответствуют . ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{n}(\mathbb {R} ^{3})}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ^{(1)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle ^{(4)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle ^{(2)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle ^{(5)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{2}}$ ${\displaystyle ^{(3)}\!{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{4}}$

Смотрите также

• Механика сплошной среды
• Механика твёрдого тела
• Уравнение состояния
• Прочность материалов
• Список свойств материалов § Механические свойства
• Теория представлений конечных групп
• нотация Фойгта

Сноски

1. Здесь верхние и нижние индексы обозначают контравариантные и ковариантные компоненты соответственно, хотя для декартовых координат это различие можно игнорировать . В результате некоторые ссылки представляют компоненты, используя только нижние индексы.
2. Объединение прямого и обратного соотношений напряжение-деформация дает E _ij = K _ijpq C ^pqkl E _kl . Из-за второстепенных симметрий C ^pqkl = C ^qpkl и C ^pqkl = C ^pqlk , это уравнение не определяет однозначно K _ijpq C ^pqkl . Фактически, K _ijpq C ^pqkl = a δ ^k _i δ ^l _j + (1 − a ) δ ^l _i δ ^k _j является решением для любого 0 ≤ a ≤ 1 . Однако только a = 1/2 сохраняет второстепенные симметрии K , поэтому это правильное решение с физической точки зрения.

Ссылки

1. Thorne & Blandford 2017, стр. 580.
2. Итин и Хель 2013.
3. Thorne & Blandford 2017, стр. 581.
4. Хилл 1965.
5. Ковин 1989.
6. Марсден и Хьюз 1994, стр. 223.
7. Хель и Итин 2002.
8. Томас 1966.
9. Ландау и Лифшиц 1970.
10. Шринивасан и Нигам 1969.
11. Thorne & Blandford 2017.
12. Норрис 2007.
13. Торн и Блэндфорд 2017, стр. 571.
14. Моахер и Норрис 2006, стр. 221–222.
15. Itin 2020.
16. Олив, Колев и Оффре, 2017.

Библиография

• Фейнмановские лекции по физике - Тензор упругости
• Коуин, Стивен К. (1989). «Свойства анизотропного тензора упругости». Ежеквартальный журнал механики и прикладной математики . 42 (2): 249–266. doi :10.1093/qjmam/42.2.249. eISSN  1464-3855. ISSN  0033-5614.
• Hehl, Friedrich W.; Itin, Yakov (2002). «Соотношения Коши в линейной теории упругости». Journal of Elasticity and the Physical Science of Solids . 66 (2): 185–192. arXiv : cond-mat/0206175 . doi :10.1023/A:1021225230036. ISSN  0374-3535. S2CID  18618340.
• Хилл, Р. (апрель 1965 г.). «Континуальная микромеханика упругопластических поликристаллов». Журнал механики и физики твердого тела . 13 (2): 89–101. Bibcode : 1965JMPSo..13...89H. doi : 10.1016/0022-5096(65)90023-2. ISSN  0022-5096.
• Itin, Yakov; Hehl, Friedrich W. (апрель 2013 г.). "Конститутивный тензор линейной упругости: его разложения, соотношения Коши, нулевые лагранжианы и распространение волн". Journal of Mathematical Physics . 54 (4): 042903. arXiv : 1208.1041 . Bibcode :2013JMP....54d2903I. doi :10.1063/1.4801859. eISSN  1089-7658. ISSN  0022-2488. S2CID  119133966.
• Итин, Яков (20 апреля 2020 г.). «Неприводимое матричное разрешение для классов симметрии тензоров упругости». Математика и механика твердого тела . 25 (10): 1873–1895. arXiv : 1812.03367 . doi :10.1177/1081286520913596. eISSN  1741-3028. ISSN  1081-2865. S2CID  219087296.
• Ландау, Лев Д.; Лифшиц , Евгений М. (1970). Теория упругости . Т. 7 (2-е изд.). Pergamon Press . ISBN 978-0-08-006465-9.
• Марсден, Джерролд Э.; Хьюз, Томас Дж. Р. (1994). Математические основы упругости. Dover Publications. ISBN 978-0-486-67865-8. OCLC  1117171567.
• Moakher, Maher; Norris, Andrew N. (5 октября 2006 г.). "The Closest Elastic Tensor of Arbitrary Symmetry to an Elasticity Tensor of Lower Symmetry" (PDF) . Journal of Elasticity . 85 (3): 215–263. doi :10.1007/s10659-006-9082-0. eISSN  1573-2681. ISSN  0374-3535. S2CID  12816173.
• Норрис, AN (22 мая 2007 г.). «Квадратичные инварианты упругих модулей». The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics . 60 (3): 367–389. arXiv : cond-mat/0612506 . doi :10.1093/qjmam/hbm007. eISSN  1464-3855. ISSN  0033-5614.
• Olive, M.; Kolev, B.; Auffray, N. (2017-05-24). "A Minimal Integrity Basis for the Elasticity Tensor". Архив для Rational Mechanics and Analysis . 226 (1). Springer Science and Business Media LLC: 1–31. arXiv : 1605.09561 . Bibcode : 2017ArRMA.226....1O. doi : 10.1007/s00205-017-1127-y. ISSN  0003-9527. S2CID  253711197.
• Шринивасан, Т.П.; Нигам, С.Д. (1969). «Инвариантные упругие константы для кристаллов» . Журнал математики и механики . 19 (5): 411–420. eISSN  0095-9057. ISSN  1943-5274. JSTOR  24901866.
• Thomas, TY (февраль 1966). «О соотношениях напряжение-деформация для кубических кристаллов». Труды Национальной академии наук . 55 (2): 235–239. Bibcode :1966PNAS...55..235T. doi : 10.1073/pnas.55.2.235 . eISSN  1091-6490. ISSN  0027-8424. PMC  224128 . PMID  16591328.
• Торн, Кип С.; Блэндфорд, Роджер Д. (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Princeton University Press. ISBN 9780691159027.