Упругое столкновение

Столкновение, при котором кинетическая энергия сохраняется

Пока излучение черного тела (не показано) не покидает систему, атомы в тепловом возбуждении подвергаются по существу упругим столкновениям. В среднем два атома отскакивают друг от друга с той же кинетической энергией, что и до столкновения. Пять атомов окрашены в красный цвет, чтобы легче было увидеть траектории их движения.

В физике упругое столкновение — это столкновение ( столкновение ) двух тел , при котором общая кинетическая энергия двух тел остается одинаковой. При идеальном, абсолютно упругом столкновении нет чистого преобразования кинетической энергии в другие формы, такие как тепло , шум или потенциальная энергия .

При столкновении малых объектов кинетическая энергия сначала преобразуется в потенциальную энергию, связанную с силой отталкивания или притяжения между частицами (когда частицы движутся против этой силы, т. е. угол между силой и относительной скоростью тупой), затем эта потенциальная энергия преобразуется обратно в кинетическую энергию (когда частицы движутся с этой силой, т. е. угол между силой и относительной скоростью острый).

Столкновения атомов являются упругими, например, резерфордовское обратное рассеяние .

Полезным частным случаем упругого столкновения является случай, когда два тела имеют одинаковую массу; в этом случае они просто обменяются своими импульсами .

Молекулы — в отличие от атомов — газа или жидкости редко испытывают идеально упругие столкновения, поскольку кинетическая энергия обменивается между поступательным движением молекул и их внутренними степенями свободы при каждом столкновении. В любой момент времени половина столкновений являются, в той или иной степени, неупругими столкновениями (пара обладает меньшей кинетической энергией в своих поступательных движениях после столкновения, чем до него), а половину можно было бы описать как «сверхупругие» (обладающие большей кинетической энергией после столкновения, чем до него). Усредненные по всему образцу, молекулярные столкновения можно считать по существу упругими, пока закон Планка запрещает уносить энергию фотонами черного тела.

В случае макроскопических тел идеально упругие столкновения являются идеалом, который никогда полностью не реализуется, но приближается к взаимодействиям таких объектов, как бильярдные шары .

При рассмотрении энергий возможная энергия вращения до и/или после столкновения также может играть роль.

Уравнения

Одномерный ньютоновский

Профессор Уолтер Левин объясняет одномерные упругие столкновения

При любом столкновении импульс сохраняется; но при упругом столкновении кинетическая энергия также сохраняется. ^[1] Рассмотрим частицы A и B с массами m _A , m _B и скоростями v _A1 , v _B1 до столкновения, v _A2 , v _B2 после столкновения. Сохранение импульса до и после столкновения выражается формулой: ^[1] $${\displaystyle m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}\ =\ m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.}$$

Аналогично, сохранение полной кинетической энергии выражается формулой: ^[1] $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B1}^{2}\ =\ {\tfrac {1}{2}}m_{A}v_{A2}^{2}+{\tfrac {1}{2}}m_{B}v_{B2}^{2}.}$$

Эти уравнения можно решить напрямую, чтобы найти , когда известны: ^[2] ${\displaystyle v_{A2},v_{B2}}$ ${\displaystyle v_{A1},v_{B1}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}v_{A2}&=&{\dfrac {m_{A}-m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {2m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}\\[.5em]v_{B2}&=&{\dfrac {2m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{A1}+{\dfrac {m_{B}-m_{A}}{m_{A}+m_{B}}}v_{B1}.\end{array}}}$$

Альтернативно конечная скорость частицы v ₂ (v _A2 или v _B2 ) выражается следующим образом:

${\displaystyle v=(1+e)v_{CoM}-eu,v_{CoM}={\dfrac {m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}}}}$

Где:

• е — коэффициент восстановления .
• v _CoM — скорость центра масс системы двух частиц.
• v ₁ (v _A1 или v _B1 ) — начальная скорость частицы.

Если обе массы одинаковы, то у нас есть тривиальное решение: это просто соответствует тому, что тела обмениваются своими начальными скоростями друг с другом. ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{A2}&=v_{B1}\\v_{B2}&=v_{A1}.\end{aligned}}}$$

Как и ожидалось, решение инвариантно относительно добавления константы ко всем скоростям ( относительность Галилея ), что похоже на использование системы отсчета с постоянной поступательной скоростью. Действительно, чтобы вывести уравнения, можно сначала изменить систему отсчета так, чтобы одна из известных скоростей была равна нулю, определить неизвестные скорости в новой системе отсчета и вернуться к исходной системе отсчета.

Примеры

До столкновения

Шарик А: масса = 3 кг, скорость = 4 м/с

Шар B: масса = 5 кг, скорость = 0 м/с

После столкновения

Мяч А: скорость = −1 м/с

Шар B: скорость = 3 м/с

Другая ситуация:

Упругий удар неравных масс.

Ниже приведена иллюстрация случая равной массы . ${\displaystyle m_{A}=m_{B}}$

Упругий удар равных масс

Упругое столкновение масс в системе с движущейся системой отсчета

В предельном случае, когда намного больше, чем , например, когда ракетка для пинг-понга ударяет по шарику для пинг-понга или внедорожник врезается в мусорный бак, более тяжелая масса практически не меняет скорость, в то время как более легкая масса отскакивает, меняя свою скорость на обратную и примерно в два раза превышая скорость тяжелой массы. ^[3] ${\displaystyle m_{A}}$ ${\displaystyle m_{B}}$

В случае большого значение мало, если массы примерно одинаковы: столкновение с гораздо более легкой частицей не сильно изменяет скорость, столкновение с гораздо более тяжелой частицей заставляет быструю частицу отскакивать назад с большой скоростью. Вот почему замедлитель нейтронов (среда, которая замедляет быстрые нейтроны , тем самым превращая их в тепловые нейтроны , способные поддерживать цепную реакцию ) представляет собой материал, полный атомов с легкими ядрами, которые нелегко поглощают нейтроны: самые легкие ядра имеют примерно такую ​​же массу, как нейтрон . ${\displaystyle v_{A1}}$ ${\displaystyle v_{A2}}$

Вывод решения

Чтобы вывести приведенные выше уравнения, переставим уравнения кинетической энергии и импульса: ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{A}(v_{A2}^{2}-v_{A1}^{2})&=m_{B}(v_{B1}^{2}-v_{B2}^{2})\\m_{A}(v_{A2}-v_{A1})&=m_{B}(v_{B1}-v_{B2})\end{aligned}}}$$

Разделив каждую часть верхнего уравнения на каждую часть нижнего уравнения и используя, получаем: ${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b,}$

$${\displaystyle v_{A2}+v_{A1}=v_{B1}+v_{B2}\quad \Rightarrow \quad v_{A2}-v_{B2}=v_{B1}-v_{A1}}$$

То есть относительная скорость одной частицы по отношению к другой меняется на противоположную в результате столкновения.

Теперь приведенные выше формулы следуют из решения системы линейных уравнений , рассматривая как константы: Как только определено, можно найти с помощью симметрии. ${\displaystyle v_{A2},v_{B2},}$ ${\displaystyle m_{A},m_{B},v_{A1},v_{B1}}$ $${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{A2}&-&v_{B2}&=&v_{B1}-v_{A1}\\m_{A}v_{A1}&+&m_{B}v_{B1}&=&m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}.\end{array}}\right.}$$ ${\displaystyle v_{A2}}$ ${\displaystyle v_{B2}}$

Центр масс кадра

Относительно центра масс обе скорости меняются на противоположные при столкновении: тяжелая частица медленно движется к центру масс и отскакивает назад с той же низкой скоростью, а легкая частица быстро движется к центру масс и отскакивает назад с той же высокой скоростью.

Скорость центра масс не меняется при столкновении. Чтобы увидеть это, рассмотрим центр масс в момент времени до столкновения и момент времени после столкновения: ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t'}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}(t)&={\frac {m_{A}x_{A}(t)+m_{B}x_{B}(t)}{m_{A}+m_{B}}}\\{\bar {x}}(t')&={\frac {m_{A}x_{A}(t')+m_{B}x_{B}(t')}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

Следовательно, скорости центра масс до и после столкновения равны: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\bar {x}}&={\frac {m_{A}v_{A1}+m_{B}v_{B1}}{m_{A}+m_{B}}}\\v_{\bar {x}}'&={\frac {m_{A}v_{A2}+m_{B}v_{B2}}{m_{A}+m_{B}}}.\end{aligned}}}$$

Числители и являются суммарными импульсами до и после столкновения. Поскольку импульс сохраняется, мы имеем ${\displaystyle v_{\bar {x}}}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}'}$ ${\displaystyle v_{\bar {x}}=v_{\bar {x}}'\,.}$

Одномерный релятивистский

Согласно специальной теории относительности , где p обозначает импульс любой частицы с массой, v обозначает скорость, а c — скорость света. $${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

В центре импульсной системы отсчета , где полный импульс равен нулю, $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}$$

Здесь представляют собой массы покоя двух сталкивающихся тел, представляют собой их скорости до столкновения, их скорости после столкновения, их импульсы, — скорость света в вакууме, а обозначает полную энергию, сумму масс покоя и кинетических энергий двух тел. ${\displaystyle m_{1},m_{2}}$ ${\displaystyle u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E}$

Поскольку полная энергия и импульс системы сохраняются, а их массы покоя не изменяются, показано, что импульс сталкивающегося тела определяется массами покоя сталкивающихся тел, полной энергией и полным импульсом. Относительно центра импульса системы импульс каждого сталкивающегося тела не изменяет величину после столкновения, но меняет направление своего движения на противоположное.

По сравнению с классической механикой , которая дает точные результаты, имея дело с макроскопическими объектами, движущимися гораздо медленнее скорости света , полный импульс двух сталкивающихся тел зависит от системы отсчета. В центре импульсной системы отсчета , согласно классической механике,

$${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}$$

Это согласуется с релятивистским расчетом, несмотря на другие различия. ${\displaystyle u_{1}=-v_{1},}$

Один из постулатов специальной теории относительности гласит, что законы физики, такие как сохранение импульса, должны быть инвариантны во всех инерциальных системах отсчета. В общей инерциальной системе отсчета, где полный импульс может быть произвольным,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}$$Мы можем рассматривать два движущихся тела как одну систему, полный импульс которой равен полной энергии , а ее скорость равна скорости ее центра масс. Относительно центра импульса системы отсчета полный импульс равен нулю. Можно показать, что задается выражением: Теперь скорости до столкновения в центре импульса системы отсчета и равны: ${\displaystyle p_{T},}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle v_{c}}$ ${\displaystyle v_{c}}$ $${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$$ ${\displaystyle u_{1}'}$ ${\displaystyle u_{2}'}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}$$

Когда и ${\displaystyle u_{1}\ll c}$ ${\displaystyle u_{2}\ll c\,,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}$$

Таким образом, классический расчет справедлив, когда скорость обоих сталкивающихся тел намного меньше скорости света (~300 000 километров в секунду).

Релятивистский вывод с использованием гиперболических функций

Используя так называемый параметр скорости (обычно называемый быстротой ), ${\displaystyle s}$

$${\displaystyle {\frac {v}{c}}=\tanh(s),}$$мы получаем $${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}=\operatorname {sech} (s).}$$

Релятивистская энергия и импульс выражаются следующим образом: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}\cosh(s)\\p&={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc\sinh(s)\end{aligned}}}$$

Уравнения суммы энергии и импульса сталкивающихся масс и (скорости соответствуют параметрам скорости ), после деления на соответствующую степень, имеют следующий вид: ${\displaystyle m_{1}}$ ${\displaystyle m_{2},}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2},u_{1},u_{2}}$ ${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3},s_{4}}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}\cosh(s_{1})+m_{2}\cosh(s_{2})&=m_{1}\cosh(s_{3})+m_{2}\cosh(s_{4})\\m_{1}\sinh(s_{1})+m_{2}\sinh(s_{2})&=m_{1}\sinh(s_{3})+m_{2}\sinh(s_{4})\end{aligned}}}$$

и зависимое уравнение, сумма приведенных выше уравнений: $${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$$

вычитаем квадраты обеих сторон уравнения «импульс» из «энергии» и используем тождество, после упрощения получаем: ${\textstyle \cosh ^{2}(s)-\sinh ^{2}(s)=1,}$ $${\displaystyle 2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{1})\cosh(s_{2})-\sinh(s_{2})\sinh(s_{1}))=2m_{1}m_{2}(\cosh(s_{3})\cosh(s_{4})-\sinh(s_{4})\sinh(s_{3}))}$$

для ненулевой массы, используя гиперболическое тригонометрическое тождество, получаем: ${\textstyle \cosh(a-b)=\cosh(a)\cosh(b)-\sinh(b)\sinh(a),}$ $${\displaystyle \cosh(s_{1}-s_{2})=\cosh(s_{3}-s_{4})}$$

так как функции четные, то получаем два решения: из последнего уравнения, приводящего к нетривиальному решению, решаем и подставляем в зависимое уравнение, получаем и тогда имеем: ${\displaystyle \cosh(s)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{1}-s_{2}&=s_{3}-s_{4}\\s_{1}-s_{2}&=-s_{3}+s_{4}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle e^{s_{1}}}$ ${\displaystyle e^{s_{2}},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{s_{1}}&=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\\e^{s_{2}}&=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}\end{aligned}}}$$

Это решение проблемы, но выраженное параметрами скорости. Обратная подстановка для получения решения для скоростей: $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}/c&=\tanh(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}\\v_{2}/c&=\tanh(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}\end{aligned}}}$$

Подставим предыдущие решения и заменим: и после долгих преобразований, с заменой: получим: ${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$ ${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}},}$ ${\textstyle Z={\sqrt {\left(1-u_{1}^{2}/c^{2}\right)\left(1-u_{2}^{2}/c^{2}\right)}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{1}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\\v_{2}&={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

Двумерный

Для случая двух невращающихся сталкивающихся тел в двух измерениях движение тел определяется тремя законами сохранения импульса, кинетической энергии и момента импульса. Общая скорость каждого тела должна быть разделена на две перпендикулярные скорости: одна касательная к общим нормальным поверхностям сталкивающихся тел в точке контакта, другая вдоль линии столкновения. Поскольку столкновение передает силу только вдоль линии столкновения, скорости, которые касательны к точке столкновения, не изменяются. Скорости вдоль линии столкновения затем могут быть использованы в тех же уравнениях, что и одномерное столкновение. Окончательные скорости затем могут быть вычислены из двух новых компонентных скоростей и будут зависеть от точки столкновения. Исследования двумерных столкновений проводятся для многих тел в рамках двумерного газа .

Двумерное упругое столкновение

В системе отсчета центра импульса в любой момент времени скорости двух тел направлены в противоположные стороны, причем величины обратно пропорциональны массам. При упругом столкновении эти величины не меняются. Направления могут меняться в зависимости от формы тел и точки удара. Например, в случае сфер угол зависит от расстояния между (параллельными) траекториями центров двух тел. Возможно любое ненулевое изменение направления: если это расстояние равно нулю, скорости меняются на противоположные при столкновении; если оно близко к сумме радиусов сфер, два тела отклоняются лишь незначительно.

Предполагая, что вторая частица покоилась до столкновения, углы отклонения двух частиц и связаны с углом отклонения в системе центра масс соотношением ^[4]. Величины скоростей частиц после столкновения равны: ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \theta }$ $${\displaystyle \tan \theta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \theta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1}&=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}}\\v'_{2}&=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.\end{aligned}}}$$

Двумерное столкновение двух движущихся объектов

Конечные компоненты скоростей x и y первого мяча можно рассчитать следующим образом: ^[5] где v ₁ и v ₂ — скалярные размеры двух исходных скоростей объектов, m ₁ и m ₂ — их массы, θ ₁ и θ ₂ — их углы движения, то есть (то есть движение прямо вниз направо составляет либо угол −45°, либо угол 315°), а строчная буква phi ( φ ) — угол контакта. (Чтобы получить скорости x и y второго мяча, нужно поменять все индексы «1» на индексы «2»). $${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\tfrac {\pi }{2}}),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$

Это уравнение выведено из того факта, что взаимодействие между двумя телами легко вычисляется вдоль угла контакта, то есть скорости объектов можно вычислить в одном измерении, повернув оси x и y так, чтобы они были параллельны углу контакта объектов, а затем повернув их обратно в исходную ориентацию, чтобы получить истинные компоненты x и y скоростей. ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]}

В безугловом представлении измененные скорости вычисляются с использованием центров x ₁ и x ₂ в момент контакта, где угловые скобки указывают на внутреннее произведение (или скалярное произведение ) двух векторов. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$$

Другие сохраняющиеся величины

В частном случае частиц с равными массами можно проверить прямым вычислением из приведенного выше результата, что скалярное произведение скоростей до и после столкновения одинаково, то есть Хотя это произведение не является аддитивным инвариантом в том же смысле, в каком импульс и кинетическая энергия являются таковыми для упругих столкновений, кажется, что сохранение этой величины может, тем не менее, использоваться для вывода законов сохранения более высокого порядка. ^[12] ${\displaystyle \langle \mathbf {v} '_{1},\mathbf {v} '_{2}\rangle =\langle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\rangle .}$

Смотрите также

• Столкновение
• Неупругое столкновение
• Коэффициент восстановления

Ссылки

1. Serway & Jewett 2014, стр. 257
2. Serway & Jewett 2014, стр. 258
3. Сервэй и Джуэтт 2014, стр. 258–259
4. Ландау и Лифшиц 1976, стр. 46
5. Craver, William E. (13 августа 2013 г.). "Упругие столкновения" . Получено 4 марта 2023 г.^{[ самостоятельно опубликованный источник ]}
6. Паркинсон, Стивен (1869) «Элементарный трактат по механике» (4-е изд.) стр. 197. Лондон. MacMillan
7. Love, AEH (1897) "Принципы динамики" стр. 262. Кембридж. Cambridge University Press
8. Раут, Эдвард Дж. (1898) «Трактат о динамике частицы» стр. 39. Кембридж. Издательство Кембриджского университета
9. Глейзбрук, Ричард Т. (1911) "Динамика" (2-е изд.) стр. 217. Кембридж. Издательство Кембриджского университета
10. Осгуд, Уильям Ф. (1949) «Механика» стр. 272. Лондон. MacMillan
11. Стефенсон, Реджинальд Дж. (1952) «Механика и свойства материи» стр. 40. Нью-Йорк. Wiley
12. Chliamovitch, G.; Malaspinas, O.; Chopard, B. (2017). «Кинетическая теория за пределами Stosszahlansatz». Entropy . 19 (8): 381. Bibcode : 2017Entrp..19..381C. doi : 10.3390/e19080381 .

Общие ссылки

• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (1976). Механика (3-е изд.). Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8.
• Рэймонд, Дэвид Дж. "10.4.1 Упругие столкновения". Радикально современный подход к вводной физике . Том 1: Фундаментальные принципы. Сокорро, Нью-Мексико: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2014). "9: Линейный импульс и столкновения". Физика для ученых и инженеров с современной физикой (9-е изд.). Бостон. ISBN 978-1-133-95405-7.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

Внешние ссылки

• Разрешение столкновения твердых тел в трех измерениях, включая вывод с использованием законов сохранения