Уравнение Аллена–Кана

Численное решение одномерного уравнения Аллена-Кана

Уравнение Аллена–Кана (в честь Джона У. Кана и Сэма Аллена) — уравнение реакции-диффузии математической физики , описывающее процесс разделения фаз в многокомпонентных системах сплавов, включая переходы порядок-беспорядок.

Уравнение описывает временную эволюцию скалярной переменной состояния в домене в течение временного интервала и задается следующим образом: ^{[1] [2]} ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {{\partial \eta } \over {\partial t}}=M_{\eta }[\operatorname {div} (\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )-f'(\eta )]\quad {\text{on }}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta ={\bar {\eta }}\quad {\text{on }}\partial _{\eta }\Omega \times {\mathcal {T}},}$

${\displaystyle \quad -(\varepsilon _{\eta }^{2}\nabla \,\eta )\cdot m=q\quad {\text{on }}\partial _{q}\Omega \times {\mathcal {T}},\quad \eta =\eta _{o}\quad {\text{on }}\Omega \times \{0\},}$

где — подвижность, — потенциал двойной ямы, — управление переменной состояния на участке границы , — управление источником в , — начальное условие, а — внешняя нормаль к . ${\displaystyle M_{\eta }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\bar {\eta }}}$ ${\displaystyle \partial _{\eta }\Omega }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \partial _{q}\Omega }$ ${\displaystyle \eta _{o}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$

Это градиентный поток L2 функционала свободной энергии Гинзбурга–Ландау . ^[3] Он тесно связан с уравнением Кана– ^{Хилларда} .

Математическое описание

Позволять

• ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$быть открытым множеством ,
• ${\displaystyle v_{0}(x)\in L^{2}(\Omega )}$произвольная начальная функция,
• ${\displaystyle \varepsilon >0}$и две константы. ${\displaystyle T>0}$

Функция является решением уравнения Аллена–Кана, если она решает ^[4] ${\displaystyle v(x,t):\Omega \times [0,T]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \partial _{t}v-\Delta _{x}v=-{\frac {1}{\varepsilon ^{2}}}f(v),\quad \Omega \times [0,T]}$

где

• ${\displaystyle \Delta _{x}}$является лапласианом относительно пространства , ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle f(v)=F'(v)}$является производной неотрицательной функции с двумя минимумами . ${\displaystyle F\in C^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F(\pm 1)=0}$

Обычно имеют место следующие начальные условия с граничным условием Неймана:

${\displaystyle {\begin{cases}v(x,0)=v_{0}(x),&\Omega \times \{0\}\\\partial _{n}v=0,&\partial \Omega \times [0,T]\\\end{cases}}}$

где - внешняя нормальная производная . ${\displaystyle \partial _{n}v}$

Для одного популярного кандидата это ${\displaystyle F(v)}$

${\displaystyle F(v)={\frac {(v^{2}-1)^{2}}{4}},\qquad f(v)=v^{3}-v.}$

Ссылки

1. Аллен, SM; Кан, JW (1972). «Структуры основного состояния в упорядоченных бинарных сплавах со взаимодействиями вторых соседей». Acta Metall . 20 (3): 423–433. doi :10.1016/0001-6160(72)90037-5.
2. Аллен, SM; Кан, JW (1973). «Исправление к основному состоянию бинарных упорядоченных сплавов ГЦК с парными взаимодействиями первого и второго соседей». Scripta Metallurgica . 7 (12): 1261–1264. doi :10.1016/0036-9748(73)90073-2.
3. Veerman, Frits (8 марта 2016 г.). «Что такое градиентный поток L2?». MathOverflow .
4. Бартельс, Сёрен (2015). Численные методы для нелинейных уравнений с частными производными . Германия: Springer International Publishing. стр. 153.

Дальнейшее чтение

• http://www.ctcms.nist.gov/~wcraig/variational/node10.html
• Аллен, SM; Кан, JW (1975). «Когерентные и некогерентные равновесия в железо-алюминиевых сплавах с высоким содержанием железа». Acta Metall . 23 (9): 1017. doi :10.1016/0001-6160(75)90106-6.
• Аллен, SM; Кан, JW (1976). «О трикритических точках, возникающих в результате пересечения линий переходов высшего порядка со спинодалью». Scripta Metallurgica . 10 (5): 451–454. doi :10.1016/0036-9748(76)90171-x.
• Аллен, SM; Кан, JW (1976). «Механизмы фазового превращения в пределах интервала смешиваемости сплавов Fe-Al с высоким содержанием железа». Acta Metall . 24 (5): 425–437. doi :10.1016/0001-6160(76)90063-8.
• Кан, Дж. В.; Аллен, С. М. (1977). «Микроскопическая теория движения доменных стенок и ее экспериментальная проверка в кинетике роста доменов сплава Fe-Al». Journal de Physique . 38 : C7–51.
• Аллен, SM; Кан, JW (1979). «Микроскопическая теория движения антифазной границы и ее применение к укрупнению антифазных доменов». Acta Metall . 27 (6): 1085–1095. doi :10.1016/0001-6160(79)90196-2.
• Бронсард, Л.; Райтич, Ф. (1993). «О трехфазном граничном движении и сингулярном пределе векторного уравнения Гинзбурга–Ландау». Arch. Rat. Mech. Anal . 124 (4): 355–379. Bibcode :1993ArRMA.124..355B. doi :10.1007/bf00375607. S2CID  123291032.

Внешние ссылки

• Моделирование Нильсом Берглундом решения уравнения Аллена–Кана