Уравнение Лапласа

Уравнение в частных производных второго порядка

В математике и физике уравнение Лапласа — это уравнение в частных производных второго порядка , названное в честь Пьера-Симона Лапласа , который первым изучил его свойства. Его часто записывают как или где — оператор Лапласа , ^{[примечание 1]} — оператор дивергенции (также обозначается как «div»), — оператор градиента (также обозначается как «grad»), — дважды дифференцируемая вещественная функция. Таким образом, оператор Лапласа отображает скалярную функцию в другую скалярную функцию. $${\displaystyle \nabla ^{2}\!f=0}$$ $${\displaystyle \Delta f=0,}$$ ${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle f(x,y,z)}$

Если правая часть задана как заданная функция, то имеем ${\displaystyle h(x,y,z)}$ $${\displaystyle \Delta f=h}$$

Это называется уравнением Пуассона , обобщением уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона являются простейшими примерами эллиптических уравнений в частных производных . Уравнение Лапласа также является частным случаем уравнения Гельмгольца .

Общая теория решений уравнения Лапласа известна как теория потенциала . Дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнения Лапласа являются гармоническими функциями , ^[1] которые важны во многих разделах физики, в частности, в электростатике, гравитации и гидродинамике . При изучении теплопроводности уравнение Лапласа является стационарным уравнением теплопроводности . ^[2] В общем случае уравнение Лапласа описывает ситуации равновесия или те, которые явно не зависят от времени.

Формы в разных системах координат

В прямоугольных координатах , ^[3] $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

В цилиндрических координатах , ^[3] $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.}$$

В сферических координатах , используя соглашение, ^[3] ${\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

В более общем случае, в произвольных криволинейных координатах (ξ ⁱ ) или где g _ij — евклидов метрический тензор относительно новых координат, а Γ обозначает его символы Кристоффеля . $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})}$$

Граничные условия

Уравнение Лапласа на кольце (внутренний радиус r = 2 и внешний радиус R = 4 ) с граничными условиями Дирихле u ( r =2) = 0 и u ( R =4) = 4 sin(5 θ )

Задача Дирихле для уравнения Лапласа состоит в нахождении решения φ на некоторой области D, такого, что φ на границе D равно некоторой заданной функции. Поскольку оператор Лапласа появляется в уравнении теплопроводности , одна физическая интерпретация этой задачи такова: зафиксировать температуру на границе области в соответствии с заданной спецификацией граничного условия. Дать теплу течь до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное состояние, в котором температура в каждой точке области больше не меняется. Распределение температуры внутри будет тогда задано решением соответствующей задачи Дирихле.

Граничные условия Неймана для уравнения Лапласа задают не саму функцию φ на границе D , а ее нормальную производную . Физически это соответствует построению потенциала для векторного поля, эффект которого известен только на границе D. Для примера уравнения теплопроводности это равносильно заданию теплового потока через границу. В частности, на адиабатической границе нормальная производная φ равна нулю.

Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями ; все они являются аналитическими в области, где уравнение удовлетворяется. Если любые две функции являются решениями уравнения Лапласа (или любого линейного однородного дифференциального уравнения), их сумма (или любая линейная комбинация) также является решением. Это свойство, называемое принципом суперпозиции , очень полезно. Например, решения сложных задач можно построить путем суммирования простых решений.

В двух измерениях

Уравнение Лапласа с двумя независимыми переменными в прямоугольных координатах имеет вид $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.}$$

Аналитические функции

Действительная и мнимая части комплексной аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. То есть, если z = x + iy , и если тогда необходимое условие того, чтобы f ( z ) была аналитической, состоит в том, что u и v должны быть дифференцируемы и чтобы выполнялись уравнения Коши–Римана : где u _x — первая частная производная u по x . Отсюда следует, что Поэтому u удовлетворяет уравнению Лапласа. Аналогичное вычисление показывает, что v также удовлетворяет уравнению Лапласа. И наоборот, если задана гармоническая функция, то она является действительной частью аналитической функции f ( z ) (по крайней мере локально). Если пробная форма равна , то уравнения Коши–Римана будут выполнены, если мы положим Это соотношение определяет не ψ , а только ее приращения: Уравнение Лапласа для φ подразумевает, что условие интегрируемости для ψ выполняется: и, таким образом, ψ может быть определено криволинейным интегралом. Условие интегрируемости и теорема Стокса подразумевают, что значение линейного интеграла, соединяющего две точки, не зависит от пути. Полученная пара решений уравнения Лапласа называется сопряженными гармоническими функциями . Эта конструкция действительна только локально или при условии, что путь не зацикливается вокруг сингулярности. Например, если r и θ — полярные координаты, то соответствующая аналитическая функция — $${\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y),}$$ $${\displaystyle u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.}$$ $${\displaystyle u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.}$$ $${\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),}$$ $${\displaystyle \psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.}$$ $${\displaystyle d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy.}$$ $${\displaystyle \psi _{xy}=\psi _{yx},}$$ $${\displaystyle \varphi =\log r,}$$ $${\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta .}$$

Однако угол θ однозначен только в области, не охватывающей начало координат.

Тесная связь между уравнением Лапласа и аналитическими функциями подразумевает, что любое решение уравнения Лапласа имеет производные всех порядков и может быть разложено в степенной ряд , по крайней мере внутри круга, который не охватывает сингулярность. Это резко контрастирует с решениями волнового уравнения , которые, как правило, имеют меньшую регулярность ^{[ требуется цитата ]} .

Существует тесная связь между степенным рядом и рядом Фурье . Если мы разложим функцию f в степенной ряд внутри круга радиуса R , это означает, что с соответствующим образом определенными коэффициентами, действительные и мнимые части которых задаются как Следовательно, что является рядом Фурье для f . Эти тригонометрические функции сами по себе могут быть разложены с использованием формул нескольких углов . $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle c_{n}=a_{n}+ib_{n}.}$$ $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],}$$

Поток жидкости

Пусть величины u и v будут горизонтальными и вертикальными компонентами поля скорости стационарного несжимаемого безвихревого потока в двух измерениях. Условие непрерывности для несжимаемого потока заключается в том, что а условие того, что поток будет безвихревым, заключается в том, что Если мы определим дифференциал функции ψ с помощью , то условие непрерывности будет условием интегрируемости для этого дифференциала: результирующая функция называется функцией тока, поскольку она постоянна вдоль линий тока . Первые производные ψ задаются как , а условие безвихревости подразумевает, что ψ удовлетворяет уравнению Лапласа. Гармоническая функция φ , сопряженная с ψ, называется потенциалом скорости . Уравнения Коши–Римана подразумевают, что Таким образом, каждая аналитическая функция соответствует стационарному несжимаемому безвихревому невязкому потоку жидкости на плоскости. Действительная часть является потенциалом скорости, а мнимая часть является функцией тока. $${\displaystyle u_{x}+v_{y}=0,}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.}$$ $${\displaystyle d\psi =u\,dy-v\,dx,}$$ $${\displaystyle \psi _{x}=-v,\quad \psi _{y}=u,}$$ $${\displaystyle \varphi _{x}=\psi _{y}=u,\quad \varphi _{y}=-\psi _{x}=v.}$$

Электростатика

Согласно уравнениям Максвелла , электрическое поле ( u , v ) в двух пространственных измерениях, которое не зависит от времени, удовлетворяет и где ρ — плотность заряда. Первое уравнение Максвелла является условием интегрируемости для дифференциала , поэтому электрический потенциал φ может быть построен так, чтобы удовлетворять Второе из уравнений Максвелла затем подразумевает то, что является уравнением Пуассона . Уравнение Лапласа можно использовать в трехмерных задачах электростатики и течения жидкости так же, как и в двух измерениях. $${\displaystyle \nabla \times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {0} ,}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot (u,v)=\rho ,}$$ $${\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy,}$$ $${\displaystyle \varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.}$$ $${\displaystyle \varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,}$$

В трех измерениях

Фундаментальное решение

Фундаментальное решение уравнения Лапласа удовлетворяет , где дельта-функция Дирака δ обозначает единичный источник, сосредоточенный в точке ( x ′, y ′, z ′) . Ни одна функция не обладает этим свойством: на самом деле это распределение , а не функция; но ее можно рассматривать как предел функций, интегралы которых по пространству равны единице, и носитель которых (область, где функция не равна нулю) сжимается до точки (см. слабое решение ). Обычно для этого уравнения принимают другое соглашение о знаках, чем обычно при определении фундаментальных решений. Такой выбор знака часто удобен для работы, поскольку −Δ является положительным оператором . Таким образом, определение фундаментального решения подразумевает, что если лапласиан u интегрируется по любому объему, который охватывает точку источника, то $${\displaystyle \Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z'),}$$ $${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.}$$

Уравнение Лапласа не меняется при вращении координат, и, следовательно, мы можем ожидать, что фундаментальное решение может быть получено среди решений, которые зависят только от расстояния r от исходной точки. Если мы выберем объем в виде шара радиуса a вокруг исходной точки, то теорема Гаусса о дивергенции подразумевает, что $${\displaystyle -1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}{dr}}\,dS=\left.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right|_{r=a}.}$$

Отсюда следует, что на сфере радиуса r с центром в точке источника, и, следовательно, $${\displaystyle {\frac {du}{dr}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}},}$$ $${\displaystyle u={\frac {1}{4\pi r}}.}$$

Обратите внимание, что при соблюдении противоположного знака (используемого в физике ) это потенциал , генерируемый точечной частицей , для силы закона обратных квадратов , возникающей при решении уравнения Пуассона . Аналогичное рассуждение показывает, что в двух измерениях , где log( r ) обозначает натуральный логарифм . Обратите внимание, что при соблюдении противоположного знака это потенциал, генерируемый точечным стоком (см. точечная частица ), который является решением уравнений Эйлера в двумерном несжимаемом потоке . $${\displaystyle u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.}$$

Функция Грина

Функция Грина — это фундаментальное решение, которое также удовлетворяет подходящему условию на границе S объема V. Например, может удовлетворять $${\displaystyle G(x,y,z;x',y',z')}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \nabla G=-\delta (x-x',y-y',z-z')\qquad {\text{in }}V,}$$ $${\displaystyle G=0\quad {\text{if}}\quad (x,y,z)\qquad {\text{on }}S.}$$

Теперь, если u — любое решение уравнения Пуассона в V : $${\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=-f,}$$

и u принимает граничные значения g на S , то мы можем применить тождество Грина (следствие теоремы о расходимости), которое гласит, что

$${\displaystyle \iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS.\,}$$

Обозначения u _n и G _n обозначают нормальные производные на S. Ввиду условий, которым удовлетворяют u и G , этот результат упрощается до

$${\displaystyle u(x',y',z')=\iiint _{V}Gf\,dV+\iint _{S}G_{n}g\,dS.\,}$$

Таким образом, функция Грина описывает влияние на ( x ′, y ′, z ′) данных f и g . Для случая внутренней части сферы радиуса a функция Грина может быть получена с помощью отражения (Зоммерфельд, 1949): исходная точка P на расстоянии ρ от центра сферы отражается вдоль ее радиальной линии в точку P', которая находится на расстоянии

$${\displaystyle \rho '={\frac {a^{2}}{\rho }}.\,}$$

Обратите внимание, что если P находится внутри сферы, то P′ будет находиться снаружи сферы. Функция Грина тогда задается как где R обозначает расстояние до исходной точки P , а R ′ обозначает расстояние до отраженной точки P ′. Следствием этого выражения для функции Грина является интегральная формула Пуассона . Пусть ρ , θ и φ будут сферическими координатами для исходной точки P. Здесь θ обозначает угол с вертикальной осью, что противоречит обычной американской математической нотации, но согласуется со стандартной европейской и физической практикой. Тогда решение уравнения Лапласа с граничными значениями Дирихле g внутри сферы задается как (Zachmanoglou & Thoe 1986, p. 228) где — косинус угла между ( θ , φ ) и ( θ ′, φ ′) . Простым следствием этой формулы является то, что если u — гармоническая функция, то значение u в центре сферы является средним значением ее значений на сфере. Это свойство среднего значения немедленно подразумевает, что непостоянная гармоническая функция не может принимать своего максимального значения во внутренней точке. $${\displaystyle {\frac {1}{4\pi R}}-{\frac {a}{4\pi \rho R'}},\,}$$ $${\displaystyle u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi '}$$ $${\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')}$$

Сферические гармоники Лапласа

Действительные (лапласовские) сферические гармоники Y _ℓ ^m для ℓ = 0, ..., 4 (сверху вниз) и m = 0, ..., ℓ (слева направо). Зональные, секторные и тессеральные гармоники изображены вдоль самого левого столбца, главной диагонали и в других местах соответственно. (Отрицательные порядки гармоник будут показаны повернутыми вокруг оси z на относительно положительных порядков.) ${\displaystyle Y_{\ell }^{-m}}$ ${\displaystyle 90^{\circ }/m}$

Уравнение Лапласа в сферических координатах имеет вид: ^[4]

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.}$$

Рассмотрим задачу нахождения решений вида f ( r , θ , φ ) = R ( r ) Y ( θ , φ ) . Разделением переменных получаются два дифференциальных уравнения путем наложения уравнения Лапласа:

$${\displaystyle {\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .}$$

Второе уравнение можно упростить, предположив, что Y имеет вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Повторное применение разделения переменных ко второму уравнению приводит к паре дифференциальных уравнений

$${\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}}$$ $${\displaystyle \lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}}$$

для некоторого числа m . Априори m является комплексной константой, но поскольку Φ должна быть периодической функцией , период которой без остатка делит 2 π , m обязательно является целым числом, а Φ является линейной комбинацией комплексных экспонент e ^{± imφ} . Функция решения Y ( θ , φ ) регулярна на полюсах сферы, где θ = 0, π . Наложение этой регулярности на решение Θ второго уравнения в граничных точках области представляет собой задачу Штурма–Лиувилля , которая заставляет параметр λ иметь вид λ = ℓ ( ℓ + 1) для некоторого неотрицательного целого числа с ℓ ≥ | m | ; это также объясняется ниже в терминах орбитального углового момента . Более того, замена переменных t = cos θ преобразует это уравнение в уравнение Лежандра , решение которого является кратным связанного полинома Лежандра P _ℓ ^m (cos θ ) . Наконец, уравнение для R имеет решения вида R ( r ) = A r ^ℓ + B r ^{− ℓ − 1} ; требуя, чтобы решение было регулярным во всем R ³ силы B = 0 . ^{[примечание 2]}

Здесь предполагалось, что решение имеет специальную форму Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Для заданного значения ℓ существует 2 ℓ + 1 независимых решений этой формы, по одному для каждого целого числа m с − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Эти угловые решения являются произведением тригонометрических функций , представленных здесь в виде комплексной экспоненты , и связанных полиномов Лежандра: которые удовлетворяют $${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })}$$ $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$

Здесь Y _ℓ ^m называется сферической гармонической функцией степени ℓ и порядка m , P _ℓ ^m является ассоциированным полиномом Лежандра , N является константой нормировки, а θ и φ представляют кошироту и долготу соответственно. В частности, коширота θ , или полярный угол, изменяется от 0 на Северном полюсе до π /2 на экваторе и до π на Южном полюсе, а долгота φ , или азимут , может принимать все значения с 0 ≤ φ < 2 π . Для фиксированного целого числа ℓ каждое решение Y ( θ , φ ) задачи на собственные значения является линейной комбинацией Y _ℓ ^m . Фактически, для любого такого решения r ^ℓ Y ( θ , φ ) представляет собой выражение в сферических координатах однородного многочлена , который является гармоническим (см. ниже ), и поэтому подсчет размерностей показывает, что существует 2 ℓ + 1 линейно независимых таких многочленов. $${\displaystyle r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y}$$

Общее решение уравнения Лапласа в шаре с центром в начале координат представляет собой линейную комбинацию сферических гармонических функций, умноженных на соответствующий масштабный множитель r ^ℓ , где f _ℓ ^m являются константами, а множители r ^ℓ Y _ℓ ^m известны как сплошные гармоники . Такое разложение справедливо в шаре $${\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.}$$

Для вместо этого выбираются сплошные гармоники с отрицательными степенями . В этом случае нужно разложить решение известных областей в ряд Лорана (около ), а не в ряд Тейлора (около ), чтобы сопоставить члены и найти . ${\displaystyle r>R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=\infty }$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle f_{\ell }^{m}}$

Электростатика

Пусть будет электрическое поле, будет плотность электрического заряда, а будет диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Тогда закон Гаусса для электричества (первое уравнение Максвелла) в дифференциальной форме утверждает ^[5] ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

Теперь электрическое поле можно выразить как отрицательный градиент электрического потенциала , если поле безвихревое, . Безвихревость также известна как электростатическое состояние. ^[5] ${\displaystyle V}$ $${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}$$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E} }$$

Подставляя это соотношение в закон Гаусса, получаем уравнение Пуассона для электричества, ^[5] $${\displaystyle \nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.}$$

В частном случае области, свободной от источников, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа для электрического потенциала. ^[5] ${\displaystyle \rho =0}$

Если электростатический потенциал задан на границе области , то он определяется однозначно. Если окружен проводящим материалом с заданной плотностью заряда , и если известен полный заряд , то также является уникальным. ^[6] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle V}$

Потенциал, который не удовлетворяет уравнению Лапласа вместе с граничным условием, является недопустимым электростатическим потенциалом.

Гравитация

Пусть — гравитационное поле, плотность массы и гравитационная постоянная. Тогда закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме имеет вид ^[7] ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G}$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}$$

Гравитационное поле является консервативным и поэтому может быть выражено как отрицательный градиент гравитационного потенциала: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {g} &=-\nabla V,\\\nabla \cdot \mathbf {g} &=\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V,\\\implies \nabla ^{2}V&=-\nabla \cdot \mathbf {g} .\end{aligned}}}$$

Используя дифференциальную форму закона тяготения Гаусса, имеем что является уравнением Пуассона для гравитационных полей. ^[7] $${\displaystyle \nabla ^{2}V=4\pi G\rho ,}$$

В пустом пространстве мы имеем что является уравнением Лапласа для гравитационных полей. ${\displaystyle \rho =0}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}V=0,}$$

В метрике Шварцшильда

С. Персидес ^[8] решил уравнение Лапласа в пространстве-времени Шварцшильда на гиперповерхностях постоянного t . Используя канонические переменные r , θ , φ, решение имеет вид где Y _l ( θ , φ ) — сферическая гармоническая функция , а $${\displaystyle \Psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{l}(\theta ,\varphi ),}$$ $${\displaystyle R(r)=(-1)^{l}{\frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}{(2l)!}}P_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right)+(-1)^{l+1}{\frac {2(2l+1)!}{(l)!^{2}r_{s}^{l+1}}}Q_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right).}$$

Здесь P _l и Q _l — функции Лежандра первого и второго рода соответственно, а r _s — радиус Шварцшильда . Параметр l — произвольное неотрицательное целое число.

Смотрите также

• 6-сферические координаты , система координат, в которой уравнение Лапласа становится R -разделимым
• Уравнение Гельмгольца , общий случай уравнения Лапласа.
• Сферическая гармоника
• Квадратурные домены
• Теория потенциала
• Потенциальный поток
• Преобразование Бейтмана
• Теорема Ирншоу использует уравнение Лапласа, чтобы показать, что стабильная статическая ферромагнитная суспензия невозможна.
• Векторный Лапласиан
• Фундаментальное решение

Примечания

1. Символ дельта, Δ, также часто используется для обозначения конечного изменения некоторой величины, например, . Его использование для обозначения лапласиана не следует путать с этим использованием. ${\displaystyle \Delta x=x_{1}-x_{2}}$
2. Физические приложения часто принимают решение, которое исчезает на бесконечности, делая A = 0. Это не влияет на угловую часть сферических гармоник.

Ссылки

1. Стюарт, Джеймс. Исчисление: Ранние трансцендентали . 7-е изд., Брукс/Коул, Cengage Learning, 2012. Глава 14: Частные производные. стр. 908. ISBN  978-0-538-49790-9 .
2. Зилл, Деннис Г. и Майкл Р. Каллен. Дифференциальные уравнения с граничными задачами . 8-е издание / ред., Брукс/Коул, Cengage Learning, 2013. Глава 12: Краевые задачи в прямоугольных координатах. стр. 462. ISBN 978-1-111-82706-9 . 
3. Гриффитс, Дэвид Дж. Введение в электродинамику . 4-е изд., Пирсон, 2013. Внутренняя сторона обложки. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
4. Принятый здесь подход к сферическим гармоникам можно найти в (Courant & Hilbert 1962, §V.8, §VII.5).
5. Гриффитс, Дэвид Дж. Введение в электродинамику . 4-е изд., Пирсон, 2013. Глава 2: Электростатика. стр. 83-4. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
6. Гриффитс, Дэвид Дж. Введение в электродинамику . 4-е изд., Пирсон, 2013. Глава 3: Потенциалы. стр. 119-121. ISBN 978-1-108-42041-9 . 
7. Chicone, C.; Mashhoon, B. (2011-11-20). "Нелокальная гравитация: модифицированное уравнение Пуассона". Журнал математической физики . 53 (4): 042501. arXiv : 1111.4702 . doi : 10.1063/1.3702449. S2CID  118707082.
8. Персидес, С. (1973). «Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве-времени Шварцшильда». Журнал математического анализа и приложений . 43 (3): 571–578. Bibcode :1973JMAA...43..571P. doi : 10.1016/0022-247X(73)90277-1 .

Источники

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том I , Wiley-Interscience.
• Зоммерфельд, А. (1949). Уравнения с частными производными в физике . Нью-Йорк: Academic Press.
• Захманоглу, EC; Тоу, Дейл В. (1986). Введение в уравнения с частными производными и их приложения . Нью-Йорк: Довер. ISBN 9780486652511.

Дальнейшее чтение

• Эванс, Л.К. (1998). Уравнения с частными производными . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-0772-9.
• Петровский, И. Г. (1967). Уравнения с частными производными . Филадельфия: WB Saunders.
• Полянин, АД (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 978-1-58488-299-2.

Внешние ссылки

• «Уравнение Лапласа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнение Лапласа (частные решения и граничные задачи) в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Примеры начально-краевых задач с использованием уравнения Лапласа с exampleproblems.com.
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Лапласа». MathWorld .
• Узнайте, как краевые задачи, управляемые уравнением Лапласа, могут быть решены численно с помощью метода граничных элементов.